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Produit de mesures

1) Le produit de deux mesures:  Soit $ (E_1,\hbox{$\cal E$}_1,\mu_1)$ et $ (E_2,\hbox{$\cal E$}_2,\mu_2)$ deux espaces mesurés. On va construire le ``produit'' des deux mesures $ \mu_1$ et $ \mu_2$ sur l'espace $ F=E_1\times E_2$ muni de la tribu $ \hbox{$\cal F$}=\hbox{$\cal E$}_1\otimes\hbox{$\cal E$}_2$. Les résultats sont rassemblés dans deux théorèmes, qu'on démontrera simultanément:

Théorème Si les deux mesures $ \mu_1$ et $ \mu_2$ sont $ \sigma $-finies , il existe une mesure $ \mu$ et une seule sur $ (F,\hbox{$\cal F$})$, qu'on note aussi $ \mu=\mu_1\otimes\mu_2$ et qu'on appelle la mesure produit, qui vérifie

$\displaystyle \mu(A_1\times A_2) = \mu_1(A_1)\mu_2(A_2)\qquad \forall A_1\in\hbox{$\cal E$}_1,  A_2\in\hbox{$\cal E$}_2.$ (12)


Théorème (THEOREME DE FUBINI)  Supposons que les deux mesures $ \mu_1$ et $ \mu_2$ soient $ \sigma $-finies, et soit $ \mu=\mu_1\otimes\mu_2$.

a) Si $ f$ est une fonction mesurable sur $ (F,\hbox{$\cal F$})$ à valeurs dans $ \bar{I}\!\!\bar{R}_+$, les fonctions

$\displaystyle f_1(x_1) = \int f(x_1,x_2)\mu_2(dx_2),\qquad \quad f_2(x_2) = \int f(x_1,x_2)\mu_1(dx_1)$ (13)

(en vertu de la proposition [*] ces intégrales sont bien définies) sont mesurables sur $ (E_1,\hbox{$\cal E$}_1)$ et $ (E_2,\hbox{$\cal E$}_2)$ respectivement, et on a

$\displaystyle \int fd\mu = \int \mu_1(dx_1)\left(\int f(x_1,x_2) \mu_2(dx_2)\right) = \int \mu_2(dx_2)\left(\int f(x_1,x_2)\mu_1(dx_1)\right).$ (14)

b) Si $ f$ est une fonction mesurable $ f$ sur $ (F,\hbox{$\cal F$})$ à valeurs dans $ \bar{I}\!\!\bar{R}$, les trois assertions suivantes sont équivalentes:

(i) $ f$ est intégrable par rapport à $ \mu$;

(ii) la fonction $ x_1\mapsto\int\vert f(x_1,x_2)\vert\mu_2(dx_2)$ est intégrable par rapport à $ \mu_1$;

(iii) la fonction $ x_2\mapsto\int\vert f(x_1,x_2)\vert\mu_1(dx_1)$ est intégrable par rapport à $ \mu_2$.

Dans ce cas, l'ensemble $ B_1=\{ x_1:\int\vert f(x_1,x_2)\vert\mu_2(dx_2)<\infty\}$ est $ \hbox{$\cal E$}_1$-mesurable et vérifie $ \mu_1((B_1)^c)=0$ et l'ensemble $ B_2=\{
x_2:\int\vert f(x_1,x_2)\vert\mu_1(dx_1)<\infty\}$ est $ \hbox{$\cal E$}_2$-mesurable et vérifie $ \mu_2((B_2)^c)=0$. La fonction $ f_1$ (resp. $ f_2$) de ([*]) est alors bien définie sur $ B_1$ (resp. $ B_2$), et on a ([*]).

