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L'espace aiea3 et les espaces de Hilbert bcia1

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L'espace et les espaces de Hilbert

3-1) Soit un espace vectoriel (réel). Un produit scalaire est une application de $H\times H$ dans $I\!\!R$ , notée $(u,v)\mapsto \langle u,v\rangle$ , qui vérifie

$\displaystyle \left.\begin{array}{ll} \hbox{(i)} & \langle u,u\rangle \geq 0 ... ...quad & u\mapsto\langle u,v\rangle \hbox{est lin\'eaire}. \end{array} \right\}$

(16)

On dit aussi que $\langle.,.\rangle$ est une forme bilinéaire symétrique positive. Elle est dite strictement positive si au lieu de (i) on a

$\displaystyle \hbox{(i')}\quad u\neq0 \Rightarrow \langle u,u\rangle > 0.$

(17)

Lorsque on a (), on dit que l'espace muni du produit scalaire $\langle.,.\rangle$ est un espace pré-hilbertien.

Lemme a) Si $\langle.,.\rangle$ est un produit scalaire, l'application $u\mapsto\vert\vert u\vert\vert=\langle u,u\rangle^{1/2}$ vérifie (ii) et (iii) de (), et on a l'inégalité de Schwarz: $\vert\langle u,v\rangle\vert \leq \vert\vert u\vert\vert \vert\vert v\vert\vert$ .

b) Si de plus on a (), l'application $u\mapsto\vert\vert u\vert\vert$ est une norme.

() implique que pour tout $x\in I\!\!R$ :

$\displaystyle 0 \leq \langle u+xv,u+xv\rangle = x^2\vert\vert v\vert\vert^2+2x\langle u,v\rangle+\vert\vert u\vert\vert^2.$

Le membre de droite est un trinôme du second degré qui est toujours positif, donc son discriminant $\langle u,v\rangle^2-\vert\vert u\vert\vert^2\vert\vert v\vert\vert^2$ est négatif ou nul: on en déduit l'inégalité de Schwarz. En particulier si

on obtient

$\displaystyle \vert\vert u+v\vert\vert^2 = \vert\vert v\vert\vert^2+2\langle u,... ...t+\vert\vert v\vert\vert^2 = (\vert\vert u\vert\vert+\vert\vert v\vert\vert)^2,$

de sorte que $\vert\vert.\vert\vert$ vérifie l'inégalité triangulaire. L'homogénéité de $\vert\vert.\vert\vert$ est évidente, ainsi que la condition (i) de (

) lorsqu'on a (

). $\Box$

Définition Un espace de Hilbert est un espace vectoriel muni d'un produit scalaire vérifiant (), et qui muni de la norme associée comme ci-dessus est un espace complet.

Exemple: L'espace $I\!\!R^d$ muni du produit scalaire usuel (qui au couple $x=(x_i)_{1\leq i\leq d},y=(y_i)_{1\leq i\leq d}$ associe $\langle x,y\rangle=\sum_{i=1}^dx_iy_i$ ), est un espace de Hilbert. La norme associée est la norme euclidienne usuelle.

3-2) Nous en venons maintenant à un théorème très important:

Théorème L'espace $L^2=L^2(E,\hbox{$\cal E$},\mu)$ est un espace de Hilbert pour le produit scalaire

$\displaystyle \langle f,g\rangle = \int (fg)d\mu,$

(18)

et la norme associée est la norme $\vert\vert.\vert\vert _2$ . En outre, on a l'inégalité de Cauchy-Schwarz:

$\displaystyle \vert\vert fg\vert\vert _1 \leq \vert\vert f\vert\vert _2\vert\vert g\vert\vert _2.$

(19)

