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Les définitions

Dans tout ce chapitre, l'espace mesuré $ (E,\hbox{$\cal E$},\mu)$ est fixé. Nous avons déjà rencontré l'espace $ \hbox{$\cal L$}^1=\hbox{$\cal L$}^1(E,\hbox{$\cal E$},\mu)$ de toutes les fonctions mesurables sur $ (E,\hbox{$\cal E$})$, à valeurs réelles, qui sont $ \mu$-intégrables (cf. chapitre 2). Mais, plus généralement, il existe toute une famille $ \hbox{$\cal L$}^p$ d'espaces de fonctions mesurables, ainsi définis:

Définition    Si $ p\in[1,\infty[$, on note $ \hbox{$\cal L$}^p=\hbox{$\cal L$}^p(E,\hbox{$\cal E$},\mu)$ l'ensemble de toutes les fonctions mesurables sur $ (E,\hbox{$\cal E$})$, à valeurs réelles, telles que la fonction $ \vert f\vert^p$ soit $ \mu$-intégrable. Si $ f\in\hbox{$\cal L$}^p$, on pose

$\displaystyle \vert\vert f\vert\vert _p = \left(\int\vert f\vert^pd\mu\right)^{1/p}.$ (1)


Proposition Chaque espace $ \hbox{$\cal L$}^p$ est un espace vectoriel.

D'abord, si $ f\in\hbox{$\cal L$}^p$ et $ a\in I\!\!R$, il est évident que le produit $ af$ appartient aussi à $ \hbox{$\cal L$}^p$. Il nous suffit donc de montrer que si $ f,g\in\hbox{$\cal L$}^p$, alors $ f+g\in\hbox{$\cal L$}^p$.

On vérifie facilement que $ (1+x)^p\leq 2^p(1+x^p)$ pour tout $ x\geq 0$, donc aussi $ (x+y)^p\leq 2^p(x^p+
y^p)$ si $ x,y\geq 0$. Il s'ensuit que $ \vert f+g\vert^p\leq2^p(\vert f\vert^p+\vert g\vert^p)$: si $ f,g\in\hbox{$\cal L$}^p$, la fonction $ \vert f+g\vert^p$ est intégrable et $ f+g\in\hbox{$\cal L$}^p$. $ \Box$

Rappelons que si $ F$ désigne un espace vectoriel, on appelle norme sur $ F$ une application $ u\mapsto\vert\vert u\vert\vert$ de $ F$ dans $ I\!\!R_+$ qui vérifie:

$\displaystyle \left. \begin{array}{ll} \hbox{(i)} & \vert\vert u\vert\vert=0  \...
...\vert v\vert\vert\qquad\hbox{(in\'egalit\'e triangulaire)}. \end{array}\right\}$ (2)

Si on pose alors $ d(u,v)=\vert\vert u-v\vert\vert$, on définit une distance sur $ F$, et la topologie associée est compatible avec la structure d'espace vectoriel, ce qui signifie que si $ u_n\to u$ et $ v_n\to v$ pour cette topologie (i.e. $ d(u_n,u)\to 0$ et $ d(v_n,v)\to 0$), et si $ a_n\to a$ dans $ I\!\!R$, alors $ u_n+v_n\to u+v$ et $ a_nu_n\to au$. On dit alors que $ F$, ou plus précisément $ (F,\vert\vert.\vert\vert)$, est un espace vectoriel normé.

Revenons aux espaces $ \hbox{$\cal L$}^p$. L'application $ f\mapsto\vert\vert f\vert\vert _p$ de $ \hbox{$\cal L$}^p$ dans $ I\!\!R_+$ vérifie clairement (ii) ci-dessus, ainsi que $ \vert\vert\vert\vert _p=0$, et on verra plus tard que (iii) est aussi vérifié (c'est un résultat non évident, sauf pour $ p=1$). En revanche, $ \vert\vert f\vert\vert _p=0$ implique seulement que $ f=0  \mu$-p.p., en vertu de 3-([*]), de sorte que $ \vert\vert.\vert\vert _p$ n'est en général pas une norme sur $ \hbox{$\cal L$}^p$ (voir cependant l'exemple 2 ci-dessous).

