On va terminer ce chapitre en montrant que les fonctions intégrables au sens
de Riemann, sur un intervalle borné de , sont également
intégrables au sens de Lebesgue. Ces fonctions ne sont pas nécessairement
boréliennes, et il faut donc prendre quelques précautions. De manière
précise, on a le résultat suivant:
Théorème Soit une fonction bornée sur l'intervalle
, intégrable au sens de Riemann. Elle est alors mesurable par
rapport à la tribu de Lebesgue (i.e., la tribu complétée de la tribu
borélienne par rapport à la mesure de Lebesgue), et son intégrale de
Riemann est égale à l'intégrale de Lebesgue de par rapport à
la mesure (complétée de la mesure) de Lebesgue.
Pour chaque on considère la subdivision
de définie par
pour
. On pose
Comme est Riemann-intégrable, on sait que les deux suites
et
convergent vers l'intégrale de
Riemann
.
Par ailleurs, considérons les fonctions boréliennes suivantes:
On a bien-sûr
. Par ailleurs la suite est
croissante et la suite est décroissante: on note et leurs
limites respectives, qui sont boréliennes et vérifient
.
Si désigne la borne supérieure de et si
,
on a
et
, et est intégrable par
rapport à la mesure de Lebesgue. Donc le théorème de Lebesgue implique
que et convergent respectivement vers
et
, qui sont donc toutes deux égales à l'intégrale de Riemann
(on ne peut pas appliquer directement le théorème
de convergence monotone ici, car les fonctions (resp. ) ne sont pas
nécessairement positives (resp. négatives)). Donc la fonction positive
est d'intégrale nulle, et
() implique que
-p.p. Il suffit alors d'utiliser les
propositions et pour obtenir le résultat.