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Le produit de convolution

1) Dans ce paragraphe nous introduisons une ``multiplication'' des mesures sur $ I\!\!R^d$, qui s'appelle le produit de convolution. Toutes les mesures dont on parle ci-dessous sont des mesures sur $ I\!\!R^d$ muni de la tribu borélienne $ \hbox{$\cal R$}^d$.

Définition   Si $ \mu$ et $ \nu$ sont deux mesures $ \sigma $-finies sur $ I\!\!R^d$, on appelle produit de convolution de $ \mu$ et $ \nu$ et on note $ \mu\star\nu$ l'image de la mesure $ \mu\otimes\nu$ par l'application de $ I\!\!R^d\times I\!\!R^d$ dans $ I\!\!R^d$ définie par $ (x,y)\mapsto x+y$. $ \Box$

Ainsi, $ \mu\star\nu$ est une mesure sur $ I\!\!R^d$, qui d'après 2-([*]) est donnée par

$\displaystyle \mu\star\nu(A) = \int1_A(x+y)d(\mu\otimes\nu)(x,y).$ (32)

En utilisant le théorème de Fubini, on peut aussi écrire

$\displaystyle \mu\star\nu(A) = \int \mu(dx)\int1_A(x+y)\nu(dy) =  \int\nu(dy)\int1_A(x+y)\mu(dx).$ (33)

On en déduit que le produit de convolution est commutatif. D'après le corollaire [*] il est aussi associatif, i.e. $ (\mu\star\nu)\star
\eta=\mu\star(\nu\star\eta)$, à condition bien entendu que les deux mesures $ \mu\star\nu$ et $ \nu\star\eta$ soient elles-mêmes $ \sigma $-finies (ce qui n'est pas toujours vrai, comme l'exemple 3 ci-dessous le montre !).

Exemples.

1)
Si $ \mu=\varepsilon _0$ est la masse de Dirac en 0, on a $ \mu\star\nu=\nu$ d'après ([*]): en d'autres termes, la masse de Dirac en 0 est un élément neutre pour le produit de convolution.

2)
La masse totale de $ \mu\star\nu$ est $ \mu(I\!\!R^d)\nu(I\!\!R^d)$. En particulier, le produit de convolution de deux probabilités est encore une probabilité.

3)
Si $ \mu=\nu=\lambda _d$ est la mesure de Lebesgue sur $ I\!\!R^d$, le produit $ \eta=\mu\star\nu$ est la mesure donnée par $ \eta(A)=0$ si $ \lambda _d(A)=0$ et $ \eta(A)=+\infty$ si $ \lambda _d(A)>0$: cela découle immédiatement de ([*]). Noter que cette mesure n'est pas $ \sigma $-finie.

Proposition Si $ f$ est une fonction borélienne, positive ou intégrable par rapport au produit de convolution $ \mu\star\nu$, on a

$\displaystyle \int fd(\mu\star\nu) = \int\mu(dx)\int f(x+y)\nu(dy) = \int\nu(dy)\int f(x+y)\mu(dx).$ (34)


Lorsque $ f\geq 0$ cette formule se déduit de ([*]) selon le schéma habituel: par linéarité, puis limite croissante. Lorsque $ f$ est de signe quelconque et intégrable par rapport au produit de convolution, les formules ([*]) sont vraies pour $ f^+$ et $ f^-$, et donnent des valeurs finies, donc on a ([*]) pour $ f$ par différence. $ \Box$

2) Mesures signées avec densité. En vue de définir le produit de convolution d'une fonction et d'une mesure ou de deux fonctions, nous allons d'abord introduire le concept de ``mesure signée'', ce qui veut dire mesure non nécessairement positive. En vue d'éviter une théorie générale un peu lourde, nous nous contentons du cas des mesures admettant une densité par rapport à la mesure de Lebesgue sur $ I\!\!R^d$.

Si $ f$ est une fonction borélienne positive sur $ I\!\!R^d$, Lebesgue-intégrable, on sait qu'on peut définir la mesure $ \mu=f\bullet\lambda _d$ de densité $ f$ par la formule $ \mu(A)=\int_Af(x)dx$ (pour $ A\in\hbox{$\cal R$}^d$). Cette mesure est de masse totale $ \mu(I\!\!R^d)=\int f(x)dx$ finie. Si maintenant $ f$ est Lebesgue-intégrable, mais de signe quelconque, on a les deux mesures $ \mu^+=f^+\bullet\lambda _d$ et $ \mu^-=f^-\bullet\lambda _d$. On pose alors

