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Les espaces pour $1\leq p\leq\infty$

1) Nous allons commencer par une inégalité faisant intervenir les fonctions convexes, et dont nous déduirons ensuite deux inégalités sur les normes pour les espaces .

Rappelons d'abord que si est un espace vectoriel, une partie de est dite convexe si pour tous $x,y\in A$ on a $ax+(1-a)y\in A$ pour tout $a\in[0,1]$ (en d'autres termes, le ``segment'' de d'extrémités et est tout entier contenu dans ). Ensuite, si est un intervalle de $I\!\!R_+$ (borné ou non), une fonction $\psi$ de dans $I\!\!R$ est dite concave (resp. convexe) si l'ensemble $\{(x,y)\in I\!\!R^2:x\in I,y\leq\psi(x)\}$ (resp. $\{(x,y)\in I\!\!R^2:x\in I,y\geq\psi(x)\}$ est un ensemble convexe de $I\!\!R^2$ . Remarquer que $\psi$ est convexe si et seulement si $-\psi$ est concave. Noter aussi que si $\psi$ est deux fois dérivable dans l'intérieur de , elle est convexe (resp. concave) si et seulement si sa dérivée seconde est positive (resp. négative).

Lemme (Inégalité de Jensen) Soit $\nu$ une probabilité sur $(E,\hbox{$\cal E$})$ , soit $\psi$ une fonction concave sur un intervalle de $I\!\!R$ , soit enfin une fonction réelle $\nu$ -intégrable, telle que $f(x)\in I$ pour tout $x\in E$ . On a alors $\int fd\nu\in I$ , et

$\displaystyle \int\psi(f)d\nu \leq \psi\left(\int\! fd\nu\right).$

(8)

Posons $m=\int fd\nu$ . Soit l'extrémité gauche de . Si $a=-\infty$ on a . Si $a>-\infty$ on a $f\geq a$ par hypothèse, donc $m\geq\int ad\nu=a$ puisque $\nu$ est une probabilité. De même si est l'extrémité droite de , on a si $b=\infty$ , et $m\leq b$ si $b<\infty$ : cela prouve que $m\in I$ .

Comme $\psi$ est concave, il existe au moins une droite de $I\!\!R^2$ d'équation $y=\alpha (x-m)+\psi(m)$ qui est située entièrement au dessus de graphe de $\psi$ , i.e. $\alpha (x-m)+\psi(m)\geq\psi(x)$ pour tout $x\in I$ . Par suite

$\displaystyle \int\psi(f)d\nu \leq \int\left(\alpha (f-m)+\psi(m)\right) d\nu = \alpha \int fd\nu-\alpha m+\psi(m) = \psi(m)\quad \Box$

Lemme (Inégalité de Hölder) Soit des nombres de $[1,\infty]$ vérifiant ${1\over p}+{1\over q}={1\over r}$ (avec la convention ${1\over\infty}=0$ ). Si $f\in L^p$ et $g\in L^q$ , le produit appartient à , et on a

$\displaystyle \vert\vert fg\vert\vert _r \leq \vert\vert f\vert\vert _p\vert\vert g\vert\vert _q.$

(9)

Si $p=q=r=\infty$ , ou si $p=r<\infty$ et $q=\infty$ , le résultat est évident. On suppose donc que sont finis. Comme les normes de , et ne font intervenir que les valeurs absolues de ces fonctions, on peut aussi supposer que et sont positives. Par ailleurs si $\vert\vert f\vert\vert _p=0$ on a $\mu$ -p.p., donc aussi $\mu$ -p.p., donc $\vert\vert fg\vert\vert _r=0$ . On peut donc enfin supposer que le nombre $C=\int f^pd\mu$ est strictement positif.

