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L'espace $ L^2$ et les espaces de Hilbert

3-1) Soit $ H$ un espace vectoriel (réel). Un produit scalaire est une application de $ H\times H$ dans $ I\!\!R$, notée $ (u,v)\mapsto \langle u,v\rangle$, qui vérifie

$\displaystyle \left.\begin{array}{ll} \hbox{(i)} & \langle u,u\rangle \geq 0  ...
...quad & u\mapsto\langle u,v\rangle  \hbox{est lin\'eaire}. \end{array} \right\}$ (16)

On dit aussi que $ \langle.,.\rangle$ est une forme bilinéaire symétrique positive. Elle est dite strictement positive si au lieu de (i) on a

$\displaystyle \hbox{(i')}\quad u\neq0   \Rightarrow   \langle u,u\rangle > 0.$ (17)

Lorsque on a ([*]), on dit que l'espace $ H$ muni du produit scalaire $ \langle.,.\rangle$ est un espace pré-hilbertien.

Lemme a) Si $ \langle.,.\rangle$ est un produit scalaire, l'application $ u\mapsto\vert\vert u\vert\vert=\langle u,u\rangle^{1/2}$ vérifie (ii) et (iii) de ([*]), et on a l'inégalité de Schwarz: $ \vert\langle
u,v\rangle\vert \leq \vert\vert u\vert\vert \vert\vert v\vert\vert$.

b) Si de plus on a ([*]), l'application $ u\mapsto\vert\vert u\vert\vert$ est une norme.

([*]) implique que pour tout $ x\in I\!\!R$:

$\displaystyle 0 \leq \langle u+xv,u+xv\rangle = x^2\vert\vert v\vert\vert^2+2x\langle u,v\rangle+\vert\vert u\vert\vert^2.$

Le membre de droite est un trinôme du second degré qui est toujours positif, donc son discriminant $ \langle u,v\rangle^2-\vert\vert u\vert\vert^2\vert\vert v\vert\vert^2$ est négatif ou nul: on en déduit l'inégalité de Schwarz. En particulier si $ x=1$ on obtient

$\displaystyle \vert\vert u+v\vert\vert^2 = \vert\vert v\vert\vert^2+2\langle
u,...
...t+\vert\vert v\vert\vert^2 = (\vert\vert u\vert\vert+\vert\vert v\vert\vert)^2,$

de sorte que $ \vert\vert.\vert\vert$ vérifie l'inégalité triangulaire. L'homogénéité de $ \vert\vert.\vert\vert$ est évidente, ainsi que la condition (i) de ([*]) lorsqu'on a ([*]). $ \Box$

Définition   Un espace de Hilbert est un espace vectoriel muni d'un produit scalaire vérifiant ([*]), et qui muni de la norme associée comme ci-dessus est un espace complet.

Exemple:   L'espace $ I\!\!R^d$ muni du produit scalaire usuel (qui au couple $ x=(x_i)_{1\leq i\leq d},y=(y_i)_{1\leq i\leq d}$ associe $ \langle
x,y\rangle=\sum_{i=1}^dx_iy_i$), est un espace de Hilbert. La norme associée est la norme euclidienne usuelle.

3-2) Nous en venons maintenant à un théorème très important:

Théorème L'espace $ L^2=L^2(E,\hbox{$\cal E$},\mu)$ est un espace de Hilbert pour le produit scalaire

$\displaystyle \langle f,g\rangle = \int (fg)d\mu,$ (18)

et la norme associée est la norme $ \vert\vert.\vert\vert _2$. En outre, on a l'inégalité de Cauchy-Schwarz:

$\displaystyle \vert\vert fg\vert\vert _1 \leq \vert\vert f\vert\vert _2\vert\vert g\vert\vert _2.$ (19)


Comme $ \vert fg\vert\leq f^2+g^2$, on voit en premier lieu que si $ f,g\in L^2$ alors $ fg\in L^1$, de sorte que la formule ([*]) a un sens. Il est immédiat (à cause de la linéarité et de la positivité de l'intégrale) que $ \langle.,.\rangle$ vérifie ([*]), et aussi que $ \langle f,f\rangle=\vert\vert f\vert\vert _2^2$. On a donc ([*]), grâce à ([*]). On a vu au théorème [*] que $ (L^2,\vert\vert.\vert\vert _2)$ est complet, donc c'est un espace de Hilbert. Enfin ([*]) n'est autre que l'inégalité de Schwarz appliquée aux fonctions $ \vert f\vert$ et $ \vert g\vert$, pour le produit scalaire ci-dessus (c'est aussi un cas particulier de l'inégalité de Hölder). $ \Box$

Lorsque $ f_n\to^{L^2}f$ on dit aussi que $ f_n$ converge vers $ f$ en moyenne quadratique.

