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Produit d'espaces mesurables

1) La tribu produit: Nous considérons ci-dessous une famille d'espaces mesurables $ (E_i,\hbox{$\cal E$}_i)_{1\leq i\leq d}$, avec un entier $ d\geq2$. Soit le produit $ F=\prod_{i=1}^dE_i$, c'est-à-dire l'ensemble des suites à $ d$ éléments $ (x_1,\ldots,x_d)$ (on dit aussi les ``$ d$-uplets'') où, pour chaque $ i$, $ x_i$ parcourt l'ensemble $ E_i$. L'exemple le plus courant est celui où $ (E_i,\hbox{$\cal E$}_i)=(I\!\!R,\hbox{$\cal R$})$, auquel cas $ F=I\!\!R^d$.

On appelle $ j^{\hbox{\\lq eme}}$ application coordonnée l'application

$\displaystyle Y_j: F \to E_j\quad\hbox{d\'efinie par}\quad Y_j(x_1,\ldots,x_d) = x_j.$ (10)

Un pavé mesurable est une partie de $ F$ la forme $ A=\prod_{i=1}^dA_i$, où $ A_i\in\hbox{$\cal E$}_i$ pour tout $ i$. La base du pavé $ A$ est l'ensemble $ J$ des indices $ i$ tels que $ A_i\neq E_i$, et sa dimension est le nombre de points de $ J$.

Définition   La tribu produit des $ \hbox{$\cal E$}_i$ est la plus petite tribu $ \hbox{$\cal F$}$ de $ F$ telle que chaque application coordonnée $ Y_i$ soit mesurable de $ (F,\hbox{$\cal F$})$ dans $ (E_i,\hbox{$\cal E$}_i)$, c'est-à-dire la tribu de $ F$ engendrée par la réunion de tribus $ \cup_{i=1}^dY_i^{-1}(\hbox{$\cal E$}_i)$. On la note aussi $ \hbox{$\cal F$}=\otimes_{i=1}^d\hbox{$\cal E$}_i=\hbox{$\cal E$}_1\otimes\ldots\otimes\hbox{$\cal E$}_d$.

Lorsque tous les $ (E_i,\hbox{$\cal E$}_i)$ sont égaux à un même espace $ (E,\hbox{$\cal E$})$ on écrit aussi $ F=E^d$ et $ \hbox{$\cal F$}=\hbox{$\cal E$}^{\otimes d}$.

Proposition La tribu produit $ \hbox{$\cal F$}$ est aussi engendrée par chacune des classes suivantes de parties de $ F$:

a) la classe des pavés mesurables;

b) la classe des pavés mesurables de dimension $ 1$.

Soit $ \hbox{$\cal A$}$ la classe de tous les pavés mesurables, et $ \hbox{$\cal B$}$ celle des pavés mesurables de dimension $ 1$. Si $ A=\prod_{i=1}^dA_i$ est dans $ \hbox{$\cal A$}$, on a aussi $ A=\cap_{i=1}^dY_i^{-1}(A_i)$ (vérification immédiate), donc $ A\in\hbox{$\cal F$}$ et finalement $ \hbox{$\cal A$}\subset\hbox{$\cal F$}$. On a aussi $ \hbox{$\cal B$}\subset\hbox{$\cal A$}$, de sorte qu'il reste à montrer que $ \sigma (\hbox{$\cal B$})$ contient $ \hbox{$\cal F$}$. Pour cela, il suffit clairement de montrer, vu la définition de $ \hbox{$\cal F$}$, que chaque tribu $ Y_i^{-1}(\hbox{$\cal E$}_i)$ est contenue dans $ \hbox{$\cal B$}$; mais si $ A_i\in\hbox{$\cal E$}_i$ l'image réciproque $ Y_i^{-1}(A_i)$ est le pavé mesurable $ B$ de dimension $ 1$ donné par $ B=\prod_{i=1}^dB_i$, avec $ B_i=A_i$ et $ B_j=E_j$ si $ j\neq i$: comme $ B\in\hbox{$\cal B$}$, cela achève la démonstration. $ \Box$

Corollaire La tribu borélienne $ \hbox{$\cal R$}^d$ de $ I\!\!R^d$ égale la tribu produit $ \hbox{$\cal R$}^{\otimes d}$.