Pour pallier ce problème, on opère ainsi: d'abord, si $ f$ et $ g$ sont deux fonctions réelles mesurables, on écrit $ f\sim g$ si et seulement si $ f=g  
\mu$-p.p., ce qui définit clairement une relation d'équivalence. En vertu du lemme 3-[*], si $ f\in\hbox{$\cal L$}^p$ et si $ g\sim f$, on a aussi $ g\in\hbox{$\cal L$}^p$ et $ \vert\vert g\vert\vert _p=\vert\vert f\vert\vert _p$. On peut donc poser la

Définition    Si $ p\in[1,\infty[$, on note $ L^p=L^p(E,\hbox{$\cal E$},\mu)$ l'ensemble des classes d'équivalence des fonctions de $ \hbox{$\cal L$}^p$, pour la relation d'équivalence ``égalité $ \mu$-presque partout'' rappelée ci-dessus. Si $ f\in L^p$, on note $ \vert\vert f\vert\vert _p$ la valeur commune des $ \vert\vert g\vert\vert _p$ pour les fonctions $ g$ appartenant à la classe $ f$.

Une autre manière d'exprimer cette définition consiste à dire que $ L^p$ est le quotient de $ \hbox{$\cal L$}^p$ par la relation d'équivalence ``égalité $ \mu$-presque partout''. Si $ f\in L^p$, on appelle représentant de $ f$ toute fonction mesurable $ f'\in\hbox{$\cal L$}^p$ qui appartient à la classe d'équivalence $ f$.

Soit alors $ f,g\in L^p$ et $ a\in I\!\!R$. Si $ f'$ et $ f''$ (resp. $ g'$ et $ g''$) sont deux représentants quelconques de $ f$ (resp. $ g$), on a $ f'+g'=f''+g''  \mu$-p.p. et $ af'=af''  \mu$-p.p.: on peut alors définir la somme $ f+g$ (resp. le produit $ af$) comme la classe d'équivalence de la somme $ f'+g'$ (resp. du produit $ af'$) pour des représentants quelconques $ f'$ et $ g'$ de $ f$ et $ g$: cela munit l'ensemble $ L^p$ d'une structure d'espace vectoriel, appelée structure quotient. En particulier l'élément nul (noté encore 0) de $ L^p$ est la classe d'équivalence de la fonction nulle, et une fonction mesurable $ f'$ est dans la classe 0 si et seulement si $ f'=0  \mu$-p.p. D'après la proposition 3-[*], on voit qu'on a alors l'équivalence:

$\displaystyle \vert\vert f\vert\vert _p=0\quad\Leftrightarrow\quad f=0$   $\displaystyle \mbox{(si $f\in L^p$)}$$\displaystyle .$ (3)

En d'autres termes, $ \vert\vert.\vert\vert _p$ vérifie ([*]-(i)) sur l'espace $ L^p$.

Les définitions de $ \hbox{$\cal L$}^{\infty}$ et de $ L^{\infty}$ sont un peu plus délicates. L'idée est que $ \hbox{$\cal L$}^{\infty}$ est l'ensemble des fonctions mesurables et ``presque partout'' bornées, proposition dont la traduction rigoureuse est la suivante:

Définition    a) On note $ \hbox{$\cal L$}^{\infty}=\hbox{$\cal L$}^{\infty}(E,\hbox{$\cal E$},\mu)$ l'ensemble de toutes les fonctions mesurables $ f$ sur $ (E;\hbox{$\cal E$})$, à valeurs réelles, qui sont essentiellement bornées, ce qui signifie qu'il existe un réel $ a\in I\!\!R_+$ (dépendant de $ f$, bien entendu), tel que $ \vert f\vert\leq a  \mu$-p.p. Pour une telle fonction, on pose

$\displaystyle \vert\vert f\vert\vert _{\infty} = \inf(a\in I\!\!R_+:\vert f\vert\leq a  \mu\hbox{-p.p.}).$ (4)

b) On note $ L^{\infty}=L^{\infty}(E,\hbox{$\cal E$},\mu)$ l'ensemble des classes d'équivalence des fonctions de $ \hbox{$\cal L$}^{\infty}$, pour la relation d'équivalence ``égalité $ \mu$-presque partout'': là encore, si $ f\in\hbox{$\cal L$}^{\infty}$ et si $ g=f  \mu$-p.p., alors $ g\in\hbox{$\cal L$}^{\infty}$, et on a clairement $ \vert\vert f\vert\vert _{\infty}=\vert\vert g\vert\vert _{\infty}$, de sorte que si $ h\in L^{\infty}$ on peut noter $ \vert\vert h\vert\vert _{\infty}$ la valeur commune des $ \vert\vert f\vert\vert _{\infty}$ lorsque $ f$ parcourt la classe $ h$. $ \Box$

Remarquer que si $ \vert f\vert\leq A  \mu$-p.p. et $ \vert g\vert\leq B  \mu$-p.p. et si $ a\in I\!\!R$, on a $ \vert f+g\vert\leq A+B  \mu$-p.p. et $ \vert af\vert\leq\vert a\vert A  \mu$-p.p.: on en déduit immédiatement que $ \hbox{$\cal L$}^{\infty}$ est un espace vectoriel, et exactement comme ci-dessus on munit $ L^{\infty}$ de la structure vectorielle quotient induite par la relation d'équivalence ``égalité $ \mu$-presque partout''. La propriété ([*]-(i)) est alors satisfaite par $ \vert\vert.\vert\vert _{\infty}$, sur l'espace $ L^{\infty}$.

