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La formule de changement de variable

Ce paragraphe est essentiellement consacré à la démonstration de la formule ``de changement de variable'' dans les intégrales par rapport à la mesure de Lebesgue sur $ I\!\!R^n$. Cela permettra d'étudier la mesure image d'une mesure sur $ I\!\!R^n$ ayant une densité.

Le cadre est le suivant: soit $ D$ et $ \Delta$ deux ouverts de $ I\!\!R^n$, et $ h$ un $ C^1$-difféomorphisme de $ \Delta$ dans $ D$, c'est-à-dire une application $ h$ de $ \Delta$ dans $ D$ qui est bijective et continuement différentiable et dont l'application réciproque $ h^{-1}$ (de $ D$ dans $ \Delta$) est aussi continuement différentiable. On note $ h_i(x)=h_i(x_1,\ldots,x_n)$ la $ i^{\hbox{\\lq eme}}$ coordonnée de $ h(x)$. On appelle matrice jacobienne en $ x\in\Delta$ la matrice des dérivées partielles $ (\partial h_i/\partial
x_j)_{1\leq i,j\leq n}$ prise au point $ x$, et jacobien de $ h$ le déterminant de cette matrice: ce déterminant est noté $ Dh(x)$.

En dérivant les deux membres de l'égalité $ h^{-1}\circ h(x)=x$ on vérifie immédiatement que les matrices jacobiennes de $ h$ en $ x$ et de $ h^{-1}$ en $ h(x)$ sont inverses l'une de l'autre. Par suite on a

$\displaystyle Dh(x)Dh^{-1}(h(x)) = 1\qquad\forall x\in\Delta.$ (23)

Rappelons enfin que l'intégrale d'une fonction $ f$ sur $ I\!\!R^n$ par rapport à la mesure de Lebesgue est notée $ \int f(x)\lambda _d(dx)$, notation qu'on abrège en $ \int f(x)dx$, ou qu'on remplace aussi par $ \int f(x_1,\ldots,x_n)dx_1\ldots dx_n$; l'intégrale de la fonction $ f1_A$ lorsque $ A\in\hbox{$\cal R$}^d$ est aussi notée $ \int_Af(x)dx$ ou $ \int_Af(x_1,\ldots,x_n)dx_1\ldots dx_n$.

Théorème Sous les hypothèses précédentes, pour toute fonction borélienne $ f$ sur $ I\!\!R^d$ telle que $ f1_D$ soit intégrable par rapport à la mesure de Lebesgue, on a

$\displaystyle \int_Df(x)dx = \int_{\Delta}f\circ h(x)\vert Dh(x)\vert dx.$ (24)


Attention à la valeur absolue du jacobien! Cette formule s'appelle la formule du changement de variable, car elle revient à faire dans la seconde intégrale le changement de variable $ x=(x_1,\ldots,x_n)\mapsto
y=(y_1,\ldots,y_n)=h(x)$. Souvent $ Dh(x)$ est noté

$\displaystyle Dh(x) = {D(y_1,\ldots,y_n)\over D(x_1,\ldots,x_n)},$ (25)

de sorte que ([*]) devient

$\displaystyle \int_Df(y_1,\ldots,y_n)dy_1\ldots dy_n =  \int_{\Delta}f\circ h(x...
...left\vert{D(y_1,\ldots,y_n)\over D(x_1,\ldots,x_n)}\right\vert dx_1\ldots dx_n.$ (26)

La notation ([*]), cohérente avec ([*]), permet de se rappeler que dans le changement de variable ``l'élément différentiel'' $ dy_1\ldots dy_n$ est remplacé par $ \left\vert{D(y_1,\ldots,y_n)\over
D(x_1,\ldots,x_n)}\right\vert dx_1\ldots dx_n$.

Exemples:

1)
Supposons que $ n=1$, et que $ D=]a,b[$ et $ \Delta=]c,d[$ avec $ a<b$ et $ c<d$ (ces nombres peuvent être infinis). Un $ C^1$-difféomorphisme est donc une application dérivable $ h$ ayant l'une des deux propriétés suivantes ($ h'$ est la dérivée de $ h$):

(i) on a $ h'(x)>0$ pour tout $ x\in\Delta$, et $ \lim_{x\downarrow c}h(x)=a$ et $ \lim_{x\uparrow d}h(x)=b$, ou

(ii) on a $ h'(x)<0$ pour tout $ x\in\Delta$, et $ \lim_{x\downarrow c}h(x)=b$ et $ \lim_{x\uparrow d}h(x)=a$.