D'après la définition 1-[*] la tribu borélienne $ \hbox{$\cal R$}^d$ est engendrée par la classe des pavés $ A=\prod_{i=1}^dA_i$ avec des $ A_i$ qui sont des ouverts: on a donc $ \hbox{$\cal R$}^d\subset\hbox{$\cal R$}^{\otimes d}$.

Pour montrer l'inclusion inverse, vu la définition [*], il suffit de vérifier que chaque application $ Y_i$ est mesurable de $ (I\!\!R^d,\hbox{$\cal R$}^d)$ dans $ (I\!\!R,\hbox{$\cal R$})$, i.e. est borélienne; mais comme $ Y_i$ est continue, elle est aussi borélienne (cf. la proposition 2-[*]), d'où le résultat. $ \Box$

Un autre résultat important est l'associativité du produit de tribus. Soit $ k$ un entier entre $ 1$ et $ d-1$. Soit le produit $ F_1=E_1\times\ldots\times E_k$ des $ k$ premiers facteurs, muni de la tribu produit $ \hbox{$\cal F$}_1=\hbox{$\cal E$}_1\otimes\ldots\otimes\hbox{$\cal E$}_k$ (si $ k=1$, cela se réduit à $ F_1=E_1$ et $ \hbox{$\cal E$}_1=\hbox{$\cal F$}_1$), et de même $ F_2=E_{k+1}\times\ldots\times E_d$ avec la tribu $ \hbox{$\cal F$}_2=\hbox{$\cal E$}_{k+1}\otimes\ldots\otimes\hbox{$\cal E$}_d$. On a bien-sûr $ F=F_1\times F_2$ (en identifiant le ``couple'' $ ((x_1,\ldots,x_k),(x_{k+1},\ldots,x_d))$ et le ``$ d$-uplet'' $ (x_1\ldots,x_d)$), ainsi que:

Proposition Les tribus produits $ \hbox{$\cal F$}_1\otimes\hbox{$\cal F$}_2$ et $ \hbox{$\cal F$}=
\otimes_{i=1}^d\hbox{$\cal E$}_i$ sont égales.

A titre d'exemple, on déduit de cette proposition et du corollaire précédent que $ \hbox{$\cal R$}^{n+m}=\hbox{$\cal R$}^n\otimes\hbox{$\cal R$}^m$

Soit $ A=\prod_{i=1}^dA_i$ avec $ A_i\in\hbox{$\cal E$}_i$ un pavé mesurable de $ F$. On peut écrire $ A=B_1\times B_2$, avec $ B_1=\prod_{i=1}^kA_i$ et $ B_2=\prod_{i=k+1}^dA_i$. La proposition [*] entraine $ B_1\in\hbox{$\cal F$}_1$ et $ B_2\in\hbox{$\cal F$}_2$, donc aussi $ A\in\hbox{$\cal F$}_1\otimes
\hbox{$\cal F$}_2$; une nouvelle application de cette proposition entraine que $ \hbox{$\cal F$}=
\otimes_{i=1}^d\hbox{$\cal E$}_i$ est contenue dans $ \hbox{$\cal F$}_1\otimes\hbox{$\cal F$}_2$.

Il reste à montrer que $ \hbox{$\cal F$}_1\otimes\hbox{$\cal F$}_2\subset\hbox{$\cal F$}$. Pour cela, notons $ \hbox{$\cal F$}'$ la classe de tous les ensembles $ A\subset F_1$ tels que $ A\times F_2\in\hbox{$\cal F$}$. Il est immédiat de vérifier que $ \hbox{$\cal F$}'$ est une tribu. Par ailleurs si $ C$ est un pavé mesurable de $ F_1$, le produit $ C\times F_2$ est un pavé mesurable de $ F$, donc $ C\times F_2\in\hbox{$\cal F$}$, donc $ C\in\hbox{$\cal F$}'$: on déduit de la proposition [*] que $ \hbox{$\cal F$}'$ contient la tribu $ \hbox{$\cal F$}_1$, ce qui veut dire que $ A\times F_2\in\hbox{$\cal F$}$ pour tout $ A\in\hbox{$\cal F$}_1$; on montre de même que $ F_1\times B\in\hbox{$\cal F$}$ dès que $ B\in\hbox{$\cal F$}_2$. Par suite $ A\times B=(A\times F_2)\cap(F_1\times B)$ est dans $ \hbox{$\cal F$}$ dès que $ A\in\hbox{$\cal F$}_1$ et $ B\in\hbox{$\cal F$}_2$: une dernière application de la proposition [*] entraine alors que $ \hbox{$\cal F$}_1\otimes\hbox{$\cal F$}_2\subset\hbox{$\cal F$}$, et la preuve est achevée. $ \Box$