On pose alors , et on note $\nu=f'\bullet\mu$ la mesure qui admet la densité par rapport à $\mu$ . Noter que $\nu$ est une probabilité, et que $\nu$ -p.p. (puisque sur l'ensemble $\{ f=0\}$ , donc $\nu(f=0)=\int f'1_{\{ f=0\}}d\mu=0$ ). Etant donnés les rapports entre $\mu$ et $\nu$ , on a

$\displaystyle \int f^rg^rd\mu = \int {g^r\over f^{p-r}}f^pd\mu = C\int\left({g^q\over f^p}\right)^{r/q}d\nu,$

puisque

. Comme

, la fonction $x\mapsto\vert x\vert^{q/r}$ est clairement convexe, et le lemme précédent entraine que

$\displaystyle \int f^rg^rd\mu \leq C\left({1\over C}\int {g^q\over f^p}f^pd\mu\right)^{r/q} = C^{r/p}\left(\int g^qd\mu\right)^{r/q}$

(en utilisant que

). Mais $\int g^qd\mu=\vert\vert g\vert\vert _q^q$ et $C=\vert\vert f\vert\vert _p^p$ , de sorte que l'inégalité précédente est exactement (

). $\Box$

Lemme (Inégalité de Minkowski) Soit $p\in[1,\infty]$ , et et dans . On a

$\displaystyle \vert\vert f+g\vert\vert _p \leq \vert\vert f\vert\vert _p+\vert\vert g\vert\vert _p.$

(10)

Si le résultat est très simple: en effet, en identifiant (comme on l'a souligné ci-dessus) un élément de (i.e. une classe d'équivalence) avec l'un quelconque de ses représentants, on a

$\displaystyle \vert\vert f+g\vert\vert _1 = \int\vert f+g\vert d\mu \leq \int(\... ...u+\int\vert g\vert d\mu = \vert\vert f\vert\vert _1+\vert\vert g\vert\vert _1.$

Dans le cas $p=\infty$ , on a $\vert f\vert\leq\vert\vert f\vert\vert _\infty$ $\mu$ -p.p. et $\vert g\vert\leq\vert\vert g\vert\vert _\infty$ $\mu$ -p.p., donc aussi $\vert f+g\vert\leq\vert\vert f\vert\vert _\infty +\vert\vert g\vert\vert _\infty$ $\mu$ -p.p., de sorte qu'on a (

Passons au cas où $1<p<\infty$ . Soit le réel tel que ${1\over p}+{1\over q}=1$ ., et $h=\vert f+g]$ . En utilisant d'abord que $h^p\leq(\vert f\vert+\vert g\vert)h^{p-1}$ , puis l'inégalité () avec , on obtient:

$\displaystyle \int \vert h\vert^pd\mu \leq \int\vert f\vert h^{p-1}d\mu+\int\ve... ...t h^{p-1}\vert\vert _q+\vert\vert g\vert\vert _p\vert\vert h^{p-1}\vert\vert _q$

$\displaystyle \hskip5cm = (\vert\vert f\vert\vert _p+\vert\vert g\vert\vert _p)\left(\int h^{(p-1)q}d\mu\right)^{1/q},$

ce qui donne finalement $\int h^pd\mu\leq(\vert\vert f\vert\vert _p+\vert\vert g\vert\vert _p)\left(\int h^pd\mu \right)^{1/q}$ , puisque

. Comme on a déjà vu que

est un espace vectoriel, on a aussi $h\in L^p$ , de sorte que $\int h^pd\mu<\infty$ : on déduit alors de l'inégalité précédente que $\left(\int h^pd\mu \right)^{1-1/q}\leq\vert\vert f\vert\vert _p+\vert\vert g\vert\vert _p$ . Comme

, on en déduit le résultat. $\Box$

2) Nous sommes maintenant prêt à démontrer les résultats principaux de ce paragraphe:

Théorème Si $p\in[1,\infty]$ , l'espace $(L^p,\vert\vert.\vert\vert _p)$ est un espace vectoriel normé.

Nous avons déjà vu que est un espace vectoriel, et que sur cet espace l'application $f\mapsto\vert\vert f\vert\vert _p$ vérifie (i) et (ii) de (). La propriété (iii) de () n'est autre que ().