Puisque $ \vert f\vert\leq a  \mu$-p.p. pour tout $ a>\vert\vert f\vert\vert _{\infty}$, on a aussi la propriété suivante:

$\displaystyle f\in\hbox{$\cal L$}^{\infty}\qquad\Rightarrow\qquad \vert f\vert\leq \vert\vert f\vert\vert _{\infty}  \mu-$p.p. (5)

Dans toute la suite, on oubliera les $ \hbox{$\cal L$}^p$ et on ne considèrera en fait que les $ L^p$. Cependant, les éléments de $ L^p$ seront implicitement considérés comme des fonctions (ce qui revient en fait à confondre une classe d'équivalence avec l'un quelconque de ses représentants): cette identification d'une classe avec un représentant est en fait anodine, dans la mesure où les intégrales (par rapport à $ \mu$) sont les mêmes pour tous les représentants de la même classe. Attention, toutefois: lorsqu'on considère simultanément deux mesures $ \mu$ et $ \nu$, les classes d'équivalence ne sont pas les mêmes relativement à chacune de ces mesures, et l'identification d'une classe à l'un quelconque de ses représentants ne peut plus se faire.

Exemples:

1)
Si $ E$ est fini et si $ \mu(E)<\infty$, tous les espaces $ L^p$ (resp. tous les espaces $ \hbox{$\cal L$}^p$) pour $ 1\leq p\leq+\infty$ sont les mêmes.

2)
Si $ E$ est fini ou dénombrable, si $ \hbox{$\cal E$}=\hbox{$\cal P$}(E)$, et si $ \mu(\{ x\})>0$ pour tout $ x\in E$, alors $ L^p=\hbox{$\cal L$}^p$ pour tout $ p\in[1,\infty]$.

3)
Soit $ E=I\!\!N$ avec $ \hbox{$\cal E$}=\hbox{$\cal P$}(E)$ et $ \mu$ la mesure de comptage; on note $ \ell^p$ l'espace $ L^p(E,\hbox{$\cal E$},\mu)=\hbox{$\cal L$}^p(E,\hbox{$\cal E$},\mu)$. Cet espace est l'espace des suites $ (u_n)_{n\in I\!\!N}$ telles que:

$\displaystyle p\in[1,\infty[\qquad\Rightarrow\qquad \sum_n\vert u_n\vert^p<\infty$    et$\displaystyle \quad\vert\vert(u_n)\vert\vert _p=\left(\sum_n\vert u_n\vert^p\right)^{1/p},$ (6)

$\displaystyle p=\infty\qquad\Rightarrow\qquad \sup_n\vert u_n\vert<\infty$    et$\displaystyle \quad \vert\vert(u_n)\vert\vert _{\infty}=\sup_n\vert u_n\vert.$ (7)

Lemme Si $ \mu$ est une mesure finie et si $ 1\leq p\leq
q\leq+\infty$, on a $ L^q\subset L^q$.

Si $ q<\infty$, on a $ \vert f\vert^p\leq 1+\vert f\vert^q$, donc

$\displaystyle \int\vert f\vert^pd\mu \leq \int(1+\vert f\vert^q)d\mu = \mu(E)+\int\vert f\vert^qd\mu,$

qui est fini si $ f\in\L ^q$. Si maintenant $ f\in L^{\infty}$ et si $ a=\vert\vert f\vert\vert _{\infty}$, on a $ \vert f\vert^p\leq a^p$ (on peut négliger d'écrire ``$ \mu$-p.p.'', puisqu'on considère des classes d'équivalence). Donc $ \int\vert f\vert^pd\mu\leq a^p\mu(E)<\infty$. $ \Box$.

Remarque. Ce résultat est faux si $ \mu(E)=\infty$: par exemple si $ (E,\hbox{$\cal E$},\mu)=(I\!\!R,\hbox{$\cal R$},\lambda )$, la fonction $ f(x)=1$ est dans $ L^{\infty}$, mais pas dans $ L^p$ si $ p<\infty$. La fonction $ f(x)=x^{-a}1_{[1,\infty[}(x)$ pour $ a>0$ est dans $ L^p$ si $ p<1/a$, mais pas si $ p\geq 1/a$.

L'inclusion peut même être en sens inverse: en reprenant l'exemple 3 ci-dessus, on voit que $ \ell^p\subset\ell^q$ si $ p\leq q$.


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Jean_Jacod
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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