Il semble utile de faire d'emblée quelques commentaires. Considérons par exemple la première des formules ([*]): en toute rigueur, il faudrait l'écrire

$\displaystyle \int fd\mu = \int f_1d\mu_1,$   % latex2html id marker 6203
$\displaystyle \mbox{avec $f_1$\ d\'efinie par (\ref{4-16}).}$ (15)

Lorsque $ f\geq 0$ la fonction $ f_1$ est bien définie, mesurable et positive, de sorte que les deux membres de ([*]) ont un sens. Lorsque $ f$ est de signe quelconque, mais intégrable par rapport à $ \mu$, ([*]) définit $ f_1(x_1)$ pour $ x_1\in B_1$, tandis que $ f_1(x_1)$ risque de ne pas avoir de sens si $ x\notin B_1$; toutefois la fonction $ f'_1$ égale à $ f_1$ sur $ B_1$ et (par exemple) à 0 sur $ (B_1)^c$ est $ \hbox{$\cal E$}_1$-mesurable, et l'intégrale $ \int f'_1d\mu_1$ ne dépend pas des valeurs de $ f'_1$ sur l'ensemble $ \mu_1$-négligeable $ (B_1)^c$ (cf. la proposition 3-[*]): il est alors naturel de l'écrire $ \int f_1d\mu_1$ (par un abus - anodin - de notation), et c'est le sens qu'on donne au second membre de ([*]).

1) Par hypothèse il existe des suites $ (C_n)_{n\geq1}$ dans $ \hbox{$\cal E$}_1$ et $ (D_n)_{n\geq1}$ dans $ \hbox{$\cal E$}_2$, telles que $ C_n\uparrow E_1$, $ D_n\uparrow E_2$, $ \mu_1(C_n)<\infty$ et $ \mu_2(D_n)<\infty$ pour tout $ n$.

2) Nous allons maintenant montrer que si $ f$ est une fonction mesurable positive sur $ (F,\hbox{$\cal F$})$, les fonctions $ f_1$ et $ f_2$ de ([*]) sont mesurables. On va traiter, par exemple, le cas de $ f_1$.

Par limite croissante (cf. le lemme 2-[*] et (iv) du théorème 2-[*]), il suffit de montrer le résultat lorsque $ f$ est étagée; par linéarité (cf. la proposition 2-[*]) il suffit même de le montrer lorsque $ f=1_A$ est l'indicatrice d'un $ A\in\hbox{$\cal F$}$.

Soit $ \mu^n_2$ la restriction de $ \mu_2$ à $ D_n$ (donc $ \mu_2^n(B)=\mu_2(B\cap D_n)$). On a $ \mu(B)=\lim_n\uparrow\mu_2^n(B)$, de sorte que si $ f=1_A$ la quantité $ f_1(x_1)$ est la limite croissante des intégrales de la fonction $ x_2\mapsto 1_A(x_1,x_2)$ par rapport aux $ \mu_2^n$. Il suffit donc de montrer la mesurabilité de $ f_1$ lorsqu'on remplace $ \mu_2$ par $ \mu_2^n$: en d'autres termes on peut supposer que la mesure $ \mu_2$ est finie.

Notons $ \hbox{$\cal D$}$ la classe des $ A\in\hbox{$\cal F$}$ tels que la fonction $ f_1$ associée à $ f=1_A$ soit $ \hbox{$\cal E$}_1$-mesurable. Comme $ \mu_2$ est supposée finie, il est évident de vérifier que cette classe vérifie ([*]) et ([*]), c'est-à-dire est un $ \lambda $-système. Par ailleurs si $ A=A_1\times A_2$ est un pavé mesurable, on a $ f_1=\mu_2(A_2)1_{A_1}$, qui est $ \hbox{$\cal E$}_1$-mesurable, de sorte que $ \hbox{$\cal D$}$ contient la classe $ \hbox{$\cal C$}$ des pavés mesurables. Comme la classe $ \hbox{$\cal C$}$ est stable par intersection et contient $ F$ lui-même, une application du lemme [*] montre que $ \hbox{$\cal D$}=\hbox{$\cal F$}$, et a prouvé le résultat cherché.

3) Montrons maintenant l'existence d'une mesure $ \mu$ sur $ (F,\hbox{$\cal F$})$ vérifiant ([*]). D'après 2) on peut poser pour tout $ A\in\hbox{$\cal F$}$:

$\displaystyle \mu(A) = \int\mu_1(dx_1)\left(\int 1_A(x_1,x_2) \mu_2(dx_2)\right).$ (16)

Il est clair que $ \mu(\emptyset )=0$, et la $ \sigma $-additivité de $ \mu$ découle d'une double application du corollaire 2-[*]. Le fait que $ \mu$ vérifie ([*]) est évident.