Dans la suite, on dit qu'une suite $(f_n)_{n\geq1}$ de converge vers une limite dans , et on écrit $f_n \to^{L^p} f$ , si $\vert\vert f_n-f\vert\vert _p\to0$ . Rappelons qu'on a

$\displaystyle f_n \to^{L^p} f\quad\Rightarrow\quad \vert\vert f_n\vert\vert _p \to \vert\vert f\vert\vert _p.$

(11)

(C'est en fait fait un résultat général sur la convergence associée à une norme, qui se démontre ainsi: on a $\vert\vert u\vert\vert\leq\vert\vert u-v\vert\vert+\vert\vert v\vert\vert$ par l'inégalité triangulaire, donc $\vert\vert u\vert\vert-\vert\vert v\vert\vert\leq\vert\vert u-v\vert\vert$ et on a de même $\vert\vert v\vert\vert-\vert\vert u\vert\vert\leq\vert\vert u-v\vert\vert$ , de sorte que $\vert \vert\vert u\vert\vert-\vert\vert v\vert\vert \vert\leq\vert\vert u-v\vert\vert$ ).

Signalons aussi les propriétés évidentes suivantes:

$\displaystyle f\in L^p \Leftrightarrow \vert f\vert\in L^p,$ et alors $\displaystyle \vert\vert \vert f\vert \vert\vert _p=\vert\vert f\vert\vert _p.$

(12)

$\displaystyle \vert f\vert\leq g\in L^p \Rightarrow f\in L^p$ et $\displaystyle \vert\vert f\vert\vert _p\leq\vert\vert g\vert\vert _p.$

(13)

Exemples:

1): Si est un ensemble fini, avec la tribu de toutes ses parties, et si $\mu$ est une mesure telle que $0<\mu(\{ x\})<\infty$ pour tout $x\in E$ , on a déjà vu que $L^p=\hbox{$\cal L$}^p$ ne dépend pas de , et il est clair que cet espace peut s'identifier à $I\!\!R^E$ : une fonction est simplement une famille finie de réels $u=(u_x:x\in E)$ . On a alors $\vert\vert u\vert\vert _p=\left(\sum_{x\in E}\vert u_x\vert^p\mu(\{ x\})\right)^{1/p}$ , et cette norme coïncide avec la norme euclidienne usuelle si et si $\mu$ est la mesure de comptage. Sinon, c'est une norme différente, mais la topologie associée est la même dans tous les cas: c'est la topologie usuelle sur $I\!\!R^E$ .
2): Si on considère l'espace $\ell^p$ décrit dans l'exemple 3 du paragraphe 1, la suite $(u^{(m)}=(u^{(m)}_n:n\in I\!\!N))_{m\geq1}$ converge dans $\ell^p$ (i.e. pour la distance associée à la norme $\vert\vert.\vert\vert _p$ ) vers la limite si et seulement si $\sum_n\vert u^{(m)}_n-u_n\vert^p\to0$ quand $m\to\infty$ , lorsque $p\in[1,\infty[$ ; si $p=\infty$ , il y a convergence dans $\ell^\infty$ si et seulement si $\sup_n\vert u_n^{(m)}-u_n\vert\to0$ . Ces conditions entrainent toutes que $u^{(m)}_n\to u_n$ pour tout .

