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La formule de changement de variable

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La formule de changement de variable

Ce paragraphe est essentiellement consacré à la démonstration de la formule ``de changement de variable'' dans les intégrales par rapport à la mesure de Lebesgue sur $I\!\!R^n$ . Cela permettra d'étudier la mesure image d'une mesure sur $I\!\!R^n$ ayant une densité.

Le cadre est le suivant: soit et $\Delta$ deux ouverts de $I\!\!R^n$ , et un -difféomorphisme de $\Delta$ dans , c'est-à-dire une application de $\Delta$ dans qui est bijective et continuement différentiable et dont l'application réciproque $h^{-1}$ (de dans $\Delta$ ) est aussi continuement différentiable. On note $h_i(x)=h_i(x_1,\ldots,x_n)$ la $i^{\hbox{\\lq eme}}$ coordonnée de . On appelle matrice jacobienne en $x\in\Delta$ la matrice des dérivées partielles $(\partial h_i/\partial x_j)_{1\leq i,j\leq n}$ prise au point , et jacobien de le déterminant de cette matrice: ce déterminant est noté .

En dérivant les deux membres de l'égalité $h^{-1}\circ h(x)=x$ on vérifie immédiatement que les matrices jacobiennes de en et de $h^{-1}$ en sont inverses l'une de l'autre. Par suite on a

$\displaystyle Dh(x)Dh^{-1}(h(x)) = 1\qquad\forall x\in\Delta.$

(23)

Rappelons enfin que l'intégrale d'une fonction

sur $I\!\!R^n$ par rapport à la mesure de Lebesgue est notée $\int f(x)\lambda _d(dx)$ , notation qu'on abrège en $\int f(x)dx$ , ou qu'on remplace aussi par $\int f(x_1,\ldots,x_n)dx_1\ldots dx_n$ ; l'intégrale de la fonction

lorsque $A\in\hbox{$\cal R$}^d$ est aussi notée $\int_Af(x)dx$ ou $\int_Af(x_1,\ldots,x_n)dx_1\ldots dx_n$ .

Théorème Sous les hypothèses précédentes, pour toute fonction borélienne sur $I\!\!R^d$ telle que soit intégrable par rapport à la mesure de Lebesgue, on a

$\displaystyle \int_Df(x)dx = \int_{\Delta}f\circ h(x)\vert Dh(x)\vert dx.$

(24)

Attention à la valeur absolue du jacobien! Cette formule s'appelle la formule du changement de variable, car elle revient à faire dans la seconde intégrale le changement de variable $x=(x_1,\ldots,x_n)\mapsto y=(y_1,\ldots,y_n)=h(x)$ . Souvent est noté

$\displaystyle Dh(x) = {D(y_1,\ldots,y_n)\over D(x_1,\ldots,x_n)},$

(25)

de sorte que (

) devient

$\displaystyle \int_Df(y_1,\ldots,y_n)dy_1\ldots dy_n = \int_{\Delta}f\circ h(x... ...left\vert{D(y_1,\ldots,y_n)\over D(x_1,\ldots,x_n)}\right\vert dx_1\ldots dx_n.$

(26)

La notation (), cohérente avec (), permet de se rappeler que dans le changement de variable ``l'élément différentiel'' $dy_1\ldots dy_n$ est remplacé par $\left\vert{D(y_1,\ldots,y_n)\over D(x_1,\ldots,x_n)}\right\vert dx_1\ldots dx_n$ .

Exemples:

1)

Supposons que

, et que

et $\Delta=]c,d[$ avec

(ces nombres peuvent être infinis). Un

-difféomorphisme est donc une application dérivable

ayant l'une des deux propriétés suivantes (

est la dérivée de

(i) on a pour tout $x\in\Delta$ , et $\lim_{x\downarrow c}h(x)=a$ et $\lim_{x\uparrow d}h(x)=b$ , ou

(ii) on a pour tout $x\in\Delta$ , et $\lim_{x\downarrow c}h(x)=b$ et $\lim_{x\uparrow d}h(x)=a$ .

() s'écrit alors:

$\displaystyle \left. \begin{array}{ll} h'>0 \hbox{sur} ]c,d[\qquad\Rightarr... ...qquad\Rightarrow&\int_a^bf(x)dx=-\int_c^df\circ h(x)h'(x)dx\end{array}\right\}.$

(27)

et la seconde formule s'écrit aussi souvent $\int_a^bf(x)dx=\int_d^c f\circ h(x)h'(x)dx$ , avec la convention $\int_d^c=-\int_c^d$ : on retrouve donc la formule bien connue de changement de variable sur $I\!\!R$ .