4) Passons à l'unicité. Soit $ \mu$ et $ \mu'$ deux mesures vérifiant ([*]). Elles coïncident donc sur les pavés mesurables. Pour obtenir que $ \mu=\mu'$ il suffit alors d'appliquer le théorème [*] à la classe $ \hbox{$\cal C$}$ des pavés mesurables $ A=A_1\times A_2$ tels que $ \mu(A)<\infty$ (i.e. $ \mu_i(A_i)<\infty$ pour $ i=1,2$): cette classe vérifie évidemment les conditions (ii) et (iii) de ce théorème; elle vérifie (iv) avec la suite $ F_n=C_n\times D_n$; enfin elle vérifie (i), puisque tout pavé mesurable $ A$ est réunion des pavés $ A\cap F_n$ qui appartiennent à $ \hbox{$\cal C$}$, de sorte que tout pavé mesurable est dans la tribu $ \sigma (\hbox{$\cal C$})$, et donc $ \sigma (\hbox{$\cal C$})=\hbox{$\cal F$}$ par la proposition [*].

5) Pour le moment on a prouvé le théorème [*], et la première partie de (a) du théorème [*]. Montrons maintenant ([*]) lorsque $ f$ est positive. Quand $ f=1_A$ la première de ces formules est exactement ([*]). Par linéarité on en déduit la première formule ([*]) pour toute fonction étagée, puis par limite croissante pour toute fonction mesurable positive. L'égalité entre les membres extrêmes de ([*]) se montre de la même manière.

6) Il reste à montrer la partie (b) du théorème [*]. L'équivalence de (i), (ii) et (iii) découle immédiatement de ([*]) appliquée à $ \vert f\vert$. Le fait que $ B_1\in\hbox{$\cal E$}_1$ vient de la mesurabilité de la fonction $ x_1\mapsto\int\vert f(x_1,x_2)\vert\mu_2(dx_2)$, et $ \mu_1((B_1)^c)=0$ vient de (ii) et du corollaire 3-[*]. On a de même les résultats concernant $ B_2$. Enfin la validité de ([*]) pour $ f$ provient de l'application de ([*]) aux fonctions positives $ f^+$ et $ f^-$ et du fait que $ \int fd\mu=\int f^+d\mu-\int f^-d\mu$. $ \Box$

Exemples:

1)
Lorsque $ (E_1,\hbox{$\cal E$}_1)=(E_2,\hbox{$\cal E$}_2)=(I\!\!R,\hbox{$\cal R$})$, on a vu que $ (F,\hbox{$\cal F$})=(I\!\!R^2,\hbox{$\cal R$}^2)$. Si de plus $ \mu_1=\mu_2=\lambda $ est la mesure de Lebesgue, le produit $ \mu_1\otimes\mu_2$ est alors la mesure de Lebesgue $ \lambda _2$ sur $ I\!\!R^2$, et les théorèmes 1-[*] et 1-[*] découlent du théorème [*] lorsque $ d=2$. L'intégrale d'une fonction $ f$ sur $ I\!\!R^2$ par rapport à $ \lambda _2$ se note aussi

$\displaystyle \int fd\lambda _2 = \int\int f(x,y)dxdy$

et la formule ([*]) est ainsi une version améliorée du résultat selon lequel une intégrale double se calcule comme une succession de deux intégrales ``simples'', dans l'ordre qu'on veut: attention toutefois aux hypothèses sur $ f$ pour que cette formule soit exacte.

2)
Lorsque $ (E_1,\hbox{$\cal E$}_1)=(E_2,\hbox{$\cal E$}_2)=(I\!\!N^*,\hbox{$\cal P$}(I\!\!N^*))$ et lorsque $ \mu_1=\mu_2$ est la mesure de comptage sur $ I\!\!N^*$, le produit $ \mu=\mu_1\otimes\mu_2$ est la mesure de comptage sur $ (I\!\!N^*)^2$. L'intégrale d'une fonction (positive ou intégrable) par rapport à la mesure de comptage étant la somme des valeurs prises par cette fonction, la formule ([*]) devient dans ce cas:

$\displaystyle \sum_{n,m\in I\!\!N^*}u_{n,m} = \sum_{n=1}^{\infty} \left(\sum_{m...
..._{n,m}\right) = \sum_{m=1}^{\infty}\left( \sum_{n=1}^{\infty} u_{n,m}\right) ,$ (17)

à condition que $ u_{n,m}\geq 0$ pour tous $ n,m$, ou que que $ \sum_{n,m\in I\!\!N^*}\vert u_{n,m}\vert<\infty$ si les $ u_{n,m}$ sont de signe quelconque. On retrouve en particulier la formule 2-([*]).