Corollaire a) Si $ f_n \to^{L^2} f$ et $ g_n \to^{L^2} g$, on a $ f_ng_n \to^{L^1} fg$.

b) Si $ \mu$ est une mesure finie, on a $ L^2\subset L^1$ et l'injection canonique de $ L^2$ dans $ L^1$ est continue, et on a

$\displaystyle f\in L^2\quad\Rightarrow\quad\vert\vert f\vert\vert _1\leq\sqrt{\mu(E)}\vert\vert f\vert\vert _2.$ (20)


a) On a $ f_ng_n-fg=(f_n-f)g+f(g_n-g)+(f_n-f)(g_n-g)$, donc

\begin{displaymath}\begin{array}{lll} \vert\vert f_ng_n-fg\vert\vert _1&\leq&\ve...
...ert f_n-f\vert\vert _2\vert\vert g_n-g\vert\vert _2
\end{array}\end{displaymath}

en utilisant ([*]). On déduit alors $ \vert\vert f_ng_n-fg\vert\vert _2\to0$ des hypothèses.

b) On a déjà vu l'inclusion $ L^2\subset L^1$ (lemme [*]), et la continuité de l'injection canonique découle de ([*]), qui elle-même résulte de ([*]) appliquée à $ f$ et à $ g=1$.$ \Box$

3-3) Géométrie des espaces de Hilbert. Dans ce sous-paragraphe, on considère un espace de Hilbert $ H$, muni du produit scalaire $ \langle.,.\rangle$ et de la norme associée $ \vert\vert.\vert\vert$. Nous allons donner quelques éléments sur la ``géométrie'' de $ H$: il faut bien-sûr penser à l'exemple fondamental d'espace de Hilbert $ H=I\!\!R^d$ donné après la définition [*]: les principales propriétés de la géométrie euclidienne se transposent aux espaces de Hilbert sans modification.

Un élément de $ H$ sera appelé souvent un ``vecteur''. Rappelons que $ u_n\to u$ (sous-entendu: dans $ H$) si $ \vert\vert u_n-u\vert\vert\to0$; rappelons aussi (cf. après ([*])) que si $ u_n\to u$ on a $ \vert\vert u_n\vert\vert\to\vert\vert u\vert\vert$, c'est à dire que l'application $ u\mapsto\vert\vert u\vert\vert$ de $ H$ dans $ I\!\!R_+$ est continue. Plus généralement l'application $ (u,v)\mapsto \langle u,v\rangle$ de $ H\times H$ dans $ I\!\!R$ est aussi continue: si $ u_n\to u$ et $ v_n\to v$, on a $ \langle
u_n,v_n\rangle\to\langle u,v\rangle$ (cela se démontre exactement comme la partie (a) du corollaire [*]).

Commençons par la notion d'orthogonalité:

Définition    Deux vecteurs $ u$ et $ v$ de $ H$ sont dits orthogonaux si $ \langle u,v\rangle=0$ (on écrit aussi $ u\perp v$). Si $ K$ est une partie de $ H$ on appelle orthogonal de $ K$, et on note $ K^{\perp}$, l'ensemble des vecteurs $ u\in H$ qui sont orthogonaux à tous les vecteurs de $ K$. Deux parties $ K$ et $ L$ de $ H$ sont dites orthogonales si $ K\subset L^{\perp}$ ( $ \Leftrightarrow  L\subset K^{\perp}$). $ \Box$

Le résultat suivant est très intuitif en dimension finie (faire, par exemple, un dessin dans le cas de la dimension $ 2$).

