Les-Mathematiques.net - Cours de mathématiques universitaires - Forum - Cours à télécharger

A lire
Deug/Prépa
Licence
Agrégation
A télécharger
Télécharger
192 personne(s) sur le site en ce moment
E. Cartan
A lire
Articles
Math/Infos
Récréation
A télécharger
Télécharger
Théorème de Cantor-Bernstein
Théo. Sylow
Théo. Ascoli
Théo. Baire
Loi forte grd nbre
Nains magiques
 
 
 
 
 
La dualité des espaces next up previous
monter: aie précédent: Le théorème de Radon-Nikodym

La dualité des espaces $ L^p$

La question du dual de $ L^2$ a été réglée au théorème [*], et ici nous allons décrire celui de $ L^p$ pour les autres valeurs finies de $ p$. Encore une fois, l'espace mesuré $ (E,\hbox{$\cal E$},\mu)$ est fixé.

Si $ p,q\in[1,\infty]$ vérifient $ {1\over
p}+{1\over q}=1$, et si $ g\in L^q$, en vertu de l'inégalité de Hölder on peut poser pour $ f\in L^p$:

$\displaystyle \psi_g(f) = \int(fg)d\mu,$ (26)

ce qui définit une application linéaire continue sur $ L^p$, donc un élément du dual $ (L^p)'$ dont la norme vérifie $ \vert\vert\psi_g\vert\vert _p'\leq\vert\vert g\vert\vert _q$. En fait, on a bien mieux, du moins si $ p<\infty$:

Théorème Soit $ p\in[1,\infty[$ et $ q\in]1,\infty]$ tels que $ {1\over
p}+{1\over q}=1$, et supposons $ \mu$ $ \sigma $-finie. On peut identifier le dual de $ (L^p,\vert\vert.\vert\vert _p)$ à l'espace $ (L^q,\vert\vert.\vert\vert _q)$, en associant à toute $ g\in L^q$ l'application $ \psi_g$ définie par ([*]) (et en particulier on a $ \vert\vert\psi_g\vert\vert'_p=\vert\vert g\vert\vert _q$).

a) Comme $ \mu$ est $ \sigma $-finie, il existe une partition mesurable $ (E_n)_{n\geq1}$ de $ E$ telle que $ a_n=\mu(E_n)<\infty$. La fonction $ h=\sum_n
{1\over n^2(1+a_n)}1_{E_n}$ est mesurable strictement positive, et $ \int h^pd\mu=\sum_n{1\over n^{2p}(1+a_n)^p}\mu(E_n)\leq
\sum_{n\geq1}{1\over n^{2p}}<\infty$. Donc la mesure $ \eta=h^p\bullet\mu$ est une mesure finie.

b) Soit maintenant $ \psi$ un élément du dual de $ L^p$, de norme $ \vert\vert\psi\vert\vert'_p=a$. Comme $ h\in L^p$, on a a fortiori $ h1_A\in L^p$ pour $ A\in\hbox{$\cal E$}$, donc $ \psi(h1_A)$ est bien définie, et il vient

$\displaystyle \vert\psi(h1_A)\vert \leq a\vert\vert h1_A\vert\vert _p = a\left(\int h^p1_Ad\mu \right)^{1/p} = a\eta(A)^{1/p}.$ (27)

Pour tout $ A\in\hbox{$\cal E$}$ on note $ \hbox{$\cal J$}_A$ la classe des partitions finies $ \hbox{$\cal E$}$-mesurables de $ A$. Si $ \hbox{$\cal A$}=(A_i)_{1\leq i\leq n}\in\hbox{$\cal J$}_A$, on pose

$\displaystyle \gamma _+(A,\hbox{$\cal A$}) = \sum_{i=1}^n\psi(h1_{A_i})^+,\quad\quad
\gamma _-(A,\hbox{$\cal A$}) = \sum_{i=1}^n\psi(h1_{A_i})^-$

$\displaystyle \nu_+(A) = \sup(\gamma _+(A,\hbox{$\cal A$}):\hbox{$\cal A$}\in\h...
..._-(A) = \sup(\gamma _-(A,\hbox{$\cal A$}):\hbox{$\cal A$}\in\hbox{$\cal J$}_A).$

Si $ \varepsilon _i=1$ lorsque $ \psi(h1_{A_i})>0$ et $ \varepsilon _i=0$ sinon, on a aussi $ \gamma _+(A,\hbox{$\cal A$})=\sum_{i=1}^n\varepsilon _i\psi(h1_{A_i})=\psi(\sum_{i=1}^n(h\varepsilon _i1_{A_i}))$, donc $ \gamma _+(A,\hbox{$\cal A$})\leq a\vert\vert h\sum_{i=1}^n\varepsilon _i1_{A_i}\vert\vert _p\leq a\vert\vert h1_A\vert\vert _p$, donc

$\displaystyle \nu_+(A) \leq a\eta(A)^{1/p},$ (28)

et de même pour $ \nu_-$. Enfin, on a $ \gamma _+(A,\hbox{$\cal A$})-\gamma _-(A,\hbox{$\cal A$})=
\sum_{i=1}^n\psi(h1_{A_i})=\psi(h1_A)$, donc $ \gamma _+(A,\hbox{$\cal A$})=\gamma _-(A,\hbox{$\cal A$})+\psi(h1_A)$ et on en déduit

$\displaystyle \psi(A) = \nu_+(A)-\nu_-(A).$ (29)

c) Montrons maintenant que $ \nu_+$ est une mesure (nécessairement finie à cause de ([*])). D'abord $ \nu_+(\emptyset )=0$ est évident. Ensuite, soit $ B,C$ deux ensembles mesurables disjoints; la réunion d'une partition dans $ \hbox{$\cal J$}_B$ et d'une partition dans $ \hbox{$\cal J$}_C$ étant une partition dans $ \hbox{$\cal J$}_{B
\cup C}$, on a clairement $ \nu_+(B\cup