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Les définitions

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Les définitions

Dans tout ce chapitre, l'espace mesuré $(E,\hbox{$\cal E$},\mu)$ est fixé. Nous avons déjà rencontré l'espace $\hbox{$\cal L$}^1=\hbox{$\cal L$}^1(E,\hbox{$\cal E$},\mu)$ de toutes les fonctions mesurables sur $(E,\hbox{$\cal E$})$ , à valeurs réelles, qui sont $\mu$ -intégrables (cf. chapitre 2

). Mais, plus généralement, il existe toute une famille $\hbox{$\cal L$}^p$ d'espaces de fonctions mesurables, ainsi définis:

Définition Si $p\in[1,\infty[$ , on note $\hbox{$\cal L$}^p=\hbox{$\cal L$}^p(E,\hbox{$\cal E$},\mu)$ l'ensemble de toutes les fonctions mesurables sur $(E,\hbox{$\cal E$})$ , à valeurs réelles, telles que la fonction $\vert f\vert^p$ soit $\mu$ -intégrable. Si $f\in\hbox{$\cal L$}^p$ , on pose

$\displaystyle \vert\vert f\vert\vert _p = \left(\int\vert f\vert^pd\mu\right)^{1/p}.$

(1)

Proposition Chaque espace $\hbox{$\cal L$}^p$ est un espace vectoriel.

D'abord, si $f\in\hbox{$\cal L$}^p$ et $a\in I\!\!R$ , il est évident que le produit appartient aussi à $\hbox{$\cal L$}^p$ . Il nous suffit donc de montrer que si $f,g\in\hbox{$\cal L$}^p$ , alors $f+g\in\hbox{$\cal L$}^p$ .

On vérifie facilement que $(1+x)^p\leq 2^p(1+x^p)$ pour tout $x\geq 0$ , donc aussi $(x+y)^p\leq 2^p(x^p+ y^p)$ si $x,y\geq 0$ . Il s'ensuit que $\vert f+g\vert^p\leq2^p(\vert f\vert^p+\vert g\vert^p)$ : si $f,g\in\hbox{$\cal L$}^p$ , la fonction $\vert f+g\vert^p$ est intégrable et $f+g\in\hbox{$\cal L$}^p$ . $\Box$

Rappelons que si désigne un espace vectoriel, on appelle norme sur une application $u\mapsto\vert\vert u\vert\vert$ de dans $I\!\!R_+$ qui vérifie:

$\displaystyle \left. \begin{array}{ll} \hbox{(i)} & \vert\vert u\vert\vert=0 \... ...\vert v\vert\vert\qquad\hbox{(in\'egalit\'e triangulaire)}. \end{array}\right\}$

(2)

Si on pose alors $d(u,v)=\vert\vert u-v\vert\vert$ , on définit une distance sur

, et la topologie associée est compatible avec la structure d'espace vectoriel, ce qui signifie que si $u_n\to u$ et $v_n\to v$ pour cette topologie (i.e. $d(u_n,u)\to 0$ et $d(v_n,v)\to 0$ ), et si $a_n\to a$ dans $I\!\!R$ , alors $u_n+v_n\to u+v$ et $a_nu_n\to au$ . On dit alors que

, ou plus précisément $(F,\vert\vert.\vert\vert)$ , est un espace vectoriel normé.

Revenons aux espaces $\hbox{$\cal L$}^p$ . L'application $f\mapsto\vert\vert f\vert\vert _p$ de $\hbox{$\cal L$}^p$ dans $I\!\!R_+$ vérifie clairement (ii) ci-dessus, ainsi que $\vert\vert\vert\vert _p=0$ , et on verra plus tard que (iii) est aussi vérifié (c'est un résultat non évident, sauf pour ). En revanche, $\vert\vert f\vert\vert _p=0$ implique seulement que $f=0 \mu$ -p.p., en vertu de 3-(), de sorte que $\vert\vert.\vert\vert _p$ n'est en général pas une norme sur $\hbox{$\cal L$}^p$ (voir cependant l'exemple 2 ci-dessous).