Proposition a) L'orthogonal $ K^{\perp}$ de toute partie $ K$ de $ H$ est un sous-espace vectoriel fermé de $ H$, et est donc lui-même un espace de Hilbert (fermé signifie que la limite d'une suite quelconque de vecteurs de $ K^{\perp}$ appartient aussi à $ K^{\perp}$).

b) (Théorème de projection) Si $ K$ est une partie convexe fermée de $ H$ (cf. avant le lemme [*] pour la définition de la convexité), et si $ u\in H$, il existe un vecteur et un seul, noté $ \Pi_Ku$ de $ K$ et appelé projection orthogonale de $ u$ sur $ K$, qui minimise l'application $ v\mapsto \vert\vert v-u\vert\vert$ sur $ K$. On a $ \Pi_Ku=u$ si $ u\in K$.

a) Pour tous $ u,v\in K^{\perp}$ et $ a\in I\!\!R$ on a $ \langle au,w\rangle=
a\langle u,w\rangle=0$ et $ \langle u+v,w\rangle=\langle u,w\rangle+\langle
v,w\rangle=0$ si $ w\in K$: par suite $ au$ et $ u+v$ sont dans $ K^{\perp}$, qui est donc un espace vectoriel. Si $ u_n\to u$ et $ u_n\in K^{\perp}$ et $ w\in K$ on a $ \langle u,w\rangle=\lim_n\langle u_n,w\rangle=0$: donc $ u$ appartient à $ K^{\perp}$, qui est donc fermé. Enfin la restriction du produit scalaire à $ K^{\perp}$ est encore un produit scalaire, et si $ (u_n)_{n\geq1}$ est une suite de Cauchy dans $ K^{\perp}$, c'est aussi une suite de Cauchy dans $ H$, donc elle converge vers une limite $ u$ qui appartient à $ K^{\perp}$ d'après ce qui précède: cela prouve que $ K^{\perp}$ est aussi un espace de Hilbert.

b) Soit $ a=\inf_{v\in K}\vert\vert v-u\vert\vert$. Il existe une suite $ (v_n)_{n\geq1}$ dans $ K$ telle que $ \vert\vert v_n-u\vert\vert\to a$. Montrons que cette suite est de Cauchy. En effet, il est facile de voir à partir de ([*]) et de $ \vert\vert w\vert\vert^2=\langle
w,w\rangle$ que $ \vert\vert w+w'\vert\vert^2+\vert\vert w-w'\vert\vert^2=2\vert\vert w\vert\vert^2+2\vert\vert w'\vert\vert^2$. Donc

$\displaystyle \vert\vert v_n+v_m-2u\vert\vert^2+\vert\vert v_n-v_m\vert\vert^2 = 2\vert\vert v_n-u\vert\vert^2+\vert\vert v_m-u\vert\vert^2.$

Par ailleurs la convexité de $ K$ implique $ {1\over2}(v_n+v_m)\in K$, donc $ \vert\vert v_n+v_m-2u\vert\vert^2=4\vert\vert{1\over2}(v_n+v_m)-u\vert\vert^2\geq 4a^2$, et il vient

$\displaystyle \vert\vert v_n-v_m\vert\vert^2 \leq 2\vert\vert v_n-u\vert\vert^2+2\vert\vert v_m-u\vert\vert^2-4a^2.$

Comme $ \vert\vert v_n-u\vert\vert^2\to a^2$ on en déduit que $ \vert\vert v_n-v_m\vert\vert^2\to0$ lorsque $ n$ et $ m$ tendent vers $ \infty$: la suite $ (v_n)$ est donc de Cauchy, de sorte qu'elle converge vers une limite $ v$ qui vérifie $ \vert\vert v-u\vert\vert=\lim_n\vert\vert v_n-u\vert\vert=a$, et qui appartient à $ K$ puisque $ K$ est fermé.

Il reste à montrer l'unicité de $ v$. Si $ v'\in K$ vérifie également $ \vert\vert v'-u\vert\vert=a$, posons $ v'_{2n}=v$ et $ v'_{2n+1}=v'$. On a $ \vert\vert v'_n-u\vert\vert=a$ pour tout $ n$, donc d'après ce qui précède la suite $ (v'_n)$ est une suite de Cauchy, qui converge; comme elle admet les deux points limite $ v$ et $ v'$, il faut donc que $ v'=v$. Enfin si $ u\in K$, il est clair que $ v=u$ minimise $ v\mapsto \vert\vert v-u\vert\vert$ sur $ K$. $ \Box$

Proposition Soit $ K$ un sous-espace vectoriel fermé de $ H$.

a) $ \Pi_Ku$ est l'unique vecteur $ v$ de $ K$ tel que $ u-v\in K^{\perp}$.