Noter d'ailleurs que lorsque la formule () ne se ramène pas toujours à (): en effet, un ouvert n'est pas forcément un intervalle ouvert. La forme générale de () lorsque est en fait la suivante: soit $(]a_i,b_i])_{i\in I})$ et $(]c_i,d_i[)_{i\in I}$ deux familles d'intervalles ouverts respectivement deux-à-deux disjoints, avec fini ou dénombrable. Pour chaque soit une bijection dérivable de dans dont la dérivée est toujours soit strictement positive, soit strictement négative. On a alors dès que est intégrable, avec $D=\cup_i]a_i,b_i[$ :

$\displaystyle \int_Df(x)dx = \sum_{i\in I}\int_{c_i}^{d_i}f\circ h_i(x)\vert h'_i(x)\vert dx.$

(28)

Cette dernière formule est d'ailleurs vraie dès que les

sont deux-à-deux disjoints (même si ce n'est pas le cas des

2)

Soit

une fonction Lebesgue-intégrable sur $I\!\!R^n$ , et $y\in I\!\!R^n$ . On a alors

$\displaystyle \int f(x)dx = \int f(x+y)dx.$

(29)

Il suffit d'appliquer (

) avec $D=\Delta=I\!\!R^n$ et

: cette application est un

-difféomorphisme de $I\!\!R^n$ dans lui-même qui vérifie

(sa matrice jacobienne est en fait la matrice identité)

Nous allons commencer par un lemme, dans lequel on fait les hypothèses du théorème .

Lemme Pour tout $x\in\Delta$ il existe une boule fermée de centre et de rayon $\varepsilon (x)>0$ , contenue dans $\Delta$ , telle que pour toute fonction borélienne positive on ait, si désigne l'image $\{ h(x):x\in B\}$ de par :

$\displaystyle \int_Cf(y)dy=\int_Bf\circ h(y)\vert Dh(y)\vert dy.$

(30)

La preuve se fait par récurrence sur la dimension .

a) Soit et $x\in\Delta$ . Comme $\Delta$ est ouvert, il existe $\varepsilon (x)>0$ tel que l'intervalle $B=[c,d]=[x-\varepsilon (x),x+\varepsilon (x)]$ soit contenu dans $\Delta$ . L'image est un intervalle , de sorte que () s'écrit en fait (): cette formule, connue lorsque est continue (pour l'intégrale de Riemann), doit être démontrée dans le cas où est seulement borélienne positive.

Exactement comme dans l'exemple ci-dessus, deux cas sont possibles selon que la dérivée est positive ou négative sur , et on va par exemple traiter le cas où pour tout $y\in[c,d]$ (l'autre cas est un peu plus simple).

D'abord, par linéarité et limite croissante il suffit (comme on l'a déjà vu plusieurs fois) de montrer () lorsque est l'indicatrice d'un borélien . Mais si on pose $\mu(A)=\int_a^b1_A(y)dy$ et $\nu(A)=-\int_c^d1_A(h(y))h'(y)dy$ , on définit clairement deux mesures finies $\mu$ et $\nu$ , de sorte qu'il nous faut montrer que ces deux mesures sont égales. D'après le théorème il suffit donc de vérifier $\mu(A)=\nu(A)$ pour $A=]-\infty,\beta ]$ . Comme on a aussi de manière évidente $\mu(A)=\nu(A)=0$ si $A\cap[a,b]=\emptyset$ il suffit de montrer que $\mu(]-\infty,\beta ])=\nu(]-\infty,\beta ])$ pour $a\leq\beta \leq b$ ; comme dans ce cas il existe un unique point $\alpha \in B$ tel que $\beta =h(\alpha )$ , on a alors $y\in[c,d],h(y)\leq\beta \Leftrightarrow\alpha \leq y\leq d$ et donc

$\displaystyle \mu(A) = \beta -a,\quad\quad \nu(A) = -\int_{\alpha }^dh'(y)dy = h(\alpha )-h(d) = \beta -a$

(par une propriété bien connue des intégrales de Riemann; ici

est continue, donc Riemann-intégrable sur $[a,\alpha ]$ ): on a donc le résultat.

b) Supposons () vraie pour . Soit $x\in\Delta$ . D'après () on a $Dh(x)\neq 0$ , donc $\partial h_1/\partial x_i(x)\neq 0$ pour au moins un . La numérotation des coordonnées n'ayant pas d'importance, on peut supposer que ceci est vrai pour . Soit $\theta$ l'application de $\Delta$ dans $I\!\!R^n$ , continuement différentiable, définie de la manière suivante par ses coordonnées:

$\displaystyle \theta_1(y) = h_1(y),\quad\quad \theta_j(y_1,\ldots,y_n) = y_j \hbox{pour} j\geq2.$

Comme $\partial h_1/\partial x_1(x)\neq0$ , le théorème des fonctions implicites montre qu'il existe une boule fermée

de centre

et de rayon $\varepsilon (x)>0$ , contenue dans $\Delta$ , et une fonction continuement différentiable $\rho$ de

dans $I\!\!R$ , tels que

$\displaystyle \theta_1(\rho(y),y_2,\ldots,y_n) = y_1\quad\quad\forall y=(y_1,\ldots,y_n)\in B.$