2) Les fonctions mesurables:  Passons maintenant à l'étude des applications mesurables. On suppose toujours que $ F=\prod_{i=1}^dE_i$ est muni de la tribu produit $ \hbox{$\cal F$}=
\otimes_{i=1}^d\hbox{$\cal E$}_i$. Il y a deux aspects, selon qu'on considère une application $ f$ d'un espace $ G$ dans le produit $ F$, ou une application $ f$ du produit $ F$ dans un espace $ G$.

Commençons par le cas où $ f$ est une application de $ G$ dans $ F$. De manière équivalente on peut la considérer comme une collection $ (f_1,\ldots,f_d)$, où chaque $ f_i$ est une application de $ G$ dans $ E_i$: $ f_i$ est appelée la $ i^{\hbox{\\lq eme}}$ application coordonnée de $ f$ (une autre manière d'écrire ceci est $ f_i=Y_i\circ f$, avec la notation ([*])).

Proposition Soit $ (G,\hbox{$\cal G$})$ un espace mesurable. Une application $ f$ de $ G$ dans $ F$ est mesurable relativement aux tribus $ \hbox{$\cal G$}$ et $ \hbox{$\cal F$}$ si et seulement si chaque application coordonnée $ f_i$ est mesurable de $ (G,\hbox{$\cal G$})$ dans $ (E_i,\hbox{$\cal E$}_i)$.

Comme $ f_i=Y_i\circ f$ et comme la composée de deux applications mesurables est mesurable (proposition 2-[*]), si $ f$ est mesurable chaque $ f_i$ est aussi mesurable.

Supposons inversement chaque $ f_i$ mesurable. Pour montrer la mesurabilité de $ f$ il suffit (cf. proposition 2-[*]) de montrer que $ f^{-1}(A)\in\hbox{$\cal G$}$ pour tout $ A$ dans une classe $ \hbox{$\cal A$}$ de parties de $ F$ qui engendre la tribu $ \hbox{$\cal F$}$. On va prendre pour $ \hbox{$\cal A$}$ la classe des pavés mesurables de dimension $ 1$ (cf. proposition [*]): un tel pavé s'écrit $ A=Y_i^{-1}(B)$ pour un $ i$ et un $ B\in\hbox{$\cal E$}_i$. Mais $ f_i=Y_i\circ f$ entraîne $ f^{-1}(A)=f_i^{-1}(B)$, qui appartient à $ \hbox{$\cal G$}$ par la mesurabilité de $ f_i$: on a donc le résultat. $ \Box$

A l'inverse on considère maintenant, dans le cas où $ d=2$ seulement pour simplifier, une application $ f$ de $ F=E_1\times E_2$ dans un espace $ G$. On lui associe les familles $ (f_{x_1}^{(2)}:x_1\in E_1)$ et $ (f^{(1)}_{x_2}:x_2\in E_2)$ d'applications de $ E_2$ et $ E_1$ respectivement dans $ G$, définies par

$\displaystyle f^{(2)}_{x_1}(x_2) = f(x_1,x_2),\qquad f^{(1)}_{x_2}(x_1) = f(x_1,x_2).$ (11)

Proposition Si $ f$ est une application mesurable de $ (E_1\times
E_2,\hbox{$\cal E$}_1\otimes\hbox{$\cal E$}_2)$ dans $ (G,\hbox{$\cal G$})$, pour tout $ x_1\in E_1$ (resp. $ x_2\in
E_2$) l'application $ f^{(2)}_{x_1}$ (resp. $ f^{(1)}_{x_2}$) est mesurable de $ (E_2,\hbox{$\cal E$}_2)$ (resp. $ (E_1,\hbox{$\cal E$}_1)$) dans $ (G,\hbox{$\cal G$})$.