b) $ \Pi_K$ est une application linéaire continue, contractant la norme (i.e. $ \vert\vert\Pi_Ku\vert\vert\leq\vert\vert u\vert\vert$). Son image est $ K$ et son noyau est $ K^{\perp}$, et on l'appelle l'opérateur projection (orthogonale) sur $ K$.

c) Tout vecteur $ u$ de $ H$ se décompose de manière unique en une somme $ u=v+w$ avec $ v\in K$ et $ w\in K^{\perp}$, et on a $ v=\Pi_Ku$ et $ w=\Pi_{K^{\perp}}u$ (donc les sous-espaces $ K$ et $ K^{\perp}$ sont supplémentaires dans $ H$).

d) On a $ (K^{\perp})^{\perp}=K$.

a) Soit $ v=\Pi_Ku$. Pour tout $ w\in K$ et tout $ x\in I\!\!R$ on a $ v+xw\in K$, donc

$\displaystyle \vert\vert v+xw-u\vert\vert^2 = \vert\vert v-u\vert\vert^2+2x\langle w,v-u\rangle+x^2\vert\vert w\vert\vert^2 \geq \vert\vert v-u\vert\vert^2$

pour tout $ x\in I\!\!R$, ce qui n'est possible que si $ \langle w,v-u\rangle=0$: cela montre que $ v-u\in K^{\perp}$. Si $ v'\in K$ vérifie aussi $ v'-u\in
K^{\perp}$, le vecteur $ v-v'$ est à la fois dans $ K$ et dans $ K^{\perp}$; étant orthogonal à lui-même, il est nul (par ([*])).

b) Le fait que $ \Pi_K$ soit une application linéaire découle immédiatement de la caractérisation (a). Il est clair que l'image de $ H$ par $ \Pi_K$ est contenue dans $ K$, et comme $ \Pi_Ku=u$ si $ u\in K$, elle est exactement $ K$. D'après (a) on a $ \Pi_Ku=0$ si et seulement si $ u\in
K^{\perp}$, donc cet ensemble est le noyau de $ \Pi_K$. Enfin, toujurs d'après (a), on a $ u=v+w$ avec $ v=\Pi_Ku$ et $ w\perp v$, de sorte que $ \vert\vert u\vert\vert^2=\vert\vert v\vert\vert^2+\vert\vert w\vert\vert^2$ et $ \vert\vert\Pi_Ku\vert\vert^2\leq\vert\vert u\vert\vert^2$: ainsi, $ \Pi_K$ est une contraction, et est donc en particulier continue.

c) On a vu ci-dessus que $ u=v+w$ avec $ v=\Pi_Ku$ et $ w\in K^{\perp}$. Comme $ K^{\perp}$ est aussi un sous-espace vectoriel fermé, et comme $ u-w\in K$ et que tout vecteur de $ K$ est orthogonal à $ K^{\perp}$ (propriété évidente), la caractérisation (a) pour $ \Pi_{K^{\perp}}$ implique que $ w=\Pi_{K^{\perp}}u$. Si $ u=v'+w'$ est une autre décomposition avec $ v'\in K$ et $ w'\in K^{\perp}$, par différence $ v-v'=w'-w$ est dans $ K\cap K^{\perp}$, et on a déjà vu que cela implique $ v-v'=0$: on a donc achevé de prouver (c).

(d) On a déjà vu que $ K\subset(K^{\perp})^{\perp}$, et l'inclusion inverse découle de (c). $ \Box$

Soit $ K$ une partie de $ H$. L'espace vectoriel engendré par $ K$, et noté $ e(K)$, est le plus petit espace vectoriel contenant $ K$ (il existe, car d'une part $ K\subset H$, d'autre part une intersection quelconque d'espaces vectoriels est un espace vectoriel). Noter que, de manière évidente, $ e(K)$ est ausi l'ensemble des combinaisons linéaires finies de vecteurs de $ K$.

La fermeture de $ e(K)$ (i.e. l'ensemble des limites des suites convergentes de vecteurs de $ e(K)$) est encore clairement un espace vectoriel, appelé l'espace vectoriel fermé engendré par $ K$. Enfin, on dit que $ K$ est total dans $ H$ si l'espace vectoriel fermé engendré par $ K$ égale $ H$.

Corollaire Une partie $ K$ de $ H$ est totale si et seulement si $ K^{\perp}=\{0\}$.

