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Les mesures avec densité

Lorsqu'on dispose d'une mesure $ \mu$ sur un espace $ (E,\hbox{$\cal E$})$, la proposition suivante fournit une méthode permettant de lui associer toute une famille d'autres mesures:

Proposition Si $ g$ est une fonction positive mesurable, la formule

$\displaystyle \nu(A)~=~\int_Agd\mu\quad\hbox{\rm (ce qui veut dire $\nu(A)=\int(g1_A)d\mu$)}\quad\forall A\in\hbox{$\cal E$}$ (17)

définit une nouvelle mesure $ \nu$ sur $ (E,\hbox{$\cal E$})$ : la fonction $ g$ s'appelle la densité de $ \nu$ par rapport à $ \mu$, et la mesure $ \nu$ est aussi notée $ \nu=g\bullet\mu$.

De plus une fonction mesurable $ f$ admet une intégrale (resp. est intégrable) par rapport à $ \nu$ si et seulement si le produit $ fg$ admet une intégrale (resp. est intégrable) par rapport à $ \mu$, et on a alors

$\displaystyle \int fd\nu~=~\int(fg)d\mu.$ (18)


On a clairement $ \nu(\emptyset )=0$, et la $ \sigma $-additivité de $ \nu$ découle du fait que si les $ A_n$ sont deux-à-deux disjoints on a $ 1_{\cup_nA_n}=\sum_n1_{A_n}$ et du corollaire 2-[*].

Quant à la seconde partie de la proposition, elle découle immédiatement de la formule ([*]) lorsque $ f$ est positive. Il reste donc à montrer que la classe $ \hbox{$\cal A$}$ des fonctions mesurables positives $ f$ vérifiant ([*]) contient toutes les fonctions mesurables positives.

D'abord, lorsque $ f=1_A$, ([*]) n'est autre que ([*]): ainsi, $ \hbox{$\cal A$}$ contient les indicatrices d'ensembles mesurables. Par ``linéarité'' (cf. (i,ii) du théorème 2-[*]) on en déduit que $ \hbox{$\cal A$}$ contient les fonctions de la forme $ \sum_{i=1}^na_i1_{A_i}$ pour $ n\in I\!\!N^*$, $ a_i\geq 0$ et $ A_i\in\hbox{$\cal E$}$, c'est-à-dire contient les fonctions mesurables étagées positives. Enfin d'apès (iv) du théorème 2-[*] $ \hbox{$\cal A$}$ contient les limites croissantes de fonctions étagées mesurables positives, c'est-à-dire toutes les fonctions mesurables positives. $ ~\Box$

En particulier si $ (E,\hbox{$\cal E$})=(I\!\!R^d,\hbox{$\cal R$}^d)$ et si $ \mu=\lambda _d$ est la mesure de Lebesgue, la mesure $ \nu$ construite ci-dessus est appelée la mesure sur $ I\!\!R^d$ de densité $ g$.

Exemples:

1)
Si $ I$ est un intervalle de $ I\!\!R$, la restriction à $ I$ de la mesure de densité $ 1_I$ est ce qu'on a appelé la mesure de Lebesgue sur $ I$ à la fin du chapitre 2.

2)
La mesure sur $ I\!\!R$ de densité $ g(x)=\theta e^{-\theta
x}1_{[0,\infty[}(x)$ s'appelle la loi de probabilité exponentielle de paramètre $ \theta$: c'est une mesure de probabilité, c'est-à-dire une mesure de masse totale égale à $ 1$ puisque $ \int_0^\infty\theta e^{-\theta
x}dx=1$. Plus généralement, toute mesure sur $ I\!\!R$ de densité $ g$ vérifiant $ \int_{-\infty}^{+\infty}g(x)dx=1$ est une mesure de probabilité.

3)
Revenons au cas d'un espace mesuré quelconque $ (E,\hbox{$\cal E$},\mu)$, et soit $ g$ et $ h$ deux fonctions mesurables positives sur $ E$. On vérifie immédiatement que $ h\bullet(g\bullet\mu)=(gh)\bullet\mu$.


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Jean_Jacod
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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