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Le théorème de Radon-Nikodym

Nous commençons ce paragraphe par quelques compléments sur les mesures avec densité par rapport à une mesure donnée. L'espace $ (E,\hbox{$\cal E$})$ est fixé. Rappelons que si $ \mu$ est une mesure sur $ (E,\hbox{$\cal E$})$ et si $ f$ et $ f'$ sont deux fonctions mesurables à valeurs dans $ [0,\infty]$, les deux mesures $ f\bullet\mu$ et $ f'\bullet\mu$ sont égales dès que $ f=f'  \mu$-p.p. Ce qui suit est une série de variations sur la réciproque de ce résultat.

Lemme Si $ \mu$ est une mesure $ \sigma $-finie et si $ f$ est une fonction mesurable à valeurs dans $ [0,\infty]$, la mesure $ \nu=f\bullet\mu$ est $ \sigma $-finie si et seulement si $ f$ est $ \mu$-presque partout finie (on a alors aussi $ \nu=f'\bullet\mu$ avec la fonction finie $ f'=f1_{\{ f<\infty\}}$).

Si $ \nu$ est $ \sigma $-finie il existe une suite $ (E_n)_{n\geq1}$ d'ensembles mesurables croissant vers $ E$ et avec $ \nu(E_n)=\int (f1_{E_n})d\mu<\infty$. Par le corollaire [*] on a $ f1_{E_n}<\infty  \mu$-p.p., et comme $ E_n\uparrow E$ on en déduit que $ f<\infty  \mu$-p.p.

Supposons inversement que $ f<\infty  \mu$-p.p. On pose $ F_0=\{ f=\infty\}$ et, pour $ n\geq1$, $ F_n=F_0\cup\{ f\leq n\}$. Les $ F_n$ sont mesurables et croissent vers $ E$. Par hypothèse il existe aussi une suite $ (G_n)_{n\in I\!\!N}$ d'ensembles mesurables croissant vers $ E$ et tels que $ \mu(G_n)<\infty$. La suite $ E_n=F_n\cap G_n$ croît vers $ E$, et

$\displaystyle \nu(E_n) = \int (f1_{F_0\cap G_n})d\mu+\int (f1_{\{ f\leq n\}\cap G_n})d\mu 
\leq 0+n\mu(G_n) < \infty$

puisque $ \mu(F_0)=0$: donc $ \nu$ est $ \sigma $-finie. $ \Box$

Lemme Soit $ \mu$ une mesure sur $ (E,\hbox{$\cal E$})$ et $ f$ et $ f'$ deux fonctions mesurables.

a) Si les fonctions $ f$ et $ f'$ sont positives, et si les mesures $ f\bullet\mu$ et $ f'\bullet\mu$ sont égales et $ \sigma $-finies, on a $ f=f'  \mu$-p.p.

b) Si les fonctions $ f$ et $ f'$ sont $ \mu$-intégrables et si $ \int_Afd\mu=
\int_Af'd\mu$ pour tout $ A$ dans une classe $ \hbox{$\cal C$}$ de parties mesurables qui est stable par intersection ( $ A,B\in\hbox{$\cal C$}  \Rightarrow  A\cap B\in\hbox{$\cal C$}$), qui contient une suite $ (E_n)_{n\geq1}$ croissant vers $ E$, et qui engendre la tribu $ \hbox{$\cal E$}$. Alors $ f=f'  \mu$-p.p.

c) Si $ \int_Afd\mu\geq0$ pour tout $ A\in\hbox{$\cal E$}$, on a $ f\geq0  \mu$-p.p.

a) Soit $ \nu=f\bullet\mu=f'\bullet\mu$, et $ (E_n)_{n\geq1}$ une suite d'ensembles mesurables croissant vers $ E$ avec $ \nu(E_n)<\infty$. Si $ A=\{
f<f'\}$ on a $ \int_{A\cap E_n}fd\mu=\int_{A\cap E_n}f'd\mu<\infty$, de sorte que $ \int (f'-f)1_{A\cap E_n}d\mu=0$ et comme l'intégrand est positif ou nul on déduit de la proposition 3-[*] que $ (f'-f)1_{A\cap
E_n}=0  \mu$-p.p. On en déduit que $ f'\leq f  \mu$-p.p. sur chaque $ E_n$, donc aussi sur $ E$. On montre de même que $ f\leq f'  \mu$-p.p., donc finalement $ f=f'  \mu$-p.p.

b) Posons $ \nu_+=f^+\bullet\mu$, $ \nu_-=f^-\bullet\mu$, $ \nu_+'=f'^+\bullet\mu$ et $ \nu'_-=f'^-\bullet\mu$. Ces quatre mesures sont finies (car $ f$ et $ f'$ sont intégrables), et l'hypothèse implique que $ \nu_+(A)+\nu'_-(A)=\nu_-(A)+\nu'_+(A)$ pour tout $ A\in\hbox{$\cal C$}$: Le théorème 4-[*] entraine alors que $ \nu_++\nu'_-=\nu_-+\nu'_+$, et (a) implique $ f^++f'^-=f^-+f'^+  \mu$-p.p., donc aussi $ f=f'  \mu$-p.p.

c) Si $ A=\{ f<0\}$ on a $ \int(f1_A)d\mu\geq0$ et $ f1_A\geq0$, ce qui implique $ f1_A=0  \mu$-p.p.: par suite $ f\geq0  \mu$-p.p. $ \Box$

Remarque: Le résultat (a) ci-dessus est en défaut sans l'hypothèse de $ \sigma $-finitude. Si par exemple $ \mu(A)=\infty$ si $ A\neq\emptyset $ et $ \mu(\emptyset )=0$ la mesure $ f\bullet\mu$ égale $ \mu$ lorsque $ f>0$ partout.