3)
Soit $ (E_1,\hbox{$\cal E$}_1,\mu_1)$ un espace mesuré quelconque avec une mesure $ \mu_1$ $ \sigma $-finie, et soit $ (E_2,\hbox{$\cal E$}_2)=(I\!\!N^*,\hbox{$\cal P$}(I\!\!N^*))$ muni de la mesure de comptage $ \mu_2$. Une fonction $ f$ sur $ F=E_1\times E_2$ peut être considérée comme une suite $ (f_n)_{n\geq1}$ de fonctions sur $ E_1$ par les formules $ f_n(x)=f(x,n)$, et on vérifie aisément que $ f$ est mesurable par rapport à $ \hbox{$\cal F$}=\hbox{$\cal E$}_1\otimes\hbox{$\cal E$}_2$ si et seulement si les fonctions $ f_n$ sont $ \hbox{$\cal E$}_1$-mesurables. La fonction mesurable $ f$ est intégrable par rapport à $ \mu=\mu_1\otimes\mu_2$ si et seulement si on a

$\displaystyle \int(\sum_{n\geq1}\vert f_n-)f\mu_1 =  \sum_{n\geq1}\int\vert f_n\vert d\mu_1 < \infty$ (18)

(appliquer ([*]) à $ \vert f\vert$; la première égalté vient du corollaire 2-[*]). Si on on a ([*]), la série $ \sum_{n\geq1}f_n$ est donc $ \mu_1$-a.s. absolument convergente, de somme $ \mu_1$-intégrable, et la formule ([*]) appliquée à $ f$ donne alors

$\displaystyle \int fd\mu = \sum_{n\geq1}\int f_nd\mu_1 =  \int\left(\sum_{n\geq1}f_n\right)d\mu_1.$ (19)

Ainsi, sous ([*]), on peut intervertir somme et intégrale: on obtient ainsi une version un peu différente du corollaire 2-[*], avec des $ f_n$ de signe quelconque mais vérifiant ([*]).

Remarque 1: La mesurabilité de $ f$ par rapport à la tribu produit est essentielle dans le théorème [*]. On peut trouver des fonctions positives $ f$ qui ne sont pas $ \hbox{$\cal F$}$ mesurables mais qui sont ``séparément'' mesurables en chacune des variables (cf. la remarque de la fin du paragraphe 2), et telles que les fonctions $ f_i$ de ([*]) soient également mesurables: les deux derniers membres de ([*]) sont alors bien définis, mais pas nécessairement égaux, tandis que le premier n'a pas de sens. $ \Box$

Remarque 2: Même lorsque $ f$ est mesurable, il faut faire très attention quand on utilise ([*]), qui n'est vraie que si $ f$ est de signe constant, ou est intégrable.

Illustrons ceci dans le cadre de l'exemple 1 ci-dessus. Soit

$\displaystyle f(x,y) = \left\{\begin{array}{ll} {x-y\over (x+y)^3}\quad &\hbox{si}  
x,y\in]0,1]\ [3mm] 0 & \hbox{sinon}.\end{array}\right.$

On a alors

$\displaystyle \int dx\left(\int f(x,y)dy\right) = \int_0^1dx\int_0^1\left({2x\over(x+y)^3}
-{1\over(x+y)^2}\right) dy = \int_0^1{1\over(1+x)^2}dx = {1\over2},$

et un calcul analogue conduit à $ \int dy\left(\int
f(x,y)dx\right)=-{1\over2}$. Les deux derniers membres de ([*]) sont donc différent (bien-sûr la fonction borélienne $ f$ sur $ I\!\!R^2$ n'est pas $ \lambda _2$-intégrableø.