Soit $ H'$ l'espace vectoriel fermé engendré par $ K$. Il est évident que $ H'^{\perp}\subset K^{\perp}$. Si $ u\in
K^{\perp}$, alors $ u$ est aussi orthogonal à tous les éléments de $ e(K)$ (utiliser ([*])-(iii)); si alors $ v\in H'$ il existe des $ v_n\in e(K)$ avec $ v_n\to v$, et comme $ \langle u,v_n\rangle=0$ pour tout $ n$ on a aussi $ \langle u,v\rangle=0$ et par suite $ u\in H'^{\perp}$: on a donc $ H'^{\perp}=K^{\perp}$. Comme $ H'=H$ équivaut à $ H'^{\perp}=\{0\}$ par (c) de la proposition [*], on a le résultat. $ \Box$

Le second sujet important est celui de la dualité. Rappelons que si $ (F,\vert\vert.\vert\vert)$ est un espace vetoriel normé, son dual est l'ensemble $ F'$ des applications linéaires $ \psi: F\mapsto I\!\!R$ telles que $ \vert\psi(u)\vert\leq
C\vert\vert u\vert\vert$ pour tout $ u\in F$, pour une certaine constante $ C$ (cette dernière propriété est en fait équivalente à la continuité de $ \psi$). Il est clair que $ F'$ est un espace vectoriel, qu'on munit d'une norme $ \vert\vert.\vert\vert'$ définie ainsi:

$\displaystyle \vert\vert\psi\vert\vert' = \sup(\vert\psi(u)\vert:u\in F,\vert\v...
...\leq1) = \sup({\vert\psi(u)\vert\over\vert\vert u\vert\vert}:u\in F,u\neq 0) .$ (21)

Lorsque $ (F,\vert\vert.\vert\vert)$ est un espace de Banach, on peut montrer qu'il en est de même de $ (F',\vert\vert.\vert\vert')$.

Théorème Soit $ H$ un espace de Hilbert. On peut identifier le dual $ (H',\vert\vert.\vert\vert')$ avec $ (H,\vert\vert.\vert\vert)$, en associant à tout $ v\in H$ l'application linéaire $ \psi_v$ définie par $ \psi_v(u)=\langle u,v\rangle$.

Si $ v\in H$ l'application $ \psi_v$ définie ci-dessus est linéaire continue et vérifie $ \vert\vert\psi_v\vert\vert'\leq\vert\vert v\vert\vert$ d'après l'inégalité de Schwarz. Comme $ \psi_v(v)=\langle v,v\rangle=\vert\vert v\vert\vert^2$, ([*])) implique $ \vert\vert\psi_v\vert\vert'=\vert\vert v\vert\vert$. Remarquer aussi que si $ \psi_v=\psi_{v'}$, le vecteur $ v-v'$ est orthogonal à tout $ u\in H$, donc orthogonal en particulier à lui-même, de sorte que $ v=v'$.

Il reste à montrer qu'inversement, si $ \psi\in H'$ il existe un $ v\in H$ tel que $ \psi=\psi_v$. Si $ \psi=0$, $ v=0$ répond à la question. Supposons donc que $ \psi\neq0$. Le noyau $ K$ de $ \psi$ est un sous-espace vectoriel de $ H$, fermé à cause de la continuité de $ \psi$, et $ K^{\perp}$ n'est pas réduit à $ \{0\}$ (sinon on aurait $ K=H$ d'après le corollaire [*], donc $ \psi=0$). Soit alors $ w\in K^{\perp}$, $ w\neq0$, de sorte que $ \psi(w)\neq 0$. Posons $ v={\psi(w)\over\vert\vert w\vert\vert}w$.

Pour tout $ u\in H$ on pose $ u'=u-{\psi(u)\over\psi(w)}w$. On a $ \psi(u')=0$, donc $ u'\in K$, donc $ \langle u',v\rangle=0$ et

$\displaystyle \langle u',v\rangle = \langle u,v\rangle-{\psi(u)\over\psi(w)}\langle
w,v\rangle = \langle u,v\rangle-\psi(u)$

est donc nul: par suite $ \psi(u)=\langle u,v\rangle=\psi_v(u)$.$ \Box$

Le troisième sujet important est celui des bases orthonormales. Commençons par une définition:

Définition    Un système orthonormal est une famille $ (u_i)_{i\in I}$ de vecteurs de l'espace de Hilbert $ H$ qui vérifie $ \langle
u_i,u_j\rangle=0$ si $ i\neq j$ et $ \langle u_i,u_i\rangle=1$. Une base orthonormale est un système orthonormal total dans $ H$.$ \Box$

D'après le corollaire [*], un système orthonormal $ (u_i)_{i\in I}$ est une base si et seulement si

$\displaystyle \langle v,u_i\rangle=0\quad\forall i\in I\qquad\Rightarrow\qquad v=0.$ (22)

Attention: une base orthonormale n'est pas une base ``algébrique'', au sens où tout vecteur serait une combinaison linéaire finie de vecteurs de la base, sauf bien-sûr si $ H$ est de dimension finie.

Soit $ (u_i)_{1\leq i\leq d}$ un système orthonormal fini, et $ K$ l'espace vectoriel fermé qu'il engendre. $ K$ contient évidemment l'ensemble des combinaisons linéaires finies $ u=\sum_{i=1}^da_iu_i$ ( $ a_i\in I\!\!R$) et, comme ce dernier ensemble est à l'évidence fermé il est en fait égal à $ K$. Noter que si $ u=\sum_{i=1}^da_iu_i$ et $ v=\sum_{i=1}^db_iu_i$, alors

$\displaystyle \langle u,v\rangle = \sum_{1\leq i\leq d,1\leq j\leq d}a_ib_j\langle
u_i,u_j\rangle = \sum_{i=1}^da_ib_i.$

Ainsi, $ K$ peut être identifié à l'espace $ I\!\!R^d$ muni de la norme euclidienne, par la correspondance $ u\leftrightarrow(a_i)_{1\leq i\leq d}$. Cela se généralise:

Proposition Soit $ (u_n)_{n\in I\!\!N}$ un système orthonormal dénombrable, et $ K$ l'espace vectoriel fermé engendré par ce système.

a) $ K$ est isomorphe, en tant qu'espace de Hilbert, à l'espace $ \ell^2$ des suites réelles $ a=(a_n)_{n\in I\!\!N}$ telles que $ \sum_n(a_n)^2<\infty$. Plus précisément si $ a=(a_n)$ est dans $ \ell^2$, la série $ \sum_na_nu_n$ converge dans $ H$ et définit un vecteur $ u(a)$ de $ K$; l'application $ a\mapsto u(a)$ est linéaire bijective de $ \ell^2$ dans $ K$ et préserve le produit scalaire (donc la norme, donc elle est continue ainsi que son inverse):

$\displaystyle \langle\sum_na_nu_n,\sum_nb_nu_n\rangle =  \sum_na_nb_n.$ (23)

b) Si $ u\in H$ et $ a_n=\langle u,u_n\rangle$, alors $ a=(a_n)_{n\in I\!\!N}$ appartient à $ \ell^2$ et on a $ \sum_na_nu_n=\Pi_Ku$, et en particulier

$\displaystyle \sum_n\langle u,u_n^2\rangle \leq \vert\vert u\vert\vert^2,$ (24)

avec égalité si et seulement si $ u\in K$.

Commençons par un lemme, qui a un intérêt propre:

Lemme Si $ (v_n)_{n\in I\!\!N}$ est une suite de vecteurs deux-à-deux orthogonaux, la série $ \sum_nv_n$ converge dans $ H$ si et seulement si $ \sum_n\vert\vert v_n\vert\vert^2<\infty$, et on a alors

$\displaystyle \vert\vert\sum_nv_n\vert\vert^2 = \sum_n\vert\vert v_n\vert\vert^2.$ (25)

Soit $ w_n=\sum_{i=0}^nv_i$ et $ S_n=\sum_{i=0}^n\vert\vert v_i\vert\vert^2$. Si $ n<m$ on a

$\displaystyle \vert\vert w_m-w_n\vert\vert^2 = \langle\sum_{i=n+1}^mv_i,\sum_{i...
...q m}\langle v_i,v_j\rangle = \sum_{i=n+1}^m\vert\vert v_i\vert\vert^2 = S_m-S_n$

puisque $ \langle v_i,v_j\rangle=0$ si $ i\neq j$. La suite $ (w_m)$ converge dans $ H$ si et seulement si elle est de Cauchy, donc d'après ce qui précède si et seulement si la suite $ (S_n)_n$ est de Cauchy dans $ I\!\!R$, donc si et seulement si $ \sum_i\vert\vert v_i\vert\vert^2<\infty$. Enfin sous ces conditions, on note $ w$ la limite de la suite $ (w_n)$; exactement comme ci-dessus on a $ \vert\vert w_n\vert\vert^2=S_n$, et en passant à la limite on obtient ([*]).$ \Box$

