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Théorème de Cantor-Bernstein

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Quelques résultats d'unicité

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Quelques résultats d'unicité

1) Ci-dessous, $(E,\hbox{$\cal E$})$ désigne un espace mesurable quelconque. Le résultat essentiel de ce paragraphe est le suivant:

Théorème Soit $\mu$ et $\nu$ deux mesures sur $(E,\hbox{$\cal E$})$ , et $\hbox{$\cal C$}$ une classe de parties de vérifiant les propriétés suivantes:

(i) la tribu engendrée par $\hbox{$\cal C$}$ est $\hbox{$\cal E$}$ ;

(ii) $\mu(A)=\nu(A)<\infty$ pour tout $A\in\hbox{$\cal C$}$ ;

(iii) la classe $\hbox{$\cal C$}$ est stable par intersection finie (i.e. $A,B\in\hbox{$\cal C$} \Rightarrow A\cap B\in\hbox{$\cal C$}$ );

(iv) il existe une suite croissante $(E_n)_{n\geq1}$ d'éléments de $\hbox{$\cal C$}$ telle que $E=\lim_nE_n$ .

Les mesures $\mu$ et $\nu$ sont alors égales.

Noter que (ii) et (iv) impliquent que les mesures $\mu$ et $\nu$ sont $\sigma$ -finies. En vue de prouver ce théorème nous énonçons d'abord un lemme qui sera utilisé plusieurs fois dans la suite et qui concerne la notion suivante: Une classe $\hbox{$\cal D$}$ de parties de est appelée un $\lambda$ -système si elle vérifie les deux propriétés suivantes:

$\displaystyle A,B\in\hbox{$\cal D$}, A\subset B \Rightarrow B\backslash A\in\hbox{$\cal D$},$

(1)

$\displaystyle (A_p)_{p\geq1}$ est une suite croissante d'éléments de $\displaystyle \hbox{$\cal D$} \Rightarrow \cup_pA_p\in\hbox{$\cal D$}.$

(2)

L'intersection d'un nombre quelconque de $\lambda$ -systèmes est un $\lambda$ -système (vérification immédiate), et le $\lambda$ -système engendré par une classe $\hbox{$\cal A$}$ de parties de est par définition le plus petit $\lambda$ -système contenant $\hbox{$\cal A$}$ (= l'intersection de tous les $\lambda$ -systèmes contenant $\hbox{$\cal A$}$ ). Le lemme suivant est souvent appelé Théorème des classes monotones, ou plutôt il s'agit d'une des versions de ce théorème.

Lemme Si $\hbox{$\cal C$}$ est une classe de parties de stable par intersection finie et contenant lui-même, le $\lambda$ -système engendré par $\hbox{$\cal C$}$ est aussi la tribu engendrée par $\hbox{$\cal C$}$ .

Soit $\hbox{$\cal E$}$ (resp. $\hbox{$\cal F$}$ ) la tribu (resp. le $\lambda$ -système) engendrée par $\hbox{$\cal C$}$ . Comme toute tribu est un $\lambda$ -système, on a $\hbox{$\cal F$}\subset\hbox{$\cal E$}$ , et pour montrer l'inclusion inverse il suffit de prouver que $\hbox{$\cal F$}$ est une tribu.

Pour tout $C\in\hbox{$\cal C$}$ on note $\hbox{$\cal G$}_C$ la classe des $A\in\hbox{$\cal F$}$ tels que $A\cap C\in\hbox{$\cal F$}$ . Comme $(B\backslash A)\cap C=(B\cap C)\backslash(A\cap C)$ et $(\cup_pA_p)\cap C=\cup_p(A_p\cap C)$ , il est clair que $\hbox{$\cal G$}_C$ est un $\lambda$ -système. $\hbox{$\cal C$}$ étant stable par intersection, on a $\hbox{$\cal C$}\subset\hbox{$\cal G$}_C$ , donc $\hbox{$\cal G$}_C=\hbox{$\cal F$}$ par définition même de $\hbox{$\cal F$}$ .