On va montrer, par exemple, que $ g=f^{(2)}_{x_1}$ pour un $ x_1\in E_1$ fixé est mesurable de $ (E_2,\hbox{$\cal E$}_2)$ dans $ (G,\hbox{$\cal G$})$.

Soit $ B\in\hbox{$\cal G$}$. Nous devons montrer que $ g^{-1}(B)\in\hbox{$\cal E$}_2$. Si à toute partie $ A$ de $ E_1\times E_2$ on associe la partie $ A'$ de $ E_2$ définie par $ A'=\{ x_2\in E_2:(x_1,x_2)\in A\}$ (rappelons que $ x_1$ est fixé), on a $ g^{-1}(B)=C'$ si $ C=f^{-1}(B)$, et on sait que $ C\in\hbox{$\cal E$}_1\otimes\hbox{$\cal E$}_2$. Il reste donc à montrer que si $ A\in\hbox{$\cal E$}_1\otimes\hbox{$\cal E$}_2$, alors $ A'\in\hbox{$\cal E$}_2$.

Pour cela, soit $ \hbox{$\cal C$}$ la classe des parties $ A$ du produit $ E_1\times E_2$ telles que $ A'\in\hbox{$\cal E$}_2$. Cette classe est évidemment une tribu, et elle contient les ensembles $ A=A_1\times A_2$ $ A_i\in\hbox{$\cal E$}_i$ (car alors $ A'=A_2$ si $ x_1\in A_1$ et $ A'=\emptyset $ sinon), donc elle contient la tribu $ \hbox{$\cal E$}_1\otimes\hbox{$\cal E$}_2$ par la proposition [*]: la preuve est achevée. $ \Box$

En combinant cette proposition et la proposition [*], on voit que si $ f$ est une application mesurable de $ (\prod_{i=1}^dE_i,\otimes_{i=1}^d\hbox{$\cal E$}_i)$ dans $ (G,\hbox{$\cal G$})$, si $ k\in\{1,\dots d-1\}$ et si les $ x_i\in E_i$ sont fixés pour $ i=k+1,\ldots,d$, alors l'application

$\displaystyle (x_1,\ldots,x_k) \mapsto f(x_1,\ldots,x_k,x_{k+1},\ldots,x_d)$

est mesurable de $ (\prod_{i=1}^kE_i,\otimes_{i=1}^k\hbox{$\cal E$}_i)$ dans $ (G,\hbox{$\cal G$})$. En particulier, si $ f$ est une fonction borélienne sur $ I\!\!R^d$, la fonction ci-dessus (avec $ x_{k+1},\ldots,x_d$ fixés) est borélienne sur $ I\!\!R^k$.

Remarque: La ``réciproque'' de la proposition précédente est fausse: les applications $ f^{(2)}_{x_1}$ et $ f^{(1)}_{x_2}$ peuvent être mesurables pour tous $ x_1,x_2$ sans que l'application $ f$ soit mesurable par rapport à la tribu produit $ \hbox{$\cal E$}_1\otimes\hbox{$\cal E$}_2$. Par exemple si $ E_1=E_2=I\!\!R$ est muni de la tribu $ \hbox{$\cal E$}$ engendrée par les singletons $ \{
x\}$ (c'est une tribu ``beaucoup plus petite'' que la tribu borélienne, puisqu'elle ne contient aucun intervalle de longueur finie et non nulle), la fonction $ f=1_{\Delta}$ indicatrice de la diagonale $ \Delta=\{(x,x):x\in I\!\!R\}$ sur $ I\!\!R^2$ n'est pas mesurable par rapport à $ \hbox{$\cal E$}\otimes\hbox{$\cal E$}$, alors que les fonctions $ f^{(2)}_{x_1}$ et $ f^{(1)}_{x_2}$ sont $ \hbox{$\cal E$}$-mesurables. $ \Box$


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Jean_Jacod
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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