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Théorème de convergence dominée: la version définitive

Nous allons donner maintenant les versions ``définitives'' du théorème de convergence dominée de Lebesgue et du lemme de Fatou. On se place toujours sur un espace mesuré $ (E,\hbox{$\cal E$},\mu)$.

Théorème Soit $ (f_n)_{n\geq1}$ une suite de fonctions mesurables à valeurs dans $ \bar{I}\!\!\bar{R}$.

a) Si $ g$ est une fonction intégrable, on a les implications:

$\displaystyle f_n\geq g~~~\mu-\hbox{\rm p.p.}\quad\forall n\quad\Rightarrow\quad\int(\liminf_nf_n)d\mu~\leq~\liminf_n\int f_nd\mu.$ (14)

$\displaystyle f_n\leq g~~~\mu-\hbox{\rm p.p.}\quad\forall n\quad\Rightarrow\quad\int(\limsup_nf_n)d\mu~\geq~\limsup_n\int f_nd\mu.$ (15)

c) S'il existe une fonction $ g$ intégrable telle que $ \vert f_n\vert\leq g~~\mu$-p.p. pour tout $ n$, et si la suite $ (f_n)$ converge $ \mu$-p.p. vers une limite $ f$ (ce qui veut dire que $ f$ est une fonction telle que l'ensemble des $ x$ vérifiant $ f_n(x)\to f(x)$ est de complémentaire négligeable), alors

$\displaystyle \int f_nd\mu~\to~\int fd\mu.$ (16)


Il faut remarquer, dans la situation de (c), que $ \int fd\mu$ a bien un sens. En effet, si on pose par exemple $ h=\limsup_nf_n$, la fonction $ h$ est mesurable, et on a $ f=h~~\mu$-p.p.; donc d'après la proposition [*] la fonction $ f$ est mesurable par rapport à la tribu complétée de $ \hbox{$\cal E$}$, et donc $ \int fd\mu=\int hd\mu$ par la proposition [*] avec l'abus de notation qui consiste à noter encore $ \mu$ l'extension de $ \mu$ à la tribu complétée.

Pour (a), considérons $ N=\cup_n\{ f_n<g\}$, et soit $ f'_n$ la fonction définie par $ f'_n(x)=g(x)$ si $ x\in N$ et $ f'_n(x)=f_n(x)$ sinon. On a $ f'_n\geq g$, donc 2-([*]) implique $ \int\liminf_nf'_nd\mu\leq\liminf_n
\int f'_nd\mu$. En dehors de l'ensemble négligeable $ N$ on a $ f'_n=f_n$ et $ \liminf_nf_n=\liminf_nf'_n$, de sorte que $ \int f_nd\mu=\int
f'_nd\mu$ et $ \int\liminf_nf_nd\mu=\int\liminf_nf'_nd\mu$ par la proposition [*], d'où ([*]).

([*]) se montre de la même manière. Pour (b) la preuve est du même type: soit $ h=\limsup_nf_n$ et $ h'=\liminf_nf_n$, puis $ N=(\cup_n\{\vert f_n\vert>g\})\cup\{h'<h\}$, puis les fonctions mesurables $ f'_n$ et $ g'$ définies par $ f'_n(x)=g'(x)=0$ si $ x\in N$ et $ f'_n(x)=f_n(x)$ et $ g'(x)=g(x)$ sinon. On a $ f'_n=f_n$ et $ f=h$ et $ g'=g$ en dehors de l'ensemble négligeable $ N$, donc $ g'$ est intégrable et $ \int f_nd\mu=\int
f'_nd\mu$ et $ \int fd\mu=\int hd\mu$. Enfin $ \vert f'_n\vert\leq g'$ et $ f'_n\to h$, donc ([*]) découle de 2-([*]) appliqué à la suite $ f'_n$. $ ~\Box$

Exemples:

1)
On a $ \int_0^1nxe^{-nx}dx\to 0$ quand $ n\to\infty$: cela se vérifie en calculant explicitement cette intégrale, mais on peut aussi appliquer le théorème de Lebesgue à la mesure de Lebesgue sur $ (I\!\!R,\hbox{$\cal R$})$ et aux fonctions $ f_n(x)=nxe^{-nx}1_{[0,1]}(x)$, qui convergent vers 0 et vérifient $ 0\leq f_n\leq 1_{[0,1]}$, alors que la fonction $ 1_{[0,1]}$ est intégrable par rapport à la mesure de Lebesgue.

2)
On a $ \int_0^1nx^2e^{-nx^2}dx\to 0$: un calcul direct n'est pas possible, mais on peut appliquer le théorème de Lebesgue à la mesure de Lebesgue sur $ (I\!\!R,\hbox{$\cal R$})$ et aux fonctions $ f_n(x)=nx^2e^{-nx^2}1_{[0,1]}$, qui convergent vers 0 et vérifient $ 0\leq f_n\leq 1_{[0,1]}$.

Corollaire Soit $ (u_{n,i}){n\geq1,i\geq1}$ une double suite de réels. Si d'une part $ u_{n,i}\to v_i$ pour tout $ i$ lorsque $ n\to\infty$, si d'autre part $ \vert u_{n,i}\vert\leq w_i$ pour tout $ n$, avec $ \sum_iw_i<\infty$, alors pour chaque $ n$ la série $ \sum_iu_{n,i}$ est absolument convergente, et $ \lim_n\sum_iu_{n,i}=\sum_iv_i$.

