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Les mesures avec densité

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Les mesures avec densité

Lorsqu'on dispose d'une mesure $\mu$ sur un espace $(E,\hbox{$\cal E$})$ , la proposition suivante fournit une méthode permettant de lui associer toute une famille d'autres mesures:

Proposition Si est une fonction positive mesurable, la formule

$\displaystyle \nu(A)~=~\int_Agd\mu\quad\hbox{\rm (ce qui veut dire $\nu(A)=\int(g1_A)d\mu$)}\quad\forall A\in\hbox{$\cal E$}$

(17)

définit une nouvelle mesure $\nu$ sur $(E,\hbox{$\cal E$})$ : la fonction

s'appelle la densité de $\nu$ par rapport à $\mu$ , et la mesure $\nu$ est aussi notée $\nu=g\bullet\mu$ .

De plus une fonction mesurable admet une intégrale (resp. est intégrable) par rapport à $\nu$ si et seulement si le produit admet une intégrale (resp. est intégrable) par rapport à $\mu$ , et on a alors

$\displaystyle \int fd\nu~=~\int(fg)d\mu.$

(18)

On a clairement $\nu(\emptyset )=0$ , et la $\sigma$ -additivité de $\nu$ découle du fait que si les sont deux-à-deux disjoints on a $1_{\cup_nA_n}=\sum_n1_{A_n}$ et du corollaire 2-.

Quant à la seconde partie de la proposition, elle découle immédiatement de la formule () lorsque est positive. Il reste donc à montrer que la classe $\hbox{$\cal A$}$ des fonctions mesurables positives vérifiant () contient toutes les fonctions mesurables positives.

D'abord, lorsque , () n'est autre que (): ainsi, $\hbox{$\cal A$}$ contient les indicatrices d'ensembles mesurables. Par ``linéarité'' (cf. (i,ii) du théorème 2-) on en déduit que $\hbox{$\cal A$}$ contient les fonctions de la forme $\sum_{i=1}^na_i1_{A_i}$ pour $n\in I\!\!N^*$ , $a_i\geq 0$ et $A_i\in\hbox{$\cal E$}$ , c'est-à-dire contient les fonctions mesurables étagées positives. Enfin d'apès (iv) du théorème 2- $\hbox{$\cal A$}$ contient les limites croissantes de fonctions étagées mesurables positives, c'est-à-dire toutes les fonctions mesurables positives. $~\Box$

En particulier si $(E,\hbox{$\cal E$})=(I\!\!R^d,\hbox{$\cal R$}^d)$ et si $\mu=\lambda _d$ est la mesure de Lebesgue, la mesure $\nu$ construite ci-dessus est appelée la mesure sur $I\!\!R^d$ de densité .

Exemples:

1): Si est un intervalle de $I\!\!R$ , la restriction à de la mesure de densité est ce qu'on a appelé la mesure de Lebesgue sur à la fin du chapitre 2.
2): La mesure sur $I\!\!R$ de densité $g(x)=\theta e^{-\theta x}1_{[0,\infty[}(x)$ s'appelle la loi de probabilité exponentielle de paramètre $\theta$ : c'est une mesure de probabilité, c'est-à-dire une mesure de masse totale égale à puisque $\int_0^\infty\theta e^{-\theta x}dx=1$ . Plus généralement, toute mesure sur $I\!\!R$ de densité vérifiant $\int_{-\infty}^{+\infty}g(x)dx=1$ est une mesure de probabilité.
3): Revenons au cas d'un espace mesuré quelconque $(E,\hbox{$\cal E$},\mu)$ , et soit et deux fonctions mesurables positives sur . On vérifie immédiatement que $h\bullet(g\bullet\mu)=(gh)\bullet\mu$ .