Le second résultat important concerne les rapports entre la convergence $\mu$ -presque partout d'une suite $(f_n)_{n\geq1}$ de fonctions (qui est aussi, comme l'appartenance à $\hbox{$\cal L$}^p$ , une propriété des classes d'équivalence), et la convergence dans : pour étudier ces rapports, on supposera que $p\in[1,\infty[$ , le cas $p=\infty$ étant de nature très différente. Supposons d'abord que $f_n\to f \mu$ -p.p. (rappelons que cela veut dire que l'ensemble des $x\in E$ pour lesquels ne converge pas vers est $\mu$ -négligeable). On ne peut évidemment pas conclure que $f_n \to^{L^p} f$ , ne serait-ce, par exemple, que parce que les fonctions ou n'appartiennent pas nécessairement à . Cependant, on a:

$\displaystyle p\in[1,\infty[,\quad f_n\to f \mu-$ p.p. $\displaystyle ,\quad \vert f_n\vert\leq g\in L^p \forall n\qquad\Rightarrow\qquad f_n\to^{L^p}f$

(14)

(appliquer le théorème de convergence dominée de Lebesgue

à la suite $\vert f_n-f\vert^p$ , qui converge p.p. vers 0 et vérifie $\vert f_n-f\vert^p\leq (2g)^p \mu$ -p.p.).

Dans le sens opposé, on a la

Proposition Soit $p\in[1,\infty[$ . Si $f_n\to^{L^p}f$ , il existe une suite $(n_k)_{k\geq1}$ strictement croissante d'entiers telle que $f_{n_k}\to f \mu$ -p.p. (on dit aussi: on peut extraire de la suite une sous-suite qui converge p.p. vers ).

On pose , et on définit par récurrence la suite ainsi: si on connait $n_{k-1}$ pour un $k\in I\!\!N^*$ , on peut trouver un $n_k\in I\!\!N$ tel que $n_k>n_{k-1}$ et que $\vert\vert f_{n_k}-f\vert\vert _p\leq 2^{-k}$ . Posons $A(k,q)=\{\vert f_{n_k}-f\vert>{1\over q}\}$ (pour $q\in I\!\!N^*$ ). D'après l'inégalité de Bienaymé-Tchebicheff 3-() appliquée à la fonction $\vert f_{n_k}-f\vert^p$ , on a $\mu(A(k,q))\leq q^p\int\vert f_{n_k}-f\vert^pd\mu\leq q^p2^{-pk}$ . On a donc $\sum_{k\geq1}\mu(A(k,q))<\infty$ , et le lemme de Borel-Cantelli (corollaire 3-) implique que l'ensemble $B(q)=\limsup_k A(k,q)$ est $\mu$ -négligeable pour tout . Il en est donc de même de $B=\cup_{q\geq1}B(q)$ .

Soit $x\notin B$ . Pour tout $q\geq1$ on a $x\notin B(q)$ , ce qui veut dire qu'il y a (au plus) un nombre fini d'entiers tels que $x\in A(k,q)$ . Notons le plus grand des entiers tels que $x\in A(k,q)$ . Pour tout on a alors $\vert f_{n_k}(x)-f(x)\vert\leq{1\over q}$ : comme est arbitrairement grand, cela veut exactement dire que $f_{n_k}(x)\to f(x)$ . On a donc montré que $f_{n_k}(x)\to f(x)$ si $x\notin B$ , et le résultat est démontré. $\Box$

Lorsque $p=\infty$ , on a un résultat bien plus fort: si $f_n\to^{L^\infty}f$ , alors en dehors d'un ensemble négligeable on a que la suite $(f_n)_{n\geq1}$ converge uniformément vers .

Corollaire Soit $p\in[1,\infty]$ . Si la suite $(f_n)_{n\geq1}$ converge dans vers une limite , et $\mu$ -p.p. vers une limite , on a $f=g \mu$ -p.p.

Le résultat découle immédiatement de la remarque précédant l'énoncé, lorsque $p=\infty$ . Si maintenant $p\in[1,\infty[$ , on a vu plus haut qu'il existe une suite telle que $f_{n_k}\to f \mu$ -p.p., et comme $f_n\to g \mu$ -p.p. on a a fortiori $f_{n_k}\to g \mu$ -p.p.: la propriété $f=g \mu$ -p.p. est alors évidente. $\Box$