Preuve de la proposition [*]. a) Soit $ a=(a_n)\in\ell^2$. Comme $ \vert\vert a_nu_n\vert\vert=a_n$, le lemme [*] entraine que la série $ \sum_na_nu_n$ converge, et on note $ u(a)$ sa somme. Il est clair que $ u(a)\in
K$, et que $ a\mapsto u(a)$ est linéaire. ([*]) implique $ \vert\vert u(a)\vert\vert=
\vert\vert a\vert\vert _2$ (on note $ \vert\vert.\vert\vert _2$ et $ \langle.,.\rangle_2$ la norme et le produit scalaire de $ \ell^2$). On a $ \langle
u,v\rangle={1\over2}\left(\vert\vert u+v\vert\vert^2+\vert\vert u-v\vert\vert^2\right)$, et une relation analogue entre $ \vert\vert.\vert\vert _2$ et $ \langle.,.\rangle_2$: donc l'application linéaire $ a\mapsto u(a)$, qui préserve la norme, préserve aussi le produit scalaire, et on a ([*]). Enfin, l'image $ K'$ de $ \ell^2$ est un espace vectoriel contenant les $ u_n$ et contenu dans $ K$; si $ v_n\in K'$ et $ v_n\to v$, alors $ (v_n)$ est une suite de Cauchy dans $ H$, donc les inverses $ u^{-1}(v_n)$ forment une suite de Cauchy dans $ \ell^2$, convergeant donc vers une limite $ a$, et évidemment $ v=u(a)$: ainsi $ K'$ est fermé, donc $ K'=K$ et $ u(.)$ est bijective de $ \ell^2$ dans $ K$.

b) Soit $ u\in H$ et $ v=\Pi_Ku$. Il existe $ a=(a_n)\in\ell^2$ avec $ v=\sum_na_nu_n$ et $ \vert\vert a\vert\vert _2=\vert\vert v\vert\vert$. Si $ v_n=\sum_{i=0}^na_iu_i$, on a $ \langle v_n,u_m\rangle=a_m$ si $ n\geq m$, et comme $ v_n\to v$ on en déduit que $ a_m=\langle v,u_m\rangle$ pour tout $ m$. Pour terminer il suffit de remarquer que $ \vert\vert u\vert\vert^2=\vert\vert v\vert\vert^2+\vert\vert u-v\vert\vert^2$ (``théorème de Pythagore''), donc $ \vert\vert u\vert\vert\geq\vert\vert v\vert\vert$, avec égalité si et seulement si $ u=v$, donc si et seulement si $ u\in K$. $ \Box$

Revenons pour terminer à l'espace $ L^2=L^2(E,\hbox{$\cal E$},\mu)$. On peut énoncer le théorème [*] dans ce cadre, ce qui donne:

Théorème L'espace $ L^2$ est son propre dual, ce qui revient à dire qu'à toute application linéaire continue $ \psi$ de $ L^2$ dans $ I\!\!R$ on peut associer une fonction $ g\in L^2$ telle que $ \psi(f)=\int
fgd\mu$ pour toute $ f\in L^2$.

On a aussi le théorème suivant, que nous énonçons sans démonstration:

Théorème Si $ \mu$ une mesure $ \sigma $-finie sur $ (E,\hbox{$\cal E$})=(I\!\!R^d,\hbox{$\cal R$}^d)$, l'espace $ L^2$ admet une base orthonormale dénombrable.

Un exemple de base orthonormale: Supposons que $ E=[0,1]$ soit muni de la tribu borélienne $ \hbox{$\cal E$}$ et de la mesure de Lebesgue $ \lambda $. La suite de fonctions ci-dessous constitue une base orthonormale de $ L^2$, appelée la base de Haar:

\begin{displaymath}f_n(x) = \left\{
\begin{array}{lll} 1&\hbox{si}  k2^{-n}\leq ...
...k+1)2^{-n}\quad &\hbox{pour un
$k$ pair.}
\end{array} \right. \end{displaymath}


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©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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