Comme $\vert fg\vert\leq f^2+g^2$ , on voit en premier lieu que si $f,g\in L^2$ alors $fg\in L^1$ , de sorte que la formule () a un sens. Il est immédiat (à cause de la linéarité et de la positivité de l'intégrale) que $\langle.,.\rangle$ vérifie (), et aussi que $\langle f,f\rangle=\vert\vert f\vert\vert _2^2$ . On a donc (), grâce à (). On a vu au théorème que $(L^2,\vert\vert.\vert\vert _2)$ est complet, donc c'est un espace de Hilbert. Enfin () n'est autre que l'inégalité de Schwarz appliquée aux fonctions $\vert f\vert$ et $\vert g\vert$ , pour le produit scalaire ci-dessus (c'est aussi un cas particulier de l'inégalité de Hölder). $\Box$

Lorsque $f_n\to^{L^2}f$ on dit aussi que converge vers en moyenne quadratique.

Corollaire a) Si $f_n \to^{L^2} f$ et $g_n \to^{L^2} g$ , on a $f_ng_n \to^{L^1} fg$ .

b) Si $\mu$ est une mesure finie, on a $L^2\subset L^1$ et l'injection canonique de dans est continue, et on a

$\displaystyle f\in L^2\quad\Rightarrow\quad\vert\vert f\vert\vert _1\leq\sqrt{\mu(E)}\vert\vert f\vert\vert _2.$

(20)

a) On a , donc

$\begin{displaymath}\begin{array}{lll} \vert\vert f_ng_n-fg\vert\vert _1&\leq&\ve... ...ert f_n-f\vert\vert _2\vert\vert g_n-g\vert\vert _2 \end{array}\end{displaymath}$

en utilisant (

). On déduit alors $\vert\vert f_ng_n-fg\vert\vert _2\to0$ des hypothèses.

b) On a déjà vu l'inclusion $L^2\subset L^1$ (lemme ), et la continuité de l'injection canonique découle de (), qui elle-même résulte de () appliquée à et à . $\Box$

3-3) Géométrie des espaces de Hilbert. Dans ce sous-paragraphe, on considère un espace de Hilbert , muni du produit scalaire $\langle.,.\rangle$ et de la norme associée $\vert\vert.\vert\vert$ . Nous allons donner quelques éléments sur la ``géométrie'' de : il faut bien-sûr penser à l'exemple fondamental d'espace de Hilbert $H=I\!\!R^d$ donné après la définition : les principales propriétés de la géométrie euclidienne se transposent aux espaces de Hilbert sans modification.

Un élément de sera appelé souvent un ``vecteur''. Rappelons que $u_n\to u$ (sous-entendu: dans ) si $\vert\vert u_n-u\vert\vert\to0$ ; rappelons aussi (cf. après ()) que si $u_n\to u$ on a $\vert\vert u_n\vert\vert\to\vert\vert u\vert\vert$ , c'est à dire que l'application $u\mapsto\vert\vert u\vert\vert$ de dans $I\!\!R_+$ est continue. Plus généralement l'application $(u,v)\mapsto \langle u,v\rangle$ de $H\times H$ dans $I\!\!R$ est aussi continue: si $u_n\to u$ et $v_n\to v$ , on a $\langle u_n,v_n\rangle\to\langle u,v\rangle$ (cela se démontre exactement comme la partie (a) du corollaire ).

Commençons par la notion d'orthogonalité:

Définition Deux vecteurs et de sont dits orthogonaux si $\langle u,v\rangle=0$ (on écrit aussi $u\perp v$ ). Si est une partie de on appelle orthogonal de , et on note $K^{\perp}$ , l'ensemble des vecteurs $u\in H$ qui sont orthogonaux à tous les vecteurs de . Deux parties et de sont dites orthogonales si $K\subset L^{\perp}$ ( $\Leftrightarrow L\subset K^{\perp}$ ). $\Box$

Le résultat suivant est très intuitif en dimension finie (faire, par exemple, un dessin dans le cas de la dimension ).