Remarques: 1) On ne peut pas faire mieux que la proposition . Soit par exemple , muni de la tribu borélienne $\hbox{$\cal E$}$ et de la mesure de Lebesgue $\lambda$ . Soit $u_n=\sum_{i=1}^n{1\over i}$ . On note l'ensemble des $x\in E$ qui sont de la forme , avec $p\in Z\!\!\!Z$ et $u_n\leq y\leq u_{n+1}$ (c'est à dire l'ensemble des points de $[u_n,u_{n+1}]$ ``modulo ''). Soit aussi $f_n=1_{A_n}$ . On a $\int f_nd\lambda ={1\over n+1}$ , de sorte que $f_n \to^{L^p} 0$ pour tout $p\in[1,\infty[$ . Cependant, comme $u_n\uparrow\infty$ , on voit que les ensembles ``glissent'' le long de une infinité de fois, de sorte que $\limsup_nf_n=1$ et $\liminf_nf_n=0$ : on n'a donc pas $f_n\to0 \lambda$ -p.p.

2) A l'inverse, si on a $f_n\to f \mu$ -p.p. et si les fonctions et sont dans , il n'est pas sûr que $f_n \to^{L^p} f$ : Sur le même espace que dans la remarque précédente, soit $f_n(x)=n1_{[0,1/n]}(x)$ . La suite converge p.p. vers , mais $\int f_n^pd\lambda =n^{p-1}$ ne tend pas vers 0 (bien-sûr, l'hypothèse de () n'est pas satisfaite dans cette situation). $\Box$

Proposition Soit $p\in[1,\infty]$ et $(f_n)_{n\geq1}$ des fonctions de telles que $\sum_{n\geq1}\vert\vert f_n\vert\vert _p<\infty$ . La série $\sum_nf_n$ est alors presque partout absolument convergente, et convergente dans , et on a

$\displaystyle \vert\vert\sum_nf_n\vert\vert _p \leq \sum_n\vert\vert f_n\vert\vert _p.$

(15)

Voici quelques commentaires sur la signification de cet énoncé. D'abord, dire que la série $\sum_nf_n$ est p.p. absolument convergente signifie que pour tout en dehors d'un ensemble négligeable on a $\sum_n\vert f_n(x)\vert< \infty$ , donc la série numérique $\sum_nf_n(x)$ converge pour ces valeurs de . La convergence dans signifie que les fonctions $g_n=\sum_{i=1}^nf_i$ convergent dans vers une limite . En vertu du corollaire , on a donc $g(x)=\sum_nf_n(x)$ pour tout en dehors d'un ensemble négligeable, et il est alors naturel de noter $\sum_nf_n$ la fonction .

Posons comme ci-dessus $g_n=\sum_{i=1}^nf_i$ , et aussi $h_n=\sum_{i=1}^n\vert f_i\vert$ et $h=\lim_n\uparrow h_n$ . Supposons d'abord $p=\infty$ . Il existe un ensemble négligeable tel que si $x\in N^c$ on a $\vert f_n(x)\vert\leq\vert\vert f_n\vert\vert _\infty$ . Donc si $x\in N^c$ on a $h(x)\leq\sum_n\vert\vert f_n\vert\vert _\infty<\infty$ , donc la série $\sum_nf_n(x)$ est absolument convergente et sa somme vérifie $\vert g(x)-g_n(x)\vert\leq\sum_{m>n}\vert\vert f_m\vert\vert _\infty$ : toutes les assertions sont alors évidentes.

Supposons ensuite $p<\infty$ . D'après l'inégalité triangulaire et () on a $\vert\vert h_n\vert\vert _p\leq\sum_{i=1}^n\vert\vert f_i\vert\vert _p\leq a$ , si désigne la somme $a=\sum_n\vert\vert f_n\vert\vert _p$ , qui est finie par hypothèse. D'après le théorème de limite monotone, on a

$\displaystyle \int h^pd\mu = \lim_n\uparrow\int h_n^pd\mu = \lim_n\uparrow\vert\vert h_n\vert\vert^p_p \leq a^p.$

On en déduit que

, étant $\mu$ -intégrable, est $\mu$ -p.p. finie, et il en est évidemment de même de

. En d'autres termes la série numérique $\sum_nf_n(x)$ est absolument convergente, et a fortiori convergente, sur l'ensemble $\{ x:h(x)<\infty\}$ dont le complémentaire est négligeable.

