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Les fonctions intégrables au sens de Riemann

On va terminer ce chapitre en montrant que les fonctions intégrables au sens de Riemann, sur un intervalle borné $ I=[a,b]$ de $ I\!\!R$, sont également intégrables au sens de Lebesgue. Ces fonctions ne sont pas nécessairement boréliennes, et il faut donc prendre quelques précautions. De manière précise, on a le résultat suivant:

Théorème Soit $ f$ une fonction bornée sur l'intervalle $ I=[a,b]$, intégrable au sens de Riemann. Elle est alors mesurable par rapport à la tribu de Lebesgue (i.e., la tribu complétée de la tribu borélienne par rapport à la mesure de Lebesgue), et son intégrale de Riemann est égale à l'intégrale de Lebesgue de $ f1_I$ par rapport à la mesure (complétée de la mesure) de Lebesgue.

Pour chaque $ n$ on considère la subdivision $ a=t(n,0)<t(n,1)<\ldots<
t(n,2^n)=b$ de $ [a,b]$ définie par  $ t(n,i)=a+(b-a)i2^{-n}$ pour $ i=0,1,\ldots, 2^n$. On pose

$\displaystyle u(n,i)~=~\inf(f(x):t(n,i-1)\leq x\leq t(n,i)),$

$\displaystyle v(n,i)~=~\sup(f(x):t(n,i-1)\leq x\leq t(n,i)),$

$\displaystyle I_-(n)~=~{b-a\over 2^n}\sum_{i=1}^{2^n}u(n,i),\quad\quad
I_+(n)~=~{b-a\over 2^n}\sum_{i=1}^{2^n}v(n,i).$

Comme $ f$ est Riemann-intégrable, on sait que les deux suites $ (I_-(n)_{n\geq1}$ et $ (I_+(n))_{n\geq1}$ convergent vers l'intégrale de Riemann $ \int_a^bf(x)dx$.

Par ailleurs, considérons les fonctions boréliennes suivantes:

$\displaystyle g_n(x)~=~\left\{\begin{array}{ll}
u(n,1) ~~~ &\hbox{si}~~t(n,0)\l...
...i=2,3,\ldots,2^n\\ [3mm]
0 &\hbox{si}~~x<a~~\hbox{ou}~~x>b \end{array}\right. ,$

$\displaystyle h_n(x)~=~\left\{\begin{array}{ll}
v(n,1) ~~~ &\hbox{si}~~t(n,0)\l...
...i=2,3,\ldots,2^n\\ [3mm]
0 &\hbox{si}~~x<a~~\hbox{ou}~~x>b \end{array}\right. .$

On a bien-sûr $ g_n\leq f\leq h_n$. Par ailleurs la suite $ (g_n)$ est croissante et la suite $ (h_n)$ est décroissante: on note $ g$ et $ h$ leurs limites respectives, qui sont boréliennes et vérifient $ g\leq f\leq h$.

Si $ M$ désigne la borne supérieure de $ \vert f\vert$ et si $ k(x)=M1_{[a,b]}(x)$, on a $ \vert g_n\vert\leq k$ et $ \vert h_n\vert\leq k$, et $ k$ est intégrable par rapport à la mesure de Lebesgue. Donc le théorème de Lebesgue implique que $ I_-(n)$ et $ I_+(n)$ convergent respectivement vers $ \int gd\lambda $ et $ \int
hd\lambda $, qui sont donc toutes deux égales à l'intégrale de Riemann $ \int_a^bf(x)dx$ (on ne peut pas appliquer directement le théorème de convergence monotone ici, car les fonctions $ g_n$ (resp. $ h_n$) ne sont pas nécessairement positives (resp. négatives)). Donc la fonction positive $ h-g$ est d'intégrale nulle, et ([*]) implique que $ g=h~~\lambda $-p.p. Il suffit alors d'utiliser les propositions [*] et [*] pour obtenir le résultat. $ ~\Box$


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Jean_Jacod
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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