Lorsqu'on dispose d'une mesure sur un espace
, la proposition
suivante fournit une méthode permettant de lui associer toute une famille
d'autres mesures:
Proposition Si est une fonction positive mesurable, la formule
(17)
définit une nouvelle mesure sur
: la fonction
s'appelle la densité de par rapport à , et la mesure
est aussi notée
.
De plus une fonction mesurable admet une intégrale (resp. est
intégrable) par rapport à si et seulement si le produit admet
une intégrale (resp. est intégrable) par rapport à , et on a alors
(18)
On a clairement
, et la -additivité de découle
du fait que si les sont deux-à-deux disjoints on a
et du corollaire 2-.
Quant à la seconde partie de la proposition, elle découle immédiatement
de la formule () lorsque est positive. Il reste donc à montrer
que la classe
des fonctions mesurables positives vérifiant
() contient toutes les fonctions mesurables positives.
D'abord, lorsque , () n'est autre que (): ainsi,
contient les indicatrices d'ensembles mesurables. Par ``linéarité''
(cf. (i,ii) du théorème 2-) on en déduit que
contient les
fonctions de la forme
pour
,
et
, c'est-à-dire contient les fonctions mesurables étagées
positives. Enfin d'apès (iv) du théorème 2- contient les
limites croissantes de fonctions étagées mesurables positives,
c'est-à-dire toutes les fonctions mesurables positives.
En particulier si
et si
est la mesure de
Lebesgue, la mesure construite ci-dessus est appelée la mesure
sur de densité.
Exemples:
1)
Si est un intervalle de , la restriction à
de la mesure de densité est ce qu'on a appelé la mesure de
Lebesgue sur à la fin du chapitre 2.
2)
La mesure sur de densité
s'appelle la loi de probabilité exponentielle de
paramètre : c'est une mesure de probabilité, c'est-à-dire une
mesure de masse totale égale à puisque
. Plus généralement, toute mesure sur de densité
vérifiant
est une mesure de probabilité.
3)
Revenons au cas d'un espace mesuré quelconque
, et soit
et deux fonctions mesurables positives sur . On vérifie
immédiatement que
.