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Quelques résultats d'unicité

1) Ci-dessous, $ (E,\hbox{$\cal E$})$ désigne un espace mesurable quelconque. Le résultat essentiel de ce paragraphe est le suivant:

Théorème Soit $ \mu$ et $ \nu$ deux mesures sur $ (E,\hbox{$\cal E$})$, et $ \hbox{$\cal C$}$ une classe de parties de $ E$ vérifiant les propriétés suivantes:

(i) la tribu engendrée par $ \hbox{$\cal C$}$ est $ \hbox{$\cal E$}$;

(ii)  $ \mu(A)=\nu(A)<\infty$ pour tout $ A\in\hbox{$\cal C$}$;

(iii)  la classe $ \hbox{$\cal C$}$ est stable par intersection finie (i.e. $ A,B\in\hbox{$\cal C$} \Rightarrow A\cap B\in\hbox{$\cal C$}$);

(iv)  il existe une suite croissante $ (E_n)_{n\geq1}$ d'éléments de $ \hbox{$\cal C$}$ telle que $ E=\lim_nE_n$.

Les mesures $ \mu$ et $ \nu$ sont alors égales.

Noter que (ii) et (iv) impliquent que les mesures $ \mu$ et $ \nu$ sont $ \sigma $-finies. En vue de prouver ce théorème nous énonçons d'abord un lemme qui sera utilisé plusieurs fois dans la suite et qui concerne la notion suivante: Une classe $ \hbox{$\cal D$}$ de parties de $ E$ est appelée un $ \lambda $-système si elle vérifie les deux propriétés suivantes:

$\displaystyle A,B\in\hbox{$\cal D$},  A\subset B   \Rightarrow   B\backslash A\in\hbox{$\cal D$},$ (1)

$\displaystyle (A_p)_{p\geq1} $   est une suite croissante d'éléments de $\displaystyle \hbox{$\cal D$}   \Rightarrow   \cup_pA_p\in\hbox{$\cal D$}.$ (2)

L'intersection d'un nombre quelconque de $ \lambda $-systèmes est un $ \lambda $-système (vérification immédiate), et le $ \lambda $-système engendré par une classe $ \hbox{$\cal A$}$ de parties de $ E$ est par définition le plus petit $ \lambda $-système contenant $ \hbox{$\cal A$}$ (= l'intersection de tous les $ \lambda $-systèmes contenant $ \hbox{$\cal A$}$). Le lemme suivant est souvent appelé Théorème des classes monotones, ou plutôt il s'agit d'une des versions de ce théorème.

Lemme Si  $ \hbox{$\cal C$}$ est une classe de parties de $ E$ stable par intersection finie et contenant $ E$ lui-même, le $ \lambda $-système engendré par $ \hbox{$\cal C$}$ est aussi la tribu engendrée par $ \hbox{$\cal C$}$.

Soit $ \hbox{$\cal E$}$ (resp. $ \hbox{$\cal F$}$) la tribu (resp. le $ \lambda $-système) engendrée par $ \hbox{$\cal C$}$. Comme toute tribu est un $ \lambda $-système, on a $ \hbox{$\cal F$}\subset\hbox{$\cal E$}$, et pour montrer l'inclusion inverse il suffit de prouver que $ \hbox{$\cal F$}$ est une tribu.

Pour tout $ C\in\hbox{$\cal C$}$ on note $ \hbox{$\cal G$}_C$ la classe des $ A\in\hbox{$\cal F$}$ tels que $ A\cap C\in\hbox{$\cal F$}$. Comme $ (B\backslash A)\cap C=(B\cap C)\backslash(A\cap C)$ et $ (\cup_pA_p)\cap C=\cup_p(A_p\cap C)$, il est clair que $ \hbox{$\cal G$}_C$ est un $ \lambda $-système. $ \hbox{$\cal C$}$ étant stable par intersection, on a $ \hbox{$\cal C$}\subset\hbox{$\cal G$}_C$, donc $ \hbox{$\cal G$}_C=\hbox{$\cal F$}$ par définition même de $ \hbox{$\cal F$}$.

Pour tout $ F\in\hbox{$\cal F$}$ on note $ \hbox{$\cal H$}_F$ la classe des $ A\in\hbox{$\cal F$}$ tels que $ A\cap
F\in\hbox{$\cal F$}$. Exactement comme ci-dessus on voit que $ \hbox{$\cal H$}_F$ est un $ \lambda $-système. De plus $ \hbox{$\cal C$}\subset\hbox{$\cal H$}_F$ (en effet si $ C\in\hbox{$\cal C$}$, et comme $ F\in\hbox{$\cal F$}=\hbox{$\cal G$}_C$, on a $ F\cap C\in\hbox{$\cal F$}$), de sorte que $ \hbox{$\cal H$}_F=\hbox{$\cal F$}$ par définition de $ \hbox{$\cal F$}$.