La première assertion est évidente, et pour la seconde il suffit d'appliquer le théorème de Lebesgue à la mesure de comptage $ \mu$ sur $ I\!\!N^*$ muni de la tribu de toutes les parties et aux fonctions $ f_n(i)=u_{n,i}$: ces fonctions convergent simplement vers $ f(i)=v_i$ et vérifient $ \vert f_n\vert\leq g$ pour la fonction positive $ g(i)=w_i$, qui est intégrable par rapport à $ \mu$ puisque $ \int gd\mu=\sum_iw_i<\infty$. $ ~\Box$

Ce corollaire est appelé théorème d'inversion de la somme et de la limite pour les séries. Par ailleurs le théorème de Lebesgue permet de justifier dans certains cas le procédé de ``dérivation sous le signe somme'' pour les intégrales de fonctions dépendant d'un paramètre.

Proposition (Continuité et dérivation sous le signe somme) Soit une fonction $ f$ de $ I\times E$ dans $ I\!\!R$, où $ I$ est un intervalle de $ I\!\!R$. On suppose que pour chaque $ t\in I$ la fonction $ x\mapsto f(t,x)$ est $ \hbox{$\cal E$}$-mesurable.

a) Si d'une part pour tout $ t\in I$ on a $ \vert f(t,x)\vert\leq g(x)$ pour tout $ x$ en dehors d'un ensemble négligeable et pour une fonction intégrable $ g$, et si d'autre part la fonction $ t\mapsto f(t,x)$ est continue en $ t=t_0$ pour tout $ x$ en dehors d'un ensemble négligeable, alors la fonction $ h(t)=\int f(t,x)\mu(dx)$ est continue au point $ t=t_0$.

b) Supposons de plus qu'en dehors d'un ensemble négligeable la fonction $ t\mapsto f(t,x)$ soit dérivable sur $ I$ et que $ \vert{\partial\over \partial
t}f(t,x)\vert\leq g'(x)$ pour une fonction intégrable $ g'$, alors la fonction $ h$ définie ci-dessus est dérivable sur $ I$, et sa dérivée est $ \int{\partial\over\partial t}f(t,x)\mu(dx)$.

Noter d'abord que l'hypothèse $ \vert f(t,.)\vert\leq g~~\mu$-p.p. entraine que pour chaque $ t$ la fonction $ f(t,.)$ est intégrable, donc $ h$ est bien définie. Pour (a) il suffit de montrer que si une suite $ (s_n)$ de points de $ I$ tend vers $ t_0$, alors $ h(s_n)\to h(t_0)$: cela provient du théorème de Lebesgue appliqué à la suite $ f_n(x)=f(s_n,x)$.

Pour (b) il suffit de montrer que si une suite $ (s_n)$ de points de $ I$ tend vers $ t$, avec $ s_n\neq t$ pour tout $ n$, alors $ {h(s_n)-h(t)\over s_n-t}$ converge vers $ \int{\partial\over\partial t}f(t,x)\mu(dx)$ (cette dernière intégrale étant bien définie, au vu de la condition de majoration de la dérivée). Pour cela on applique le théorème de Lebesgue à la suite $ f_n(x)={f(s_n,x)-f(t,x)\over s_n-t}$, qui converge vers $ {\partial\over\partial t}h(t,x)$, en remarquant que d'après le théorème des accroissements finis on a $ \vert f_n\vert\leq g'$. $ ~\Box$

Exemples: 1) Soit $ g$ borélienne bornée sur $ I\!\!R_+$. La fonction $ h(t)=\int_0^\infty e^{-tx}g(x)dx$ est bien définie, et indéfiniment dérivable sur $ ]0,\infty[$: cela se voit par application répétée de la proposition précédente, avec $ I=]a,\infty[$ pour $ a>0$ arbitraire (si on montre que $ h$ est indéfiniment dérivable sur tout intervalle $ I$ de la forme ci-dessus, on aura bien-sûr la même propriété sur $ ]0,\infty[$).

De manière plus précise soit $ f(t,x)=e^{-tx}g(x)1_{[0,\infty[}(x)$, qui est indéfiniment dérivable en $ t$ avec $ {\partial^n\over\partial
t^n}f(t,x)=(-x)^ne^{-tx}g(x)1_{[0,\infty[}(x)$; pour tout $ n\in I\!\!N$ on a donc $ \vert{\partial^n\over\partial t^n}f(t,x)\vert\leq g_n(x)$ pour $ t\in I$, avec la fonction $ g_n(x)=\alpha _ne^{-ax}1_{[0,\infty[}$ pour une constante convenable $ \alpha _n$ (c'est pour cela qu'on se limite aux intervalles $ I$, et qu'on ne peut pas faire directement la preuve sur $ ]0,\infty[$ entier); chaque fonction $ g_n$ est intégrable par rapport à la mesure de Lebesgue sur $ I\!\!R$. On montre alors par récurrence sur $ n$, à l'aide de la proposition [*], que $ h$ est $ n$ fois dérivable et que sa dérivée d'ordre $ n$ est $ \int_0^{\infty}(-x)^ne^{-tx}g(x)dx$.

2) Soit $ (u_n)_{n\geq1}$ des fonctions dérivables sur l'intervalle $ I$ de $ I\!\!R$, avec des dérivées vérifiant $ \vert u'_n(x)\vert\leq v_n$$ v_n$ est le terme général d'une série convergente. Supposons aussi la série de terme général $ u_n(y)$ absolument convergente, pour un point $ y$ de $ I$. La somme $ S(x)=\sum_nu_n(x)$ est alors bien définie pour tout $ x$, et la fonction $ S$ est dérivable, de dérivée $ S'(x)=\sum_nu'_n(x)$.

Pour vérifier ceci, on applique la proposition [*] à la mesure de comptage $ \mu$ sur $ E=I\!\!N^*$ et aux fonction $ f(t,n)=u_n(t)$. $ ~\Box$


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Jean_Jacod
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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