Pire: les deux derniers membres de ([*]) peuvent être égaux, alors que l'intégrale de $ f$ n'a pas de sens. Prenons par exemple la fonction $ g$ sur $ ]0,\infty[$ définie par $ g(x)=x^{-1/2}$ si $ x\leq1$ et $ g(x)=x^{-2}$ si $ x>1$, de sorte que $ a=\int_0^\infty g(x)dx$ est finie. Soit

\begin{displaymath}f(x,y) = \left\{
\begin{array}{ll} g(x-y)\quad &\hbox{si}   x...
...i}   x=y
\ [3mm] -g(y-x) &\hbox{si}   x<y.
\end{array}\right.\end{displaymath}

Il est clair que $ \int f(x,y)dx=\int f(x,y)dy=a-a=0$, donc les deux derniers membres de ([*]) sont nuls. Cependant $ f^+(x,y)=g(x-y)1_{\{ x>y\}}$, donc ([*]) appliqué à la fonction positive $ f^+$ donne

$\displaystyle \int f^+d\lambda _2 = \int_{-\infty}^{+\infty}dy\int_y^{+\infty}g(x-y)dx = 
\int_{-\infty}^{+\infty}ady = +\infty,$

et de même pour $ f^-$: donc l'intégrale de $ f$ par rapport à $ \lambda _2$ n'a pas de sens.

2) Le produit de plusieurs mesures  On considère maintenant une famille finie d'espaces mesurés $ (E_i,\hbox{$\cal E$}_i,\mu_i)$, pour $ i=1,\ldots,n$. On pose $ F=\prod_{i=1}^nE_i$, muni de la tribu produit $ \otimes_{i=1}^n\hbox{$\cal E$}_i$.

Théorème Si les mesures $ \mu_i$ sont toutes $ \sigma $-finies, il existe une mesure $ \mu$ et une seule sur $ (F,\hbox{$\cal F$})$, qu'on note aussi $ \mu=\mu_1\otimes\ldots\otimes\mu_n=\otimes_{i=1}^n\mu_i$ et qu'on appelle la mesure produit, qui vérifie

$\displaystyle \mu(\prod_{i=1}^nA_i) = \prod_{i=1}^n\mu_i(A_i) \qquad \forall A_i\in\hbox{$\cal E$}_i.$ (20)


On fait une récurrence sur $ n$ (le résultat étant vrai pour $ n=2$ d'après le théorème [*]). Supposons le résultat vrai pour $ n-1$: sur l'espace $ F'=\prod_{i=1}^{n-1}E_i$ muni de la tribu $ \hbox{$\cal F$}'=\otimes_{i=1}^
{n-1}\hbox{$\cal E$}_i$ on a construit la mesure produit $ \mu'$, qui est l'unique mesure vérifiant

$\displaystyle \mu'(\prod_{i=1}^{n-1}A_i) = \prod_{i=1}^{n-1}\mu_i(A_i)
\quad \forall A_i\in\hbox{$\cal E$}_i.$

On a $ F=F'\times E_n$ et, par la proposition [*], $ \hbox{$\cal F$}=\hbox{$\cal F$}'\otimes\hbox{$\cal E$}_n$. Le théorème [*] permet de construire sur $ (F,\hbox{$\cal F$})$ la mesure produit $ \mu=\mu'\otimes\mu_n$, qui vérifie clairement ([*]). Enfin, l'unicité de $ \mu$ se montre exactement comme pour le théorème [*]. $ \Box$

Exemple: La mesure de Lebesgue $ \lambda _d$ sur $ I\!\!R^d$ est ainsi la mesure produit - $ d$ fois - de la mesure de Lebesgue sur $ I\!\!R$, et les théorèmes 1-[*] et 1-[*] découlent du théorème précédent.

Nous avons vu l'associativité du produit des tribus (proposition [*]). La même propriété est vraie pour les produits de mesure, en utilisant les notations $ F_1=\prod_{i=1}^kE_i$, $ \hbox{$\cal F$}_1=\otimes_{i=1}^k\hbox{$\cal E$}_i$ et $ \nu_1=
\otimes_{i=1}^k\mu_i$, ainsi que $ F_2=\prod_{i=k+1}^n$, $ \hbox{$\cal F$}_2=\otimes_{i=k+1}^n
\hbox{$\cal E$}_i$ et $ \nu_2=\otimes_{i=k+1}^n\mu_i$:

Corollaire Les mesures produits $ \nu_1\otimes\nu_2$ et $ \otimes_{i=1}^n\mu_i$ sont égales.