Ce qui précède implique que pour tous $ A,B\in\hbox{$\cal F$}$ on a $ A\cap B\in\hbox{$\cal F$}$. Par ailleurs on a $ E\in\hbox{$\cal C$}\subset\hbox{$\cal F$}$, donc ([*]) implique que si $ A\in\hbox{$\cal F$}$ on a aussi $ A^c\in\hbox{$\cal F$}$: ainsi, $ \hbox{$\cal F$}$ est une algèbre. Pour montrer que c'est une tribu, il reste donc à montrer que $ \hbox{$\cal F$}$ est stable par réunion dénombrable. Mais si les $ B_p$ sont dans $ \hbox{$\cal F$}$ on a vu (puisque $ \hbox{$\cal F$}$ est une algèbre) que $ A_p=B_1\cup\ldots B_p$ est dans $ \hbox{$\cal F$}$, de sorte que ([*]) entraine $ \cup_{p\geq1}B_p\in\hbox{$\cal F$}$, et cela achève la preuve que $ \hbox{$\cal F$}$ est une tribu. $ \Box$

Preuve du théorème [*].   Notons $ \mu_n$ et $ \nu_n$ les restrictions de $ \mu$ et $ \nu$ à $ E_n$: rappelons par exemple que $ \mu_n(A)=\mu(A\cap E_n)$. Vu le théorème 1-[*], on a $ \mu(A)=\lim_n\mu_n(A)$ et $ \nu(A)=\lim_n\nu_n(A)$ pour tout $ A\in\hbox{$\cal E$}$: il suffit donc de montrer que $ \mu_n=\nu_n$ pour tout $ n$.

Dans la suite, on fixe $ n$. Pour tout $ A\in\hbox{$\cal C$}$ on a $ A\cap E_n\in\hbox{$\cal C$}$ par (iii), donc $ \mu_n(A)=\nu_n(A)<\infty$. On a aussi $ \mu_n(E)=\nu_n(E)<\infty$, puisque $ E\cap E_n=E_n\in\hbox{$\cal C$}$: en d'autres termes, $ \mu_n(A)=\nu_n(A)<\infty$ pour tout $ A$ dans la classe $ \hbox{$\cal C$}'=\hbox{$\cal C$}\cup\{ E\}$. Par ailleurs la classe $ \hbox{$\cal C$}'$ engendre la tribu $ \hbox{$\cal E$}$ et est stable par intersection.

Soit $ \hbox{$\cal D$}$ la classe des $ A\in\hbox{$\cal E$}$ tels que $ \mu_n(A)=\nu_n(A)$ (rappelons que $ n$ est fixé). Cette classe vérifie ([*]) car on peut écrire $ \mu_n(B)=\mu_n(A)+\mu_n(B\backslash A)$ par additivité, donc $ \mu_n(B\backslash A)=\mu_n(B)-\mu_n(A)$ puisque la mesure $ \mu_n$ est finie, et on a des relations analogues pour $ \nu_n$; elle vérifie ([*]) car on a $ \mu_n(\cup_pA_p)=\lim_p\mu_n(A_p)$ et une relation analogue pour $ \nu_n$. Par suite $ \hbox{$\cal D$}$ est un $ \lambda $-système, qui contient $ \hbox{$\cal C$}'$. En vertu du lemme [*], et comme $ \hbox{$\cal D$}\subset\hbox{$\cal E$}$ par construction, on a en fait $ \hbox{$\cal D$}=\hbox{$\cal E$}$, ce qui veut dire que $ \mu_n(A)=\nu_n(A)$ pour tout $ A\in\hbox{$\cal E$}$, et par suite $ \mu_n=\nu_n$. $ \Box$

Comme première application de ce résultat on obtient l'unicité de la mesure de Lebesgue dans les théorèmes 1-[*] et 1-[*]: en effet toutes les mesures candidates à être la mesure de Lebesgue prennent la même valeurs finie pour tout élément $ A$ de la classe $ \hbox{$\cal C$}$ des rectangles bornés, et cette classe vérifie (i) (par définition des boréliens), (iii) et (iv) ci-dessus.

Voici une autre application:

Corollaire Soit $ \mu$ et $ \nu$ deux mesures $ \sigma $-finies sur $ (E,\hbox{$\cal E$})$. Si elles coïncident sur une algèbre engendrant la tribu $ \hbox{$\cal E$}$, elles sont égales.