$\displaystyle \mu = \mu^+-\mu^-$   (i.e.$\displaystyle  \mu(A) = \mu^+(A)-\mu^-(A)   \forall A\in I\!\!R^d),$ (35)

et on note aussi $ \mu=f\bullet\lambda _d$. (lL formule ci-dessus a bien un sens, puisque $ \mu^+(A)$ et $ \mu^-(A)$ sont finies). On dit que $ \mu$ est une mesure signée, car elle vérifie $ \mu(\emptyset )=0$ et la $ \sigma $-additivité, mais les nombres (finis) $ \mu(A)$ sont a priori de signe quelconque. La théorie de l'intégration par rapport à de telles ``mesures'' est facile, et basée sur la formule $ \int gd(f\bullet\lambda _d)=\int f(x)g(x)dx$ qu'on a vue dans la proposition 3-[*] pour $ f\geq 0$. Plus précisément, on pose la

Définition    Si $ f$ est une fonction borélienne sur $ I\!\!R^d$, Lebesgue-intégrable, et si $ \mu=f\bullet\lambda _d$, la fonction borélienne $ g$ est dite $ \mu$-intégrable si et seulement si la fonction $ fg$ est $ \lambda _d$-intégrable. Dans ce cas on pose $ \int gd\mu=\int f(x)g(x)dx$. $ \Box$

Notons aussi la propriété immédiate suivante: si $ \mu=f\bullet\lambda _d$ et $ \nu=g\bullet\lambda _d$ (avec $ f$ et $ g$ boréliennes Lebesgue-intégrables), la formule $ \eta(A)=\mu(A)-\nu(A)$ définit une nouvelle mesure signée, qui n'est autre que $ \eta=(f-g)\bullet\lambda _d$.

3) Avec cette définition, on a alors la proposition suivante. On rappelle que

Proposition Soit $ \mu$ une mesure finie sur $ I\!\!R^d$, et $ f$ une fonction borélienne sur $ I\!\!R^d$, Lebesgue-intégrable. La formule

$\displaystyle (f\star\mu)(x) = \int f(x-y)\mu(dy)$ (36)

définit $ \lambda _d$-p.p. une fonction qui est Lebesgue-intégrable. Si $ \nu=f\bullet\lambda _d$, cette fonction est la densité de la mesure signée $ \mu\star\nu=\mu\star\nu^+-\mu\star\mu^-$.

En raisonnant sur $ f^+$ et sur $ f^-$ et en faisant la différence, et compte tenu de la remarque suivant la définition [*], on voit qu'il suffit de montrer le résultat lorsque $ f\geq 0$.

Dans ce cas, la fonction $ f\star\mu$ est définie partout (à valeurs dans $ \bar{I}\!\!\bar{R}_+$). D'après le théorème de Fubini, elle est borélienne et vérifie

$\displaystyle \int (f\star\mu)(x)1_A(x)dx = \int\mu(dy)\int f(x-y)1_A(x)dx = 
\int\mu(dy)\int f(u)1_A(y+u)du$

(on fait le changement de variable $ x\mapsto h(x)=x-y$ et on applique ([*]) dans la dernière intégrale). Ceci vaut $ \int\mu(dy)\int
1_A(y+u)\nu(du)$ par définition de $ \nu$, et une nouvelle application du théorème de Fubini entraine que

$\displaystyle \int(f\star\mu)(x)1_A(x)dx = \int1_A(y+u)d(\mu\otimes\nu)(y,u) = 
(\mu\star\nu)(A)$

par ([*]). Donc $ \mu\star\nu$ admet la densité $ f\star\mu$. Enfin $ \mu$ et $ \nu$ étant deux mesures de masse totale finie, il en est de même de $ \mu\star\nu$, donc $ f\star\mu$ est Lebesgue-intégrable. $ \Box$

Enfin, si dans la proposition précédente la mesure $ \mu$ admet elle aussi une densité, disons $ g$, la fonction $ f\star\mu$ est aussi notée $ f\star
g$, et elle vaut

$\displaystyle f\star g(x) = \int f(x-y)g(y)dy = \int f(y)g(x-y)dy.$ (37)

Il n'y a d'ailleurs pas de raison de supposer $ g\geq0$ ci-dessus: si $ g$ est de signe quelconque, cette formule définit la densité de la mesure signée $ \mu\star\nu=\mu^+\star\nu^++\mu^-\star\nu^-\mu^+\star\nu^-\mu^-\star\nu^+$. Cela conduit à poser la définition suivante:

Définition    Si $ f$ et $ g$ sont deux fonctions boréliennes Lebesgue-intégrables sur $ I\!\!R^d$, leur produit de convolution $ f\star
g$ est la fonction Lebesgue-intégrable définie par ([*]). $ \Box$

$\displaystyle f\star g(x) = \int f(x-y)g(y)dy = \int f(y)g(x-y)dy.$ (38)


Cette définition est un peu restrictive, et dans les livres d'analyse on voit parfois une définition plus générale du produit de convolution de deux fonctions: il suffit en fait que la formule ([*]) ait un sens.

En vertu de ce qui suit la définition [*], on voit que le produit de convolution des fonctions (Lebesgue-intégrables) est commutatif et associatif.


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Jean_Jacod
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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