([*]) s'écrit alors:

$\displaystyle \left. \begin{array}{ll} h'>0  \hbox{sur}   ]c,d[\qquad\Rightarr...
...qquad\Rightarrow&\int_a^bf(x)dx=-\int_c^df\circ h(x)h'(x)dx\end{array}\right\}.$ (27)

et la seconde formule s'écrit aussi souvent $ \int_a^bf(x)dx=\int_d^c
f\circ h(x)h'(x)dx$, avec la convention $ \int_d^c=-\int_c^d$: on retrouve donc la formule bien connue de changement de variable sur $ I\!\!R$.

Noter d'ailleurs que lorsque $ n=1$ la formule ([*]) ne se ramène pas toujours à ([*]): en effet, un ouvert $ D$ n'est pas forcément un intervalle ouvert. La forme générale de ([*]) lorsque $ n=1$ est en fait la suivante: soit $ (]a_i,b_i])_{i\in I})$ et $ (]c_i,d_i[)_{i\in I}$ deux familles d'intervalles ouverts respectivement deux-à-deux disjoints, avec $ I$ fini ou dénombrable. Pour chaque $ i$ soit $ h_i$ une bijection dérivable de $ ]c_i,d_i[$ dans $ ]a_i,b_i[$ dont la dérivée est toujours soit strictement positive, soit strictement négative. On a alors dès que $ f1_D$ est intégrable, avec $ D=\cup_i]a_i,b_i[$:

$\displaystyle \int_Df(x)dx = \sum_{i\in I}\int_{c_i}^{d_i}f\circ h_i(x)\vert h'_i(x)\vert dx.$ (28)

Cette dernière formule est d'ailleurs vraie dès que les $ ]a_i,b_i[$ sont deux-à-deux disjoints (même si ce n'est pas le cas des $ ]c_i,d_i[$).

2)
Soit $ f$ une fonction Lebesgue-intégrable sur $ I\!\!R^n$, et $ y\in I\!\!R^n$. On a alors

$\displaystyle \int f(x)dx = \int f(x+y)dx.$ (29)

Il suffit d'appliquer ([*]) avec $ D=\Delta=I\!\!R^n$ et $ h(x)=x+y$: cette application est un $ C^1$-difféomorphisme de $ I\!\!R^n$ dans lui-même qui vérifie $ Dh(x)=1$ (sa matrice jacobienne est en fait la matrice identité)

Nous allons commencer par un lemme, dans lequel on fait les hypothèses du théorème [*].

Lemme Pour tout $ x\in\Delta$ il existe une boule fermée $ B$ de centre $ x$ et de rayon $ \varepsilon (x)>0$, contenue dans $ \Delta$, telle que pour toute fonction borélienne positive $ f$ on ait, si $ C$ désigne l'image $ \{ h(x):x\in B\}$ de $ B$ par $ h$:

$\displaystyle \int_Cf(y)dy=\int_Bf\circ h(y)\vert Dh(y)\vert dy.$ (30)


La preuve se fait par récurrence sur la dimension $ n$.

a) Soit $ n=1$ et $ x\in\Delta$. Comme $ \Delta$ est ouvert, il existe $ \varepsilon (x)>0$ tel que l'intervalle $ B=[c,d]=[x-\varepsilon (x),x+\varepsilon (x)]$ soit contenu dans $ \Delta$. L'image $ C$ est un intervalle $ [a,b]$, de sorte que ([*]) s'écrit en fait ([*]): cette formule, connue lorsque $ f$ est continue (pour l'intégrale de Riemann), doit être démontrée dans le cas où $ f$ est seulement borélienne positive.

Exactement comme dans l'exemple ci-dessus, deux cas sont possibles selon que la dérivée $ h'$ est positive ou négative sur $ [c,d]$, et on va par exemple traiter le cas où $ h'(y)<0$ pour tout $ y\in[c,d]$ (l'autre cas est un peu plus simple).