2) Les fonctions de répartition: Dans ce sous-paragraphe nous introduisons une notion relative aux mesures sur $ I\!\!R$. Elle est particulièrement utile pour les probabilités, et nous commençons par ce cas.

Définition La fonction de répartition d'une probabilité $ \mu$ sur $ I\!\!R$ (i.e. une mesure de masse totale $ \mu(I\!\!R)=1$) est la fonction $ F$ sur $ I\!\!R$ définie par

$\displaystyle F(x) = \mu(]-\infty,x]).$ (3)


Proposition La fonction de répartition $ F$ d'une probabilité $ \mu$ sur $ I\!\!R$ vérifie les propriétés suivantes:

$\displaystyle \left.\begin{array}{l} F \hbox{\rm est croissante et continue \\lq a...
...parrow+\infty}F(x)=1,\qquad\lim_{x\downarrow-\infty}F(x)=0. \end{array}\right\}$ (4)

De plus, en notant $ F(x-)$ la limite à gauche de $ F$ au point $ x$, et avec les conventions $ F(-\infty)=0$ et $ F(+\infty-)=1$ (naturelles au vu de ([*])), on a:

$\displaystyle \left.\begin{array}{ll} \mu(]a,b]) = F(b)-F(a)\qquad&\hbox{\rm si...
...[a,b[) = F(b-)-F(a-)&\hbox{\rm si}  -\infty<a<b\leq+\infty. \end{array}\right\}$ (5)


Comme $ ]-\infty,x]\subset]-\infty,y]$ si $ x\leq y$, la croissance de $ F$ est évidente, et ma première égalité ([*]) découle de ce que $ ]-\infty,b]=]-\infty,a]\cup]a,b]$ si $ a<b$ et de ce que la mesure de n'importe quel borélien est finie.

Pour montrer la continuité à droite, il suffit de vérifier que si $ x_n$ décroit vers $ x$ on a $ F(x_n)\to F(x)$. Mais la première égalité ([*]) implique $ F(x_n)=F(x)+\mu(]x,x_n])$ et $ ]x,x_n]\downarrow\emptyset $, de sorte que le résultat découle du théorème 1-[*]-(b). De même si $ x_n\downarrow-\infty$ on a $ ]-\infty,x_n]\downarrow\emptyset $, donc $ F(x_n)\downarrow 0$, et si $ x_n\uparrow+\infty$ on a $ ]-\infty,x_n]\uparrow I\!\!R$, donc $ F(x_n)\uparrow1$: cela achève de prouver ([*]).

Enfin les trois dernières égalités de ([*]) se montrent de la même manière. Montrons par exemple la seconde: On a $ ]a-1/n,b] \downarrow[a,b]$, donc d'après le théorème 1-[*]-(b) on a $ \mu([a,b])=\lim_n\mu(]a-1/n,b])=\lim_n(F(b)-F(a-1/n))=F(b)-F(a-)$. $ \Box$

Exemples:

1)
Si $ \mu$ est la masse de Dirac au point $ a$, sa fonction de répartition $ F$ est

$\displaystyle F(x) = \left\{\begin{array}{ll} 0\quad &\hbox{si}  x<a,\ [3mm]
1 &\hbox{si}  x\geq a.\end{array}\right.$

2)
Soit $ (a_n)_{n\geq1}$ une suite de réels, et $ (b_n)_{n\geq1}$ une suite de réels positifs de somme $ 1$. Considérons la mesure $ \mu=\sum_nb_n\varepsilon _{a_n}$, qui est une probabilité sur $ I\!\!R$ puisque $ \sum_nb_n=1$ (on a $ \mu(A)=\sum_{n:a_n\in A}b_n$ pour tout borélien $ A$). La fonction de répartition $ F$ est alors

$\displaystyle F(x) = \sum_{n:a_n\leq x}b_n.$ (6)

Noter que cette fonction $ F$, clairement croissante, est discontinue en tout point $ a_n$ tel que $ b_n>0$, et continue partout ailleurs.

3)
Soit $ f$ une fonction positive d'intégrale $ \int fd\lambda =1$ par rapport à la mesure de Lebesgue $ \lambda $, et considérons la mesure $ \mu$ de densité $ f$ (rappelons que $ \mu(A)=\int_A fd\lambda $ pour tout borélien $ A$). La fonction de répartition est alors

$\displaystyle F(x) = \int_{-\infty}^xf(y)dy.$ (7)

Noter que si $ f$ est continue, alors $ F$ est dérivable, de dérivée $ f$.