Pour pallier ce problème, on opère ainsi: d'abord, si et sont deux fonctions réelles mesurables, on écrit $f\sim g$ si et seulement si $f=g \mu$ -p.p., ce qui définit clairement une relation d'équivalence. En vertu du lemme 3-, si $f\in\hbox{$\cal L$}^p$ et si $g\sim f$ , on a aussi $g\in\hbox{$\cal L$}^p$ et $\vert\vert g\vert\vert _p=\vert\vert f\vert\vert _p$ . On peut donc poser la

Définition Si $p\in[1,\infty[$ , on note $L^p=L^p(E,\hbox{$\cal E$},\mu)$ l'ensemble des classes d'équivalence des fonctions de $\hbox{$\cal L$}^p$ , pour la relation d'équivalence ``égalité $\mu$ -presque partout'' rappelée ci-dessus. Si $f\in L^p$ , on note $\vert\vert f\vert\vert _p$ la valeur commune des $\vert\vert g\vert\vert _p$ pour les fonctions appartenant à la classe .

Une autre manière d'exprimer cette définition consiste à dire que est le quotient de $\hbox{$\cal L$}^p$ par la relation d'équivalence ``égalité $\mu$ -presque partout''. Si $f\in L^p$ , on appelle représentant de toute fonction mesurable $f'\in\hbox{$\cal L$}^p$ qui appartient à la classe d'équivalence .

Soit alors $f,g\in L^p$ et $a\in I\!\!R$ . Si et (resp. et ) sont deux représentants quelconques de (resp. ), on a $f'+g'=f''+g'' \mu$ -p.p. et $af'=af'' \mu$ -p.p.: on peut alors définir la somme (resp. le produit ) comme la classe d'équivalence de la somme (resp. du produit ) pour des représentants quelconques et de et : cela munit l'ensemble d'une structure d'espace vectoriel, appelée structure quotient. En particulier l'élément nul (noté encore 0) de est la classe d'équivalence de la fonction nulle, et une fonction mesurable est dans la classe 0 si et seulement si $f'=0 \mu$ -p.p. D'après la proposition 3-, on voit qu'on a alors l'équivalence:

$\displaystyle \vert\vert f\vert\vert _p=0\quad\Leftrightarrow\quad f=0$ $\displaystyle \mbox{(si $f\in L^p$)}$ $\displaystyle .$

(3)

En d'autres termes, $\vert\vert.\vert\vert _p$ vérifie (

-(i)) sur l'espace

Les définitions de $\hbox{$\cal L$}^{\infty}$ et de $L^{\infty}$ sont un peu plus délicates. L'idée est que $\hbox{$\cal L$}^{\infty}$ est l'ensemble des fonctions mesurables et ``presque partout'' bornées, proposition dont la traduction rigoureuse est la suivante:

Définition a) On note $\hbox{$\cal L$}^{\infty}=\hbox{$\cal L$}^{\infty}(E,\hbox{$\cal E$},\mu)$ l'ensemble de toutes les fonctions mesurables sur $(E;\hbox{$\cal E$})$ , à valeurs réelles, qui sont essentiellement bornées, ce qui signifie qu'il existe un réel $a\in I\!\!R_+$ (dépendant de , bien entendu), tel que $\vert f\vert\leq a \mu$ -p.p. Pour une telle fonction, on pose

$\displaystyle \vert\vert f\vert\vert _{\infty} = \inf(a\in I\!\!R_+:\vert f\vert\leq a \mu\hbox{-p.p.}).$

(4)

b) On note $L^{\infty}=L^{\infty}(E,\hbox{$\cal E$},\mu)$ l'ensemble des classes d'équivalence des fonctions de $\hbox{$\cal L$}^{\infty}$ , pour la relation d'équivalence ``égalité $\mu$ -presque partout'': là encore, si $f\in\hbox{$\cal L$}^{\infty}$ et si $g=f \mu$ -p.p., alors $g\in\hbox{$\cal L$}^{\infty}$ , et on a clairement $\vert\vert f\vert\vert _{\infty}=\vert\vert g\vert\vert _{\infty}$ , de sorte que si $h\in L^{\infty}$ on peut noter $\vert\vert h\vert\vert _{\infty}$ la valeur commune des $\vert\vert f\vert\vert _{\infty}$ lorsque parcourt la classe . $\Box$

Remarquer que si $\vert f\vert\leq A \mu$ -p.p. et $\vert g\vert\leq B \mu$ -p.p. et si $a\in I\!\!R$ , on a $\vert f+g\vert\leq A+B \mu$ -p.p. et $\vert af\vert\leq\vert a\vert A \mu$ -p.p.: on en déduit immédiatement que $\hbox{$\cal L$}^{\infty}$ est un espace vectoriel, et exactement comme ci-dessus on munit $L^{\infty}$ de la structure vectorielle quotient induite par la relation d'équivalence ``égalité $\mu$ -presque partout''. La propriété (-(i)) est alors satisfaite par $\vert\vert.\vert\vert _{\infty}$ , sur l'espace $L^{\infty}$ .