Notons

les images de la boule

par

et $\theta$ . On peut considérer aussi

(resp. $\theta$ ) comme une application de

dans

(resp. dans

): la première est bijective par hypothèse, la seconde l'est également puisqu'elle admet clairement comme application réciproque $\theta^{-1}(y)=(\rho(y),y_2,\ldots,y_n)$ , et on pose $\varphi =h\circ\theta^{-1}$ qui est bijective de

dans

et vérifie $\varphi _1(y_1,\ldots,y_n)=y_1$ .

Introduisons quelques notations: si $y=(y_1,\ldots,y_n)$ on note $y'=(y_2,\ldots,y_n)$ , de sorte qu'on peut écrire . Soit $B'_{y'}=\{ y_1:(y_1,y')\in B\}$ et $B'=\{ y':B_{y'}\neq\emptyset \}$ , et associons de même $F'_{y'}$ et à . Remarquons que si $y\in B$ on a $\theta(y)=(h_1(y_1,y'),y')$ , de sorte que et que $F'_{y'}$ est l'image de $B'_{y'}$ par l'application $y_1\mapsto h_1(y_1,y')$ . Par ailleurs par composition des dérivées et par $h=\varphi \circ\theta$ il vient $Dh(y)= D\theta(y)D\varphi (\theta(y))$ , tandis que d'après la définition de $\theta$ on voit que $D\theta=\partial h_1/\partial x_1$ . Par suite, en appliquant le théorème de Fubini, puis () pour , puis de nouveau le théorème de Fubini, on obtient:

$\begin{displaymath}\begin{array}{lll} \int_Bf\circ h(y)\vert Dh(y)\vert dy&=&\in... ...=&\int_Ff\circ\varphi (y)\vert D\varphi (y)\vert dy \end{array}\end{displaymath}$

Maintenant, on note $F''_{y_1}=\{ y':(y_1,y)\in F\}$ et $F''=\{ y_1:F''_{y_1}\neq\emptyset \}$ , et on associe de même $C''_{y_1}$ et à . Soit également $\varphi ''_{y_1}(y')=(\varphi _i(y'):2\leq i\leq n)$ . On a $\varphi _1(y_1,y')=y_1$ , de sorte que la première ligne de la matrice jacobienne de $\varphi$ est $(1,0,\ldots,0)$ : par suite $D\varphi (t,y')=D\varphi ''_t(y')$ . Enfin et . Donc d'après le théorème de Fubini, puis () appliqué à , puis de nouveau le théorème de Fubini, il vient

$\begin{displaymath}\begin{array}{lll} \int_Ff\circ\varphi (y)\vert D\varphi (y)\... ...=&\int_{C''}dt\int_{C''_t}f(t,y')dy' = \int_Cf(x)dx.\end{array}\end{displaymath}$

On a donc montré (

) pour

. $\Box$

Preuve du théorème . Il suffit (par différence) de prouver () pour $f\geq 0$ . A chaque $x\in\Delta$ on associe une boule de centre et de rayon strictement positif, tel que si désigne l'image de par on ait (). Cette égalité s'écrit aussi

$\displaystyle \int_Df(y)1_{C_x}(y)dy = \int_{\Delta}f\circ h(y)1_{B_x}(y)\vert Dh(y)\vert dy.$

Soit maintenant $(x(i):i=1,2,\ldots)$ une énumération des points de $\Delta$ qui sont à coordonnées rationnelles (l'ensemble de ces points est dénombrable). Soit $A_1=C_{x(1)}$ et, pour $i=2,\ldots$ , $A_i=C_{x(i)}\cap\left(\cup_{1\leq j\leq i-1}A_j\right)^c$ : les forment une partition de $\Delta$ , et les images de par forment une partition de , avec $A_i\subset C_{x(i)}$ et $G_i\subset B_{x(i)}$ . En appliquant l'égalité ci-dessus à et à $f1_{G_i}$ , et comme $1_{G_i}\circ h=1_{A_i}$ , il vient

$\displaystyle \int_Df(y)1_{G_i}(y)dy = \int_{\Delta}f\circ h(y)1_{A_i}(y)\vert Dh(y)\vert dy.$

Il suffit de sommer sur

pour obtenir (

). $\Box$

Corollaire Si $\mu$ est une mesure sur $I\!\!R^n$ admettant une densité (par rapport à la mesure de Lebesgue), si est un -difféomorphisme de $I\!\!R^n$ dans lui-même, et si $\nu$ désigne la mesure image de $\mu$ sur $I\!\!R^n$ par l'application , alors la mesure $\nu$ admet aussi une densité , qui est donnée par la formule