Posons $g(x)=\sum_nf_n(x)$ pour tout point tel que la série soit absolument convergente, et (de manière arbitraire) ailleurs. On a bien-sûr $\vert g\vert\leq h$ , donc $\int\vert g\vert^pd\mu\leq\int h^pd\mu\leq a^p$ d'après ce qui précde: on en déduit que $g\in L^p$ et qu'on a ().

Il reste à montrer que $g_n\to^{L^p}g$ . Si $h(x)<\infty$ , on a $g(x)-g_n(x)=\sum_{i=n+1}^{\infty}f_i$ , de sorte qu'en appliquant () à la série commençant à l'indice (au lieu de ), on obtient $\vert\vert g-g_n\vert\vert _p\leq\sum_{i=n+1}^{\infty}\vert\vert f_i\vert\vert _p$ . Cette dernière quantité est le reste d'une série numérique convergente, donc tend vers 0: cela achève la démonstration. $\Box$

Passons enfin au troisième et dernier résultat important. Rappelons qu'un espace métrique est complet si toute suite de Cauchy converge: cela signifie que, avec désignant la distance, toute suite de points vérifiant $d(x_n,x_m)\to 0$ lorsque et tendent vers l'infini est convergente (inversement, une suite convergente est toujours une suite de Cauchy, que l'espace soit complet ou non). Un espace vectoriel normé complet est appelé espace de Banach.

Théorème Si $p\in[1,\infty]$ , l'espace $(L^p,\vert\vert.\vert\vert _p)$ est un espace de Banach.

Compte tenu du théorème , il suffit d'appliquer la proposition et le lemme général suivant:

Lemme Soit un espace vectoriel normé, de norme $\vert\vert.\vert\vert$ . Si toute série $\sum_nu_n$ vérifiant $\sum_n\vert\vert u_n\vert\vert<\infty$ converge dans (i.e., les sommes partielles $v_n=\sum_{i\leq n}u_i$ vérifient $\vert\vert v_n-v\vert\vert\to0$ pour un certain $v\in F$ ), alors est un espace de Banach.

Soit $(u_n)_{n\geq1}$ une suite de Cauchy. Pour tout $k\in I\!\!N$ on note le plus petit entier tel que $\vert\vert u_n-u_m\vert\vert\leq 2^{-k}$ pour tous $n,m\geq p_k$ : d'après la définition des suites de Cauchy, existe, et on a évidemment $p_k\leq p_{k+1}$ .

Posons alors $w_0=u_{p_0}$ et $w_k=u_{p_k}-u_{p_{k-1}}$ pour $k\geq1$ . On a $\vert\vert w_0\vert\vert<\infty$ , et $\vert\vert w_k\vert\vert\leq2^{-(k-1)}$ pour $k\geq1$ par définition de $p_{k-1}$ et le fait que $p_k\geq p_{k-1}$ . Par suite $\sum_{k\geq0}\vert\vert w_k\vert\vert<\infty$ , et l'hypothèse implique que $u_{p_k}=\sum_{i=0}^kw_i$ converge (en norme) vers une limite .

Enfin, on a

$\displaystyle n\geq p_k\quad\Rightarrow\quad \vert\vert u_n-w\vert\vert \leq \v... ...ert+\vert\vert u_{p_k}-w\vert\vert \leq 2^{-k}+\vert\vert u_{p_k}-w\vert\vert.$

Comme $\vert\vert u_{p_k}-w\vert\vert\to0$ quand $k\to\infty$ , on en déduit que $\vert\vert u_n-w\vert\vert\to0$ quand $n\to\infty$ , d'où le résultat. $\Box$