Proposition a) L'orthogonal $K^{\perp}$ de toute partie de est un sous-espace vectoriel fermé de , et est donc lui-même un espace de Hilbert (fermé signifie que la limite d'une suite quelconque de vecteurs de $K^{\perp}$ appartient aussi à $K^{\perp}$ ).

b) (Théorème de projection) Si est une partie convexe fermée de (cf. avant le lemme pour la définition de la convexité), et si $u\in H$ , il existe un vecteur et un seul, noté $\Pi_Ku$ de et appelé projection orthogonale de sur , qui minimise l'application $v\mapsto \vert\vert v-u\vert\vert$ sur . On a $\Pi_Ku=u$ si $u\in K$ .

a) Pour tous $u,v\in K^{\perp}$ et $a\in I\!\!R$ on a $\langle au,w\rangle= a\langle u,w\rangle=0$ et $\langle u+v,w\rangle=\langle u,w\rangle+\langle v,w\rangle=0$ si $w\in K$ : par suite et sont dans $K^{\perp}$ , qui est donc un espace vectoriel. Si $u_n\to u$ et $u_n\in K^{\perp}$ et $w\in K$ on a $\langle u,w\rangle=\lim_n\langle u_n,w\rangle=0$ : donc appartient à $K^{\perp}$ , qui est donc fermé. Enfin la restriction du produit scalaire à $K^{\perp}$ est encore un produit scalaire, et si $(u_n)_{n\geq1}$ est une suite de Cauchy dans $K^{\perp}$ , c'est aussi une suite de Cauchy dans , donc elle converge vers une limite qui appartient à $K^{\perp}$ d'après ce qui précède: cela prouve que $K^{\perp}$ est aussi un espace de Hilbert.

b) Soit $a=\inf_{v\in K}\vert\vert v-u\vert\vert$ . Il existe une suite $(v_n)_{n\geq1}$ dans telle que $\vert\vert v_n-u\vert\vert\to a$ . Montrons que cette suite est de Cauchy. En effet, il est facile de voir à partir de () et de $\vert\vert w\vert\vert^2=\langle w,w\rangle$ que $\vert\vert w+w'\vert\vert^2+\vert\vert w-w'\vert\vert^2=2\vert\vert w\vert\vert^2+2\vert\vert w'\vert\vert^2$ . Donc

$\displaystyle \vert\vert v_n+v_m-2u\vert\vert^2+\vert\vert v_n-v_m\vert\vert^2 = 2\vert\vert v_n-u\vert\vert^2+\vert\vert v_m-u\vert\vert^2.$

Par ailleurs la convexité de

implique ${1\over2}(v_n+v_m)\in K$ , donc $\vert\vert v_n+v_m-2u\vert\vert^2=4\vert\vert{1\over2}(v_n+v_m)-u\vert\vert^2\geq 4a^2$ , et il vient

$\displaystyle \vert\vert v_n-v_m\vert\vert^2 \leq 2\vert\vert v_n-u\vert\vert^2+2\vert\vert v_m-u\vert\vert^2-4a^2.$

Comme $\vert\vert v_n-u\vert\vert^2\to a^2$ on en déduit que $\vert\vert v_n-v_m\vert\vert^2\to0$ lorsque

tendent vers $\infty$ : la suite

est donc de Cauchy, de sorte qu'elle converge vers une limite

qui vérifie $\vert\vert v-u\vert\vert=\lim_n\vert\vert v_n-u\vert\vert=a$ , et qui appartient à

puisque

est fermé.

Il reste à montrer l'unicité de . Si $v'\in K$ vérifie également $\vert\vert v'-u\vert\vert=a$ , posons $v'_{2n}=v$ et $v'_{2n+1}=v'$ . On a $\vert\vert v'_n-u\vert\vert=a$ pour tout , donc d'après ce qui précède la suite est une suite de Cauchy, qui converge; comme elle admet les deux points limite et , il faut donc que . Enfin si $u\in K$ , il est clair que minimise $v\mapsto \vert\vert v-u\vert\vert$ sur . $\Box$

Proposition Soit un sous-espace vectoriel fermé de .

a) $\Pi_Ku$ est l'unique vecteur de tel que $u-v\in K^{\perp}$ .