Pour tout $F\in\hbox{$\cal F$}$ on note $\hbox{$\cal H$}_F$ la classe des $A\in\hbox{$\cal F$}$ tels que $A\cap F\in\hbox{$\cal F$}$ . Exactement comme ci-dessus on voit que $\hbox{$\cal H$}_F$ est un $\lambda$ -système. De plus $\hbox{$\cal C$}\subset\hbox{$\cal H$}_F$ (en effet si $C\in\hbox{$\cal C$}$ , et comme $F\in\hbox{$\cal F$}=\hbox{$\cal G$}_C$ , on a $F\cap C\in\hbox{$\cal F$}$ ), de sorte que $\hbox{$\cal H$}_F=\hbox{$\cal F$}$ par définition de $\hbox{$\cal F$}$ .

Ce qui précède implique que pour tous $A,B\in\hbox{$\cal F$}$ on a $A\cap B\in\hbox{$\cal F$}$ . Par ailleurs on a $E\in\hbox{$\cal C$}\subset\hbox{$\cal F$}$ , donc () implique que si $A\in\hbox{$\cal F$}$ on a aussi $A^c\in\hbox{$\cal F$}$ : ainsi, $\hbox{$\cal F$}$ est une algèbre. Pour montrer que c'est une tribu, il reste donc à montrer que $\hbox{$\cal F$}$ est stable par réunion dénombrable. Mais si les sont dans $\hbox{$\cal F$}$ on a vu (puisque $\hbox{$\cal F$}$ est une algèbre) que $A_p=B_1\cup\ldots B_p$ est dans $\hbox{$\cal F$}$ , de sorte que () entraine $\cup_{p\geq1}B_p\in\hbox{$\cal F$}$ , et cela achève la preuve que $\hbox{$\cal F$}$ est une tribu. $\Box$

Preuve du théorème . Notons $\mu_n$ et $\nu_n$ les restrictions de $\mu$ et $\nu$ à : rappelons par exemple que $\mu_n(A)=\mu(A\cap E_n)$ . Vu le théorème 1-, on a $\mu(A)=\lim_n\mu_n(A)$ et $\nu(A)=\lim_n\nu_n(A)$ pour tout $A\in\hbox{$\cal E$}$ : il suffit donc de montrer que $\mu_n=\nu_n$ pour tout .

Dans la suite, on fixe . Pour tout $A\in\hbox{$\cal C$}$ on a $A\cap E_n\in\hbox{$\cal C$}$ par (iii), donc $\mu_n(A)=\nu_n(A)<\infty$ . On a aussi $\mu_n(E)=\nu_n(E)<\infty$ , puisque $E\cap E_n=E_n\in\hbox{$\cal C$}$ : en d'autres termes, $\mu_n(A)=\nu_n(A)<\infty$ pour tout dans la classe $\hbox{$\cal C$}'=\hbox{$\cal C$}\cup\{ E\}$ . Par ailleurs la classe $\hbox{$\cal C$}'$ engendre la tribu $\hbox{$\cal E$}$ et est stable par intersection.

Soit $\hbox{$\cal D$}$ la classe des $A\in\hbox{$\cal E$}$ tels que $\mu_n(A)=\nu_n(A)$ (rappelons que est fixé). Cette classe vérifie () car on peut écrire $\mu_n(B)=\mu_n(A)+\mu_n(B\backslash A)$ par additivité, donc $\mu_n(B\backslash A)=\mu_n(B)-\mu_n(A)$ puisque la mesure $\mu_n$ est finie, et on a des relations analogues pour $\nu_n$ ; elle vérifie () car on a $\mu_n(\cup_pA_p)=\lim_p\mu_n(A_p)$ et une relation analogue pour $\nu_n$ . Par suite $\hbox{$\cal D$}$ est un $\lambda$ -système, qui contient $\hbox{$\cal C$}'$ . En vertu du lemme , et comme $\hbox{$\cal D$}\subset\hbox{$\cal E$}$ par construction, on a en fait $\hbox{$\cal D$}=\hbox{$\cal E$}$ , ce qui veut dire que $\mu_n(A)=\nu_n(A)$ pour tout $A\in\hbox{$\cal E$}$ , et par suite $\mu_n=\nu_n$ . $\Box$

Comme première application de ce résultat on obtient l'unicité de la mesure de Lebesgue dans les théorèmes 1- et 1-: en effet toutes les mesures candidates à être la mesure de Lebesgue prennent la même valeurs finie pour tout élément de la classe $\hbox{$\cal C$}$ des rectangles bornés, et cette classe vérifie (i) (par définition des boréliens), (iii) et (iv) ci-dessus.

Voici une autre application:

Corollaire Soit $\mu$ et $\nu$ deux mesures $\sigma$ -finies sur $(E,\hbox{$\cal E$})$ . Si elles coïncident sur une algèbre engendrant la tribu $\hbox{$\cal E$}$ , elles sont égales.

2) Les fonctions de répartition: Dans ce sous-paragraphe nous introduisons une notion relative aux mesures sur $I\!\!R$ . Elle est particulièrement utile pour les probabilités, et nous commençons par ce cas.

Définition La fonction de répartition d'une probabilité $\mu$ sur $I\!\!R$ (i.e. une mesure de masse totale $\mu(I\!\!R)=1$ ) est la fonction sur $I\!\!R$ définie par

$\displaystyle F(x) = \mu(]-\infty,x]).$

(3)

Proposition La fonction de répartition d'une probabilité $\mu$ sur $I\!\!R$ vérifie les propriétés suivantes:

$\displaystyle \left.\begin{array}{l} F \hbox{\rm est croissante et continue \\lq a... ...parrow+\infty}F(x)=1,\qquad\lim_{x\downarrow-\infty}F(x)=0. \end{array}\right\}$

(4)

De plus, en notant

la limite à gauche de

au point

, et avec les conventions $F(-\infty)=0$ et $F(+\infty-)=1$ (naturelles au vu de (

)), on a:

$\displaystyle \left.\begin{array}{ll} \mu(]a,b]) = F(b)-F(a)\qquad&\hbox{\rm si... ...[a,b[) = F(b-)-F(a-)&\hbox{\rm si} -\infty<a<b\leq+\infty. \end{array}\right\}$

(5)

Comme $]-\infty,x]\subset]-\infty,y]$ si $x\leq y$ , la croissance de est évidente, et ma première égalité () découle de ce que $]-\infty,b]=]-\infty,a]\cup]a,b]$ si et de ce que la mesure de n'importe quel borélien est finie.

Pour montrer la continuité à droite, il suffit de vérifier que si décroit vers on a $F(x_n)\to F(x)$ . Mais la première égalité () implique $F(x_n)=F(x)+\mu(]x,x_n])$ et $]x,x_n]\downarrow\emptyset$ , de sorte que le résultat découle du théorème 1--(b). De même si $x_n\downarrow-\infty$ on a $]-\infty,x_n]\downarrow\emptyset$ , donc $F(x_n)\downarrow 0$ , et si $x_n\uparrow+\infty$ on a $]-\infty,x_n]\uparrow I\!\!R$ , donc $F(x_n)\uparrow1$ : cela achève de prouver ().

Enfin les trois dernières égalités de () se montrent de la même manière. Montrons par exemple la seconde: On a $]a-1/n,b] \downarrow[a,b]$ , donc d'après le théorème 1--(b) on a $\mu([a,b])=\lim_n\mu(]a-1/n,b])=\lim_n(F(b)-F(a-1/n))=F(b)-F(a-)$ . $\Box$

Exemples:

1)

Si $\mu$ est la masse de Dirac au point

, sa fonction de répartition

est

$\displaystyle F(x) = \left\{\begin{array}{ll} 0\quad &\hbox{si} x<a,\ [3mm] 1 &\hbox{si} x\geq a.\end{array}\right.$

2)

Soit $(a_n)_{n\geq1}$ une suite de réels, et $(b_n)_{n\geq1}$ une suite de réels positifs de somme

. Considérons la mesure $\mu=\sum_nb_n\varepsilon _{a_n}$ , qui est une probabilité sur $I\!\!R$ puisque $\sum_nb_n=1$ (on a $\mu(A)=\sum_{n:a_n\in A}b_n$ pour tout borélien

). La fonction de répartition

est alors

$\displaystyle F(x) = \sum_{n:a_n\leq x}b_n.$

(6)

Noter que cette fonction

, clairement croissante, est discontinue en tout point

tel que

, et continue partout ailleurs.