Il suffit de remarquer que ces deux mesures coïncident sur les pavés mesurables de $ (F,\hbox{$\cal F$})$, donc sont égales d'après l'unicité dans le théorème précédent. $ \Box$

Etant donné ce corollaire, le théorème de Fubini se généralise immédiatement au produit fini $ \mu=\otimes_{i=1}^n\mu_i$ par une récurrence immédiate. Plus précisément, si $ f$ est une fonction mesurable sur $ (F,\hbox{$\cal F$})$, on a

$\displaystyle \int fd\mu = \int\mu(dx_1)\left(\int\mu(dx_2)\left(\ldots \int f(x_1,\ldots,x_n)\mu(dx_n)\ldots\right)\right),$ (21)

lorsqu'en plus $ f$ est positive ou intégrable par rapport à $ \mu$, et de plus $ f$ est intégrable si et seulement si le membre de droite de ([*]) écrit pour $ \vert f\vert$ est fini.

Lorsque la fonction $ f$ se met sous la forme $ f(x_1,\ldots,x_n)=\prod_{i=1}^nf_i(x_i)$ (on écrit aussi $ f=\otimes_{i=1}^nf_i$, et c'est d'ailleurs là l'origine de la notation $ \otimes$ pour les produits de tribus ou de mesures), ([*]) prend une forme bien plus agréable:

Proposition Soit $ f_i$ des fonctions mesurables sur $ (E_i,\hbox{$\cal E$}_i)$, et supposons les mesures $ \mu_i$ $ \sigma $-finies. Soit $ f(x_1,\ldots,x_n)=\prod_{i=1}^nf_i(x_i)$ et $ \mu=\otimes_{i=1}^n\mu_i$.

a) La fonction $ f$ est $ \mu$-intégrable si et seulement si on a l'une des deux conditions suivantes:

(i) la fonction $ f_i$ est $ \mu_i$-intégrable pour tout $ i=1,\ldots,n$;

(ii) il existe un indice $ i$ tel que la fonction $ f_i$ soit $ \mu_i$-p.p. égale à 0.

b) Si toutes les fonctions $ f_i$ sont positives, ou si l'une des deux conditions de (a) sont remplies, on a

$\displaystyle \int fd\mu = \prod_{i=1}^n\int f_id\mu_i.$ (22)


D'abord, lorsque les $ f_i$ sont positives la formule ([*]) découle immédiatement de ([*]) (on peut aussi faire une preuve ``directe'': ([*]) n'est autre que ([*]) lorsque les $ f_i$ sont des fonctions indicatrices; par linéarité la formule ([*]) est donc vraie lorsque les $ f_i$ sont étagées, puis par limite croissante lorsque les $ f_i$ sont mesurables positives).

L'assertion (a) découle de la formule ([*]) appliquée aux valeurs absolues $ \vert f_i\vert$ (en se rappelant que l'intégrale d'une fonction positive est nulle si et seulement si cette fonction est presque partout nulle), et ([*]) pour $ f$ intégrable de signe quelconque se déduit de ([*]) appliqué à toutes les combinaisons possibles des $ f_i^+$ et $ f_i^-$. $ \Box$

Voici une remarque évidente: la masse totale de la mesure produit égale le produit des masses totales (appliquer ([*]) avec $ A_i=E_i$). Par exemple, le produit d'un nombre fini de probabilités est une probabilité.

Mais cette remarque explique pourquoi on ne fait pas en général de produit infini de mesures, sauf lorsqu'il s'agit de probabilités: si on se donne une suite infinie $ (\mu_n)_{n\geq1}$ de mesures $ \sigma $-finies (chacune définie sur un espace mesurable $ (E_n,\hbox{$\cal E$}_n)$), et si on cherche à définir la mesure produit sur les pavés mesurables de $ F=\prod_{n\geq1}E_n$ par la formule ([*]), le second membre devient un produit infini qui, en général, diverge. Cependant, si les $ \mu_n$ sont toutes des probabilités, il est possible de définir le produit infini $ \otimes_{n\geq1}\mu_n$ par cette formule (nous nous contentons de cette remarque un peu informelle; la démonstration du résultat est en fait difficile).


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Jean_Jacod
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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