Lorsque $ \mu$ est une mesure finie sur $ I\!\!R$, sa fonction de répartition est encore définie par ([*]), et la proposition [*] est encore vraie: il faut simplement remplacer $ \lim_{x\uparrow+\infty}F(x)=1$ dans ([*]) par $ \lim_{x\uparrow+\infty}F(x)=\mu(I\!\!R)$.

Pour les mesures infinies la situation est un peu différente, puisque la formule ([*]) peut fort bien donner $ F(x)=\infty$ pour tout $ x$, de sorte que dans ce cas la définition [*] n'offre aucun intérêt. Il y a cependant une notion analogue, pour les mesures dites de Radon: ce sont les mesures qui vérifient $ \mu([-n,n])<\infty$ pour tout entier $ n$.

Définition   Soit $ \mu$ une mesure sur $ I\!\!R$ vérifiant $ \mu([-n,n])<\infty$ pour tout entier $ n$. Sa fonction de répartition généralisée est la fonction $ G$ sur $ I\!\!R$ définie par:

$\displaystyle G(x) = \left\{\begin{array}{ll} -\mu(]x,0[)\quad &\hbox{si}  x<0\ [3mm] \mu([0,x]) &\hbox{si}  x\geq0. \end{array}\right.$ (8)


Proposition Soit $ \mu$ une mesure sur $ I\!\!R$ vérifiant $ \mu([-n,n])<\infty$ pour tout entier $ n$. Sa fonction de répartition généralisée $ G$ est une fonction croissante, continue à droite, vérifiant $ G(0-)=0\leq G(0)$, et on a encore ([*]) pour tous $ a,b$ finis, avec $ G$ au lieu de $ F$.

D'abord, le fait que $ G$ vérifie ([*]) lorsque $ -\infty<a<b<+\infty$ découle de l'additivité de $ \mu$ et des propriétés suivantes:

$\displaystyle 0\leq a<b\quad\Rightarrow\quad ]a,b]=[0,b]\backslash[0,a],   
\mu([0,b])<\infty,$

$\displaystyle a<0\leq b\quad\Rightarrow\quad ]a,b]=[a,0[\cup[0,b],   
[a,0[\cap[0,b]=\emptyset ,$

$\displaystyle a<b<0\quad\Rightarrow\quad ]a,b]=]a,0[\backslash]b,0[,   
\mu(]a,0[)<\infty.$

Cela montre en particulier que $ G$ est croissante, et $ G(0-)\leq 0\leq G(0)$ est évident. Mais $ ]-1/n,0[\downarrow\emptyset $ et les ensembles $ ]-1/n,0[$ sont tous contenus dans l'ensemble $ [-1,0]$, qui est de mesure finie: donc le théorème 1-[*] entraine que $ G(-1/n)=-\mu(]-1/n,0[)\to 0$, de sorte que $ G(0-)=0$. Les autres propriétés se montrent exactement comme dans la proposition [*]. $ \Box$

Exemple: Si $ \mu=\lambda $ est la mesure de Lebesgue, sa fonction de répartition généralisée est $ G(x)=x$.

Lorsque $ \mu$ est une probabilité, ou une mesure finie, les rapports entre la fonction de répartition $ F$ et la fonction de répartition généralisée $ G$ sont:

$\displaystyle G(x) = F(x)-F(0-),\quad\quad F(x) = G(x)-\lim_{y\to-\infty}G(y).$ (9)

Voici enfin le résultat d'unicité qui montre qu'une mesure de Radon sur $ I\!\!R$ est entièrement caractérisée par sa fonction de répartition généralisée:

Théorème Deux mesures $ \mu$ et $ \nu$ sur $ (I\!\!R,\hbox{$\cal R$})$, finies sur les ensembles $ [-n,n]$ pour tout entier $ n$, et qui ont même fonction de répartition généralisée sont égales. Le même résultat est vrai si elles sont finies et ont même fonction de répartition.

Il suffit d'apliquer le théorème [*] avec la classe/ $ \hbox{$\cal C$}$ constituée de tous les intervalles de la forme $ ]x,y]$ pour $ -\infty<x<y<+\infty$: on a évidemment (i), (iii) et (iv), tandis que (ii) vient de ce que $ \mu(]x,y])=G(y)-G(x)=\nu(]x,y])$. $ \Box$

Nous terminons ce paragraphe en énonçant un résultat, qui avec le théorème précédent implique le théorème 1-[*], et qui sera démontré à la fin du cours:

Théorème Si $ G$ est une fonction de $ I\!\!R$ dans $ I\!\!R$, croissante, continue à droite, telle que $ G(0-)=0$, il existe une mesure $ \mu$ (et une seule d'après le théorème précédent) qui admet $ G$ pour fonction de répartition généralisée.


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Jean_Jacod
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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