b) $\Pi_K$ est une application linéaire continue, contractant la norme (i.e. $\vert\vert\Pi_Ku\vert\vert\leq\vert\vert u\vert\vert$ ). Son image est et son noyau est $K^{\perp}$ , et on l'appelle l'opérateur projection (orthogonale) sur .

c) Tout vecteur de se décompose de manière unique en une somme avec $v\in K$ et $w\in K^{\perp}$ , et on a $v=\Pi_Ku$ et $w=\Pi_{K^{\perp}}u$ (donc les sous-espaces et $K^{\perp}$ sont supplémentaires dans ).

d) On a $(K^{\perp})^{\perp}=K$ .

a) Soit $v=\Pi_Ku$ . Pour tout $w\in K$ et tout $x\in I\!\!R$ on a $v+xw\in K$ , donc

$\displaystyle \vert\vert v+xw-u\vert\vert^2 = \vert\vert v-u\vert\vert^2+2x\langle w,v-u\rangle+x^2\vert\vert w\vert\vert^2 \geq \vert\vert v-u\vert\vert^2$

pour tout $x\in I\!\!R$ , ce qui n'est possible que si $\langle w,v-u\rangle=0$ : cela montre que $v-u\in K^{\perp}$ . Si $v'\in K$ vérifie aussi $v'-u\in K^{\perp}$ , le vecteur

est à la fois dans

et dans $K^{\perp}$ ; étant orthogonal à lui-même, il est nul (par (

)

b) Le fait que $\Pi_K$ soit une application linéaire découle immédiatement de la caractérisation (a). Il est clair que l'image de par $\Pi_K$ est contenue dans , et comme $\Pi_Ku=u$ si $u\in K$ , elle est exactement . D'après (a) on a $\Pi_Ku=0$ si et seulement si $u\in K^{\perp}$ , donc cet ensemble est le noyau de $\Pi_K$ . Enfin, toujurs d'après (a), on a avec $v=\Pi_Ku$ et $w\perp v$ , de sorte que $\vert\vert u\vert\vert^2=\vert\vert v\vert\vert^2+\vert\vert w\vert\vert^2$ et $\vert\vert\Pi_Ku\vert\vert^2\leq\vert\vert u\vert\vert^2$ : ainsi, $\Pi_K$ est une contraction, et est donc en particulier continue.

c) On a vu ci-dessus que avec $v=\Pi_Ku$ et $w\in K^{\perp}$ . Comme $K^{\perp}$ est aussi un sous-espace vectoriel fermé, et comme $u-w\in K$ et que tout vecteur de est orthogonal à $K^{\perp}$ (propriété évidente), la caractérisation (a) pour $\Pi_{K^{\perp}}$ implique que $w=\Pi_{K^{\perp}}u$ . Si est une autre décomposition avec $v'\in K$ et $w'\in K^{\perp}$ , par différence est dans $K\cap K^{\perp}$ , et on a déjà vu que cela implique : on a donc achevé de prouver (c).

(d) On a déjà vu que $K\subset(K^{\perp})^{\perp}$ , et l'inclusion inverse découle de (c). $\Box$

Soit une partie de . L'espace vectoriel engendré par , et noté , est le plus petit espace vectoriel contenant (il existe, car d'une part $K\subset H$ , d'autre part une intersection quelconque d'espaces vectoriels est un espace vectoriel). Noter que, de manière évidente, est ausi l'ensemble des combinaisons linéaires finies de vecteurs de .

La fermeture de (i.e. l'ensemble des limites des suites convergentes de vecteurs de ) est encore clairement un espace vectoriel, appelé l'espace vectoriel fermé engendré par . Enfin, on dit que est total dans si l'espace vectoriel fermé engendré par égale .

Corollaire Une partie de est totale si et seulement si $K^{\perp}=\{0\}$ .