Puisque $\vert f\vert\leq a \mu$ -p.p. pour tout $a>\vert\vert f\vert\vert _{\infty}$ , on a aussi la propriété suivante:

$\displaystyle f\in\hbox{$\cal L$}^{\infty}\qquad\Rightarrow\qquad \vert f\vert\leq \vert\vert f\vert\vert _{\infty} \mu-$ p.p.

(5)

Dans toute la suite, on oubliera les $\hbox{$\cal L$}^p$ et on ne considèrera en fait que les . Cependant, les éléments de seront implicitement considérés comme des fonctions (ce qui revient en fait à confondre une classe d'équivalence avec l'un quelconque de ses représentants): cette identification d'une classe avec un représentant est en fait anodine, dans la mesure où les intégrales (par rapport à $\mu$ ) sont les mêmes pour tous les représentants de la même classe. Attention, toutefois: lorsqu'on considère simultanément deux mesures $\mu$ et $\nu$ , les classes d'équivalence ne sont pas les mêmes relativement à chacune de ces mesures, et l'identification d'une classe à l'un quelconque de ses représentants ne peut plus se faire.

Exemples:

1)

est fini et si $\mu(E)<\infty$ , tous les espaces

(resp. tous les espaces $\hbox{$\cal L$}^p$ ) pour $1\leq p\leq+\infty$ sont les mêmes.

2)

est fini ou dénombrable, si $\hbox{$\cal E$}=\hbox{$\cal P$}(E)$ , et si $\mu(\{ x\})>0$ pour tout $x\in E$ , alors $L^p=\hbox{$\cal L$}^p$ pour tout $p\in[1,\infty]$ .

3)

Soit $E=I\!\!N$ avec $\hbox{$\cal E$}=\hbox{$\cal P$}(E)$ et $\mu$ la mesure de comptage; on note $\ell^p$ l'espace $L^p(E,\hbox{$\cal E$},\mu)=\hbox{$\cal L$}^p(E,\hbox{$\cal E$},\mu)$ . Cet espace est l'espace des suites $(u_n)_{n\in I\!\!N}$ telles que:

$\displaystyle p\in[1,\infty[\qquad\Rightarrow\qquad \sum_n\vert u_n\vert^p<\infty$ et $\displaystyle \quad\vert\vert(u_n)\vert\vert _p=\left(\sum_n\vert u_n\vert^p\right)^{1/p},$

(6)

$\displaystyle p=\infty\qquad\Rightarrow\qquad \sup_n\vert u_n\vert<\infty$ et $\displaystyle \quad \vert\vert(u_n)\vert\vert _{\infty}=\sup_n\vert u_n\vert.$

(7)

Lemme Si $\mu$ est une mesure finie et si $1\leq p\leq q\leq+\infty$ , on a $L^q\subset L^q$ .

Si $q<\infty$ , on a $\vert f\vert^p\leq 1+\vert f\vert^q$ , donc

$\displaystyle \int\vert f\vert^pd\mu \leq \int(1+\vert f\vert^q)d\mu = \mu(E)+\int\vert f\vert^qd\mu,$

qui est fini si $f\in\L ^q$ . Si maintenant $f\in L^{\infty}$ et si $a=\vert\vert f\vert\vert _{\infty}$ , on a $\vert f\vert^p\leq a^p$ (on peut négliger d'écrire `` $\mu$ -p.p.'', puisqu'on considère des classes d'équivalence). Donc $\int\vert f\vert^pd\mu\leq a^p\mu(E)<\infty$ . $\Box$ .

Remarque. Ce résultat est faux si $\mu(E)=\infty$ : par exemple si $(E,\hbox{$\cal E$},\mu)=(I\!\!R,\hbox{$\cal R$},\lambda )$ , la fonction est dans $L^{\infty}$ , mais pas dans si $p<\infty$ . La fonction $f(x)=x^{-a}1_{[1,\infty[}(x)$ pour est dans si , mais pas si $p\geq 1/a$ .