D'abord, par linéarité et limite croissante il suffit (comme on l'a déjà vu plusieurs fois) de montrer ([*]) lorsque $ f=1_A$ est l'indicatrice d'un borélien $ A$. Mais si on pose $ \mu(A)=\int_a^b1_A(y)dy$ et $ \nu(A)=-\int_c^d1_A(h(y))h'(y)dy$, on définit clairement deux mesures finies $ \mu$ et $ \nu$, de sorte qu'il nous faut montrer que ces deux mesures sont égales. D'après le théorème [*] il suffit donc de vérifier $ \mu(A)=\nu(A)$ pour $ A=]-\infty,\beta ]$. Comme on a aussi de manière évidente $ \mu(A)=\nu(A)=0$ si $ A\cap[a,b]=\emptyset $ il suffit de montrer que $ \mu(]-\infty,\beta ])=\nu(]-\infty,\beta ])$ pour $ a\leq\beta \leq b$; comme dans ce cas il existe un unique point $ \alpha \in B$ tel que $ \beta =h(\alpha )$, on a alors $ y\in[c,d],h(y)\leq\beta \Leftrightarrow\alpha \leq y\leq d$ et donc

$\displaystyle \mu(A) = \beta -a,\quad\quad \nu(A) = -\int_{\alpha }^dh'(y)dy = h(\alpha )-h(d) = 
\beta -a$

(par une propriété bien connue des intégrales de Riemann; ici $ h'$ est continue, donc Riemann-intégrable sur $ [a,\alpha ]$): on a donc le résultat.

b) Supposons ([*]) vraie pour $ n-1$. Soit $ x\in\Delta$. D'après ([*]) on a $ Dh(x)\neq 0$, donc $ \partial h_1/\partial x_i(x)\neq 0$ pour au moins un $ i$. La numérotation des coordonnées n'ayant pas d'importance, on peut supposer que ceci est vrai pour $ i=1$. Soit $ \theta$ l'application de $ \Delta$ dans $ I\!\!R^n$, continuement différentiable, définie de la manière suivante par ses coordonnées:

$\displaystyle \theta_1(y) = h_1(y),\quad\quad \theta_j(y_1,\ldots,y_n) = y_j   \hbox{pour}
  j\geq2.$

Comme $ \partial h_1/\partial x_1(x)\neq0$, le théorème des fonctions implicites montre qu'il existe une boule fermée $ B$ de centre $ x$ et de rayon $ \varepsilon (x)>0$, contenue dans $ \Delta$, et une fonction continuement différentiable $ \rho$ de $ B$ dans $ I\!\!R$, tels que

$\displaystyle \theta_1(\rho(y),y_2,\ldots,y_n) = y_1\quad\quad\forall y=(y_1,\ldots,y_n)\in
B.$

Notons $ C$ et $ F$ les images de la boule $ B$ par $ h$ et $ \theta$. On peut considérer aussi $ h$ (resp. $ \theta$) comme une application de $ B$ dans $ C$ (resp. dans $ F$): la première est bijective par hypothèse, la seconde l'est également puisqu'elle admet clairement comme application réciproque $ \theta^{-1}(y)=(\rho(y),y_2,\ldots,y_n)$, et on pose $ \varphi =h\circ\theta^{-1}$ qui est bijective de $ F$ dans $ C$ et vérifie $ \varphi _1(y_1,\ldots,y_n)=y_1$.

Introduisons quelques notations: si $ y=(y_1,\ldots,y_n)$ on note $ y'=(y_2,\ldots,y_n)$, de sorte qu'on peut écrire $ y=(y_1,y')$. Soit $ B'_{y'}=\{ y_1:(y_1,y')\in B\}$ et $ B'=\{ y':B_{y'}\neq\emptyset \}$, et associons de même $ F'_{y'}$ et $ F'$ à $ F$. Remarquons que si $ y\in B$ on a $ \theta(y)=(h_1(y_1,y'),y')$, de sorte que $ F'=B'$ et que $ F'_{y'}$ est l'image de $ B'_{y'}$ par l'application $ y_1\mapsto h_1(y_1,y')$. Par ailleurs par composition des dérivées et par $ h=\varphi \circ\theta$ il vient $ Dh(y)=
D\theta(y)D\varphi (\theta(y))$, tandis que d'après la définition de $ \theta$ on voit que $ D\theta=\partial h_1/\partial x_1$. Par suite, en appliquant le théorème de Fubini, puis ([*]) pour $ n=1$, puis de nouveau le théorème de Fubini, on obtient:

\begin{displaymath}\begin{array}{lll}
\int_Bf\circ h(y)\vert Dh(y)\vert dy&=&\in...
...=&\int_Ff\circ\varphi (y)\vert D\varphi (y)\vert dy \end{array}\end{displaymath}

Maintenant, on note $ F''_{y_1}=\{ y':(y_1,y)\in F\}$ et $ F''=\{
y_1:F''_{y_1}\neq\emptyset \}$, et on associe de même $ C''_{y_1}$ et $ C''$ à $ C$. Soit également $ \varphi ''_{y_1}(y')=(\varphi _i(y'):2\leq i\leq n)$. On a $ \varphi _1(y_1,y')=y_1$, de sorte que la première ligne de la matrice jacobienne de $ \varphi $ est $ (1,0,\ldots,0)$: par suite $ D\varphi (t,y')=D\varphi ''_t(y')$. Enfin $ C''=F''$ et $ C''_t=F''_t$. Donc d'après le théorème de Fubini, puis ([*]) appliqué à $ n-1$, puis de nouveau le théorème de Fubini, il vient

\begin{displaymath}\begin{array}{lll}
\int_Ff\circ\varphi (y)\vert D\varphi (y)\...
...=&\int_{C''}dt\int_{C''_t}f(t,y')dy' = \int_Cf(x)dx.\end{array}\end{displaymath}

On a donc montré ([*]) pour $ n$. $ \Box$

Preuve du théorème [*]. Il suffit (par différence) de prouver ([*]) pour $ f\geq 0$. A chaque $ x\in\Delta$ on associe une boule $ B_x$ de centre $ x$ et de rayon strictement positif, tel que si $ C_x$ désigne l'image de $ B_x$ par $ h$ on ait ([*]). Cette égalité s'écrit aussi

$\displaystyle \int_Df(y)1_{C_x}(y)dy = \int_{\Delta}f\circ h(y)1_{B_x}(y)\vert Dh(y)\vert dy.$

Soit maintenant $ (x(i):i=1,2,\ldots)$ une énumération des points de $ \Delta$ qui sont à coordonnées rationnelles (l'ensemble de ces points est dénombrable). Soit $ A_1=C_{x(1)}$ et, pour $ i=2,\ldots$, $ A_i=C_{x(i)}\cap\left(\cup_{1\leq j\leq i-1}A_j\right)^c$: les $ A_i$ forment une partition de $ \Delta$, et les images $ G_i$ de $ A_i$ par $ h$ forment une partition de $ D$, avec $ A_i\subset C_{x(i)}$ et $ G_i\subset
B_{x(i)}$. En appliquant l'égalité ci-dessus à $ x=x(i)$ et à $ f1_{G_i}$, et comme $ 1_{G_i}\circ h=1_{A_i}$, il vient

$\displaystyle \int_Df(y)1_{G_i}(y)dy = \int_{\Delta}f\circ h(y)1_{A_i}(y)\vert Dh(y)\vert dy.$

Il suffit de sommer sur $ i$ pour obtenir ([*]). $ \Box$

Corollaire Si $ \mu$ est une mesure sur $ I\!\!R^n$ admettant une densité $ f$ (par rapport à la mesure de Lebesgue), si $ h$ est un $ C^1$-difféomorphisme de $ I\!\!R^n$ dans lui-même, et si $ \nu$ désigne la mesure image de $ \mu$ sur $ I\!\!R^n$ par l'application $ h$, alors la mesure $ \nu$ admet aussi une densité $ g$, qui est donnée par la formule

$\displaystyle g(x) = f\circ h^{-1}(x)\vert Dh^{-1}(x)\vert;$ (31)



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Jean_Jacod
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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