Soit l'espace vectoriel fermé engendré par . Il est évident que $H'^{\perp}\subset K^{\perp}$ . Si $u\in K^{\perp}$ , alors est aussi orthogonal à tous les éléments de (utiliser ()-(iii)); si alors $v\in H'$ il existe des $v_n\in e(K)$ avec $v_n\to v$ , et comme $\langle u,v_n\rangle=0$ pour tout on a aussi $\langle u,v\rangle=0$ et par suite $u\in H'^{\perp}$ : on a donc $H'^{\perp}=K^{\perp}$ . Comme équivaut à $H'^{\perp}=\{0\}$ par (c) de la proposition , on a le résultat. $\Box$

Le second sujet important est celui de la dualité. Rappelons que si $(F,\vert\vert.\vert\vert)$ est un espace vetoriel normé, son dual est l'ensemble des applications linéaires $\psi: F\mapsto I\!\!R$ telles que $\vert\psi(u)\vert\leq C\vert\vert u\vert\vert$ pour tout $u\in F$ , pour une certaine constante (cette dernière propriété est en fait équivalente à la continuité de $\psi$ ). Il est clair que est un espace vectoriel, qu'on munit d'une norme $\vert\vert.\vert\vert'$ définie ainsi:

$\displaystyle \vert\vert\psi\vert\vert' = \sup(\vert\psi(u)\vert:u\in F,\vert\v... ...\leq1) = \sup({\vert\psi(u)\vert\over\vert\vert u\vert\vert}:u\in F,u\neq 0) .$

(21)

Lorsque $(F,\vert\vert.\vert\vert)$ est un espace de Banach, on peut montrer qu'il en est de même de $(F',\vert\vert.\vert\vert')$ .

Théorème Soit un espace de Hilbert. On peut identifier le dual $(H',\vert\vert.\vert\vert')$ avec $(H,\vert\vert.\vert\vert)$ , en associant à tout $v\in H$ l'application linéaire $\psi_v$ définie par $\psi_v(u)=\langle u,v\rangle$ .

Si $v\in H$ l'application $\psi_v$ définie ci-dessus est linéaire continue et vérifie $\vert\vert\psi_v\vert\vert'\leq\vert\vert v\vert\vert$ d'après l'inégalité de Schwarz. Comme $\psi_v(v)=\langle v,v\rangle=\vert\vert v\vert\vert^2$ , ()) implique $\vert\vert\psi_v\vert\vert'=\vert\vert v\vert\vert$ . Remarquer aussi que si $\psi_v=\psi_{v'}$ , le vecteur est orthogonal à tout $u\in H$ , donc orthogonal en particulier à lui-même, de sorte que .

Il reste à montrer qu'inversement, si $\psi\in H'$ il existe un $v\in H$ tel que $\psi=\psi_v$ . Si $\psi=0$ , répond à la question. Supposons donc que $\psi\neq0$ . Le noyau de $\psi$ est un sous-espace vectoriel de , fermé à cause de la continuité de $\psi$ , et $K^{\perp}$ n'est pas réduit à $\{0\}$ (sinon on aurait d'après le corollaire , donc $\psi=0$ ). Soit alors $w\in K^{\perp}$ , $w\neq0$ , de sorte que $\psi(w)\neq 0$ . Posons $v={\psi(w)\over\vert\vert w\vert\vert}w$ .

Pour tout $u\in H$ on pose $u'=u-{\psi(u)\over\psi(w)}w$ . On a $\psi(u')=0$ , donc $u'\in K$ , donc $\langle u',v\rangle=0$ et

$\displaystyle \langle u',v\rangle = \langle u,v\rangle-{\psi(u)\over\psi(w)}\langle w,v\rangle = \langle u,v\rangle-\psi(u)$

est donc nul: par suite $\psi(u)=\langle u,v\rangle=\psi_v(u)$ . $\Box$

Le troisième sujet important est celui des bases orthonormales. Commençons par une définition:

Définition Un système orthonormal est une famille $(u_i)_{i\in I}$ de vecteurs de l'espace de Hilbert qui vérifie $\langle u_i,u_j\rangle=0$ si $i\neq j$ et $\langle u_i,u_i\rangle=1$ . Une base orthonormale est un système orthonormal total dans . $\Box$

D'après le corollaire , un système orthonormal $(u_i)_{i\in I}$ est une base si et seulement si

$\displaystyle \langle v,u_i\rangle=0\quad\forall i\in I\qquad\Rightarrow\qquad v=0.$

(22)

Attention: une base orthonormale n'est pas une base ``algébrique'', au sens où tout vecteur serait une combinaison linéaire finie de vecteurs de la base, sauf bien-sûr si est de dimension finie.

Soit $(u_i)_{1\leq i\leq d}$ un système orthonormal fini, et l'espace vectoriel fermé qu'il engendre. contient évidemment l'ensemble des combinaisons linéaires finies $u=\sum_{i=1}^da_iu_i$ ( $a_i\in I\!\!R$ ) et, comme ce dernier ensemble est à l'évidence fermé il est en fait égal à . Noter que si $u=\sum_{i=1}^da_iu_i$ et $v=\sum_{i=1}^db_iu_i$ , alors

$\displaystyle \langle u,v\rangle = \sum_{1\leq i\leq d,1\leq j\leq d}a_ib_j\langle u_i,u_j\rangle = \sum_{i=1}^da_ib_i.$

Ainsi,

peut être identifié à l'espace $I\!\!R^d$ muni de la norme euclidienne, par la correspondance $u\leftrightarrow(a_i)_{1\leq i\leq d}$ . Cela se généralise:

Proposition Soit $(u_n)_{n\in I\!\!N}$ un système orthonormal dénombrable, et l'espace vectoriel fermé engendré par ce système.

a) est isomorphe, en tant qu'espace de Hilbert, à l'espace $\ell^2$ des suites réelles $a=(a_n)_{n\in I\!\!N}$ telles que $\sum_n(a_n)^2<\infty$ . Plus précisément si est dans $\ell^2$ , la série $\sum_na_nu_n$ converge dans et définit un vecteur de ; l'application $a\mapsto u(a)$ est linéaire bijective de $\ell^2$ dans et préserve le produit scalaire (donc la norme, donc elle est continue ainsi que son inverse):

$\displaystyle \langle\sum_na_nu_n,\sum_nb_nu_n\rangle = \sum_na_nb_n.$

(23)

b) Si $u\in H$ et $a_n=\langle u,u_n\rangle$ , alors $a=(a_n)_{n\in I\!\!N}$ appartient à $\ell^2$ et on a $\sum_na_nu_n=\Pi_Ku$ , et en particulier

$\displaystyle \sum_n\langle u,u_n^2\rangle \leq \vert\vert u\vert\vert^2,$

(24)

avec égalité si et seulement si $u\in K$ .

Commençons par un lemme, qui a un intérêt propre:

Lemme Si $(v_n)_{n\in I\!\!N}$ est une suite de vecteurs deux-à-deux orthogonaux, la série $\sum_nv_n$ converge dans si et seulement si $\sum_n\vert\vert v_n\vert\vert^2<\infty$ , et on a alors

$\displaystyle \vert\vert\sum_nv_n\vert\vert^2 = \sum_n\vert\vert v_n\vert\vert^2.$

(25)

Soit $w_n=\sum_{i=0}^nv_i$ et $S_n=\sum_{i=0}^n\vert\vert v_i\vert\vert^2$ . Si on a

$\displaystyle \vert\vert w_m-w_n\vert\vert^2 = \langle\sum_{i=n+1}^mv_i,\sum_{i... ...q m}\langle v_i,v_j\rangle = \sum_{i=n+1}^m\vert\vert v_i\vert\vert^2 = S_m-S_n$

puisque $\langle v_i,v_j\rangle=0$ si $i\neq j$ . La suite

converge dans

si et seulement si elle est de Cauchy, donc d'après ce qui précède si et seulement si la suite

est de Cauchy dans $I\!\!R$ , donc si et seulement si $\sum_i\vert\vert v_i\vert\vert^2<\infty$ . Enfin sous ces conditions, on note

la limite de la suite

; exactement comme ci-dessus on a $\vert\vert w_n\vert\vert^2=S_n$ , et en passant à la limite on obtient (