3)

Soit

une fonction positive d'intégrale $\int fd\lambda =1$ par rapport à la mesure de Lebesgue $\lambda$ , et considérons la mesure $\mu$ de densité

(rappelons que $\mu(A)=\int_A fd\lambda$ pour tout borélien

). La fonction de répartition est alors

$\displaystyle F(x) = \int_{-\infty}^xf(y)dy.$

(7)

Noter que si

est continue, alors

est dérivable, de dérivée

Lorsque $\mu$ est une mesure finie sur $I\!\!R$ , sa fonction de répartition est encore définie par (), et la proposition est encore vraie: il faut simplement remplacer $\lim_{x\uparrow+\infty}F(x)=1$ dans () par $\lim_{x\uparrow+\infty}F(x)=\mu(I\!\!R)$ .

Pour les mesures infinies la situation est un peu différente, puisque la formule () peut fort bien donner $F(x)=\infty$ pour tout , de sorte que dans ce cas la définition n'offre aucun intérêt. Il y a cependant une notion analogue, pour les mesures dites de Radon: ce sont les mesures qui vérifient $\mu([-n,n])<\infty$ pour tout entier .

Définition Soit $\mu$ une mesure sur $I\!\!R$ vérifiant $\mu([-n,n])<\infty$ pour tout entier . Sa fonction de répartition généralisée est la fonction sur $I\!\!R$ définie par:

$\displaystyle G(x) = \left\{\begin{array}{ll} -\mu(]x,0[)\quad &\hbox{si} x<0\ [3mm] \mu([0,x]) &\hbox{si} x\geq0. \end{array}\right.$

(8)

Proposition Soit $\mu$ une mesure sur $I\!\!R$ vérifiant $\mu([-n,n])<\infty$ pour tout entier . Sa fonction de répartition généralisée est une fonction croissante, continue à droite, vérifiant $G(0-)=0\leq G(0)$ , et on a encore () pour tous finis, avec au lieu de .

D'abord, le fait que vérifie () lorsque $-\infty<a<b<+\infty$ découle de l'additivité de $\mu$ et des propriétés suivantes:

$\displaystyle 0\leq a<b\quad\Rightarrow\quad ]a,b]=[0,b]\backslash[0,a], \mu([0,b])<\infty,$

$\displaystyle a<0\leq b\quad\Rightarrow\quad ]a,b]=[a,0[\cup[0,b], [a,0[\cap[0,b]=\emptyset ,$

$\displaystyle a<b<0\quad\Rightarrow\quad ]a,b]=]a,0[\backslash]b,0[, \mu(]a,0[)<\infty.$

Cela montre en particulier que

est croissante, et $G(0-)\leq 0\leq G(0)$ est évident. Mais $]-1/n,0[\downarrow\emptyset$ et les ensembles

sont tous contenus dans l'ensemble

, qui est de mesure finie: donc le théorème 1-

entraine que $G(-1/n)=-\mu(]-1/n,0[)\to 0$ , de sorte que

. Les autres propriétés se montrent exactement comme dans la proposition

. $\Box$

Exemple: Si $\mu=\lambda$ est la mesure de Lebesgue, sa fonction de répartition généralisée est .

Lorsque $\mu$ est une probabilité, ou une mesure finie, les rapports entre la fonction de répartition et la fonction de répartition généralisée sont:

$\displaystyle G(x) = F(x)-F(0-),\quad\quad F(x) = G(x)-\lim_{y\to-\infty}G(y).$

(9)

Voici enfin le résultat d'unicité qui montre qu'une mesure de Radon sur $I\!\!R$ est entièrement caractérisée par sa fonction de répartition généralisée:

Théorème Deux mesures $\mu$ et $\nu$ sur $(I\!\!R,\hbox{$\cal R$})$ , finies sur les ensembles pour tout entier , et qui ont même fonction de répartition généralisée sont égales. Le même résultat est vrai si elles sont finies et ont même fonction de répartition.

Il suffit d'apliquer le théorème avec la classe/ $\hbox{$\cal C$}$ constituée de tous les intervalles de la forme pour $-\infty<x<y<+\infty$ : on a évidemment (i), (iii) et (iv), tandis que (ii) vient de ce que $\mu(]x,y])=G(y)-G(x)=\nu(]x,y])$ . $\Box$

Nous terminons ce paragraphe en énonçant un résultat, qui avec le théorème précédent implique le théorème 1-, et qui sera démontré à la fin du cours:

Théorème Si est une fonction de $I\!\!R$ dans $I\!\!R$ , croissante, continue à droite, telle que , il existe une mesure $\mu$ (et une seule d'après le théorème précédent) qui admet pour fonction de répartition généralisée.