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Les fonctions intégrables au sens de Riemann adac3

monter: aic précédent: Les mesures avec densité

Les fonctions intégrables au sens de Riemann

On va terminer ce chapitre en montrant que les fonctions intégrables au sens de Riemann, sur un intervalle borné de $I\!\!R$ , sont également intégrables au sens de Lebesgue. Ces fonctions ne sont pas nécessairement boréliennes, et il faut donc prendre quelques précautions. De manière précise, on a le résultat suivant:

Théorème Soit une fonction bornée sur l'intervalle , intégrable au sens de Riemann. Elle est alors mesurable par rapport à la tribu de Lebesgue (i.e., la tribu complétée de la tribu borélienne par rapport à la mesure de Lebesgue), et son intégrale de Riemann est égale à l'intégrale de Lebesgue de par rapport à la mesure (complétée de la mesure) de Lebesgue.

Pour chaque on considère la subdivision $a=t(n,0)<t(n,1)<\ldots< t(n,2^n)=b$ de définie par $t(n,i)=a+(b-a)i2^{-n}$ pour $i=0,1,\ldots, 2^n$ . On pose

$\displaystyle u(n,i)~=~\inf(f(x):t(n,i-1)\leq x\leq t(n,i)),$

$\displaystyle v(n,i)~=~\sup(f(x):t(n,i-1)\leq x\leq t(n,i)),$

$\displaystyle I_-(n)~=~{b-a\over 2^n}\sum_{i=1}^{2^n}u(n,i),\quad\quad I_+(n)~=~{b-a\over 2^n}\sum_{i=1}^{2^n}v(n,i).$

Comme

est Riemann-intégrable, on sait que les deux suites $(I_-(n)_{n\geq1}$ et $(I_+(n))_{n\geq1}$ convergent vers l'intégrale de Riemann $\int_a^bf(x)dx$ .

Par ailleurs, considérons les fonctions boréliennes suivantes:

$\displaystyle g_n(x)~=~\left\{\begin{array}{ll} u(n,1) ~~~ &\hbox{si}~~t(n,0)\l... ...i=2,3,\ldots,2^n\\ [3mm] 0 &\hbox{si}~~x<a~~\hbox{ou}~~x>b \end{array}\right. ,$

$\displaystyle h_n(x)~=~\left\{\begin{array}{ll} v(n,1) ~~~ &\hbox{si}~~t(n,0)\l... ...i=2,3,\ldots,2^n\\ [3mm] 0 &\hbox{si}~~x<a~~\hbox{ou}~~x>b \end{array}\right. .$

On a bien-sûr $g_n\leq f\leq h_n$ . Par ailleurs la suite

est croissante et la suite

est décroissante: on note

leurs limites respectives, qui sont boréliennes et vérifient $g\leq f\leq h$ .

Si désigne la borne supérieure de $\vert f\vert$ et si $k(x)=M1_{[a,b]}(x)$ , on a $\vert g_n\vert\leq k$ et $\vert h_n\vert\leq k$ , et est intégrable par rapport à la mesure de Lebesgue. Donc le théorème de Lebesgue implique que et convergent respectivement vers $\int gd\lambda$ et $\int hd\lambda$ , qui sont donc toutes deux égales à l'intégrale de Riemann $\int_a^bf(x)dx$ (on ne peut pas appliquer directement le théorème de convergence monotone ici, car les fonctions (resp. ) ne sont pas nécessairement positives (resp. négatives)). Donc la fonction positive est d'intégrale nulle, et () implique que $g=h~~\lambda$ -p.p. Il suffit alors d'utiliser les propositions et pour obtenir le résultat. $~\Box$