Nous allons maintenant utiliser le théorème [*] pour montrer un résultat très utile dans les applications. L'espace mesurable $ (E,\hbox{$\cal E$})$ est toujours fixé.

Définition Soit $ \mu$ et $ \nu$ deux mesures sur $ (E,\hbox{$\cal E$})$. On dit que $ \nu$ est absolument continue par rapport à $ \mu$ si tout ensemble $ \mu$-négligeable est aussi $ \nu$-négligeable.

Théorème Soit $ \mu$ et $ \nu$ deux mesures $ \sigma $-finies sur $ (E,\hbox{$\cal E$})$. La mesure $ \nu$ est absolument continue par rapport à $ \mu$ si et seulement si elle est de la forme $ \nu=f\bullet\mu$ pour une fonction mesurable $ f$ à valeurs dans $ I\!\!R_+$.

Ce théorème est appelé THEOREME DE RADON-NIKODYM. La condition suffisante est évidente: si en effet $ A\in\hbox{$\cal E$}$ vérifie $ \mu(A)=0$, la fonction $ f1_A$ est $ \mu$-presque partout nulle, et comme $ \nu(A)=\int
(f1_A)d\mu$ on a aussi $ \nu(A)=0$. Pour la réciproque, nous commençons par un lemme:

Lemme Si $ \mu$ et $ \nu$ sont deux mesures $ \sigma $-finies telles que $ \nu(A)\leq\mu(A)$ pour tout $ A$, il existe une fonction $ f$ mesurable, à valeurs dans $ [0,1]$, telle que $ \nu=f\bullet\mu$.

a) Supposons d'abord que $ \mu$ soit une mesure finie. On note $ L^2=L^2(E,\hbox{$\cal E$},\mu)$, avec sa norme $ \vert\vert.\vert\vert _2$. Remarquons que si $ g$ est mesurable positive, on a $ \int gd\nu\leq\int gd\mu$ (c'est vrai par hypothèse pour les indicatrices, donc par linéarité pour les fonctions étagées, donc par limite monotone pour les fonctions mesurables positives). Si donc $ g\in L^2$, on a $ \int\vert g\vert d\nu\leq\int\vert g\vert d\mu\leq\sqrt{\mu(E)}\vert\vert g\vert\vert _2$ (appliquer ([*])). Par suite $ \psi(g)=\int gd\nu$ est une application, clairement linéaire, de $ L^2$ dans $ I\!\!R$, et $ \vert\psi(g)\vert\leq\sqrt{\mu(E)}\vert\vert g\vert\vert _2$: par suite $ \psi$ est un élément du dual de $ L^2$, et d'après le théorème [*] il existe $ f\in L^2$ tel que $ \int gd\nu=\psi(g)=\int fgd\mu$: en particulier $ \nu(A)=\int_Afd\mu$ pour $ A\in\hbox{$\cal E$}$; d'après le lemme [*] on peut choisir $ f\geq0$ et on a $ \nu=f\bullet\mu$. Enfin $ \int_A(1-f)d\mu=\mu(A)-\nu(A)\geq0$ pour tout $ A\in\hbox{$\cal E$}$, et le lemme [*]-(c) entraine $ f\leq1  \mu$-p.p., de sorte qu'on peut choisir $ f$ à valeurs dans $ [0,1]$.

b) Passons au cas général. Il existe une partition mesurable $ (E_n)_{n\geq1}$ de $ E$ telle que $ \mu(E_n)<\infty$ pour tout $ n$. Notons $ \mu_n$ et $ \nu_n$ les restrictions de $ \mu$ et $ \nu$ à $ E_n$ (rappelons par exemple que $ \mu_n(A)=\mu(A\cap E_n)$). On a évidemment $ \nu_n(A)\leq\mu_n(A)$ pour tout $ A$, donc (a) implique que $ \nu_n=f_n\bullet\mu_n$ pour une fonction $ f_n$ à valeurs dans $ [0,1]$: il reste à poser $ f=\sum_nf_n1_{E_n}$ pour obtenir le résultat. $ \Box$

Preuve du théorème [*]. Soit $ \eta=\mu+\nu$, qui est aussi une mesure $ \sigma $-finie. On a $ \mu(A)\leq\eta(A)$ et $ \nu(A)\leq\eta(A)$ pour tout $ A\in\hbox{$\cal E$}$, donc il existe deux fonctions $ g$ et $ h$ à valeurs dans $ [0,1]$ telles que $ \mu=g\bullet\eta$ et $ \nu=h\bullet\eta$, en vertu du lemme ci-dessus. Nous allons montrer que la fonction $ f$ qui vaut $ h/g$ sur l'ensemble $ B=\{ g>0\}$ et 0 sur $ B^c$ répond à la question.

D'abord, $ \mu(B^c)=\int g1_{B^c}d\eta=0$, puisque $ g1_{B^c}=0$, donc $ \nu(B^c)=0$ puisque $ \nu$ est absolument continue par rapport à $ \mu$. Donc si $ A\in\hbox{$\cal E$}$, la proposition 3-[*] implique:

$\displaystyle \nu(A) = \nu(A\cap B^c) = \int (h1_{A\cap B^c})d\eta = \int(fg1_A)d\eta = 
\int (f1_A)d\mu,$

et le résultat s'ensuit. $ \Box$


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Jean_Jacod
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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