). $\Box$

Preuve de la proposition . a) Soit $a=(a_n)\in\ell^2$ . Comme $\vert\vert a_nu_n\vert\vert=a_n$ , le lemme entraine que la série $\sum_na_nu_n$ converge, et on note sa somme. Il est clair que $u(a)\in K$ , et que $a\mapsto u(a)$ est linéaire. () implique $\vert\vert u(a)\vert\vert= \vert\vert a\vert\vert _2$ (on note $\vert\vert.\vert\vert _2$ et $\langle.,.\rangle_2$ la norme et le produit scalaire de $\ell^2$ ). On a $\langle u,v\rangle={1\over2}\left(\vert\vert u+v\vert\vert^2+\vert\vert u-v\vert\vert^2\right)$ , et une relation analogue entre $\vert\vert.\vert\vert _2$ et $\langle.,.\rangle_2$ : donc l'application linéaire $a\mapsto u(a)$ , qui préserve la norme, préserve aussi le produit scalaire, et on a (). Enfin, l'image de $\ell^2$ est un espace vectoriel contenant les et contenu dans ; si $v_n\in K'$ et $v_n\to v$ , alors est une suite de Cauchy dans , donc les inverses $u^{-1}(v_n)$ forment une suite de Cauchy dans $\ell^2$ , convergeant donc vers une limite , et évidemment : ainsi est fermé, donc et est bijective de $\ell^2$ dans .

b) Soit $u\in H$ et $v=\Pi_Ku$ . Il existe $a=(a_n)\in\ell^2$ avec $v=\sum_na_nu_n$ et $\vert\vert a\vert\vert _2=\vert\vert v\vert\vert$ . Si $v_n=\sum_{i=0}^na_iu_i$ , on a $\langle v_n,u_m\rangle=a_m$ si $n\geq m$ , et comme $v_n\to v$ on en déduit que $a_m=\langle v,u_m\rangle$ pour tout . Pour terminer il suffit de remarquer que $\vert\vert u\vert\vert^2=\vert\vert v\vert\vert^2+\vert\vert u-v\vert\vert^2$ (``théorème de Pythagore''), donc $\vert\vert u\vert\vert\geq\vert\vert v\vert\vert$ , avec égalité si et seulement si , donc si et seulement si $u\in K$ . $\Box$

Revenons pour terminer à l'espace $L^2=L^2(E,\hbox{$\cal E$},\mu)$ . On peut énoncer le théorème dans ce cadre, ce qui donne:

Théorème L'espace est son propre dual, ce qui revient à dire qu'à toute application linéaire continue $\psi$ de dans $I\!\!R$ on peut associer une fonction $g\in L^2$ telle que $\psi(f)=\int fgd\mu$ pour toute $f\in L^2$ .

On a aussi le théorème suivant, que nous énonçons sans démonstration:

Théorème Si $\mu$ une mesure $\sigma$ -finie sur $(E,\hbox{$\cal E$})=(I\!\!R^d,\hbox{$\cal R$}^d)$ , l'espace admet une base orthonormale dénombrable.

Un exemple de base orthonormale: Supposons que soit muni de la tribu borélienne $\hbox{$\cal E$}$ et de la mesure de Lebesgue $\lambda$ . La suite de fonctions ci-dessous constitue une base orthonormale de , appelée la base de Haar:

$\begin{displaymath}f_n(x) = \left\{ \begin{array}{lll} 1&\hbox{si} k2^{-n}\leq ... ...k+1)2^{-n}\quad &\hbox{pour un $k$ pair.} \end{array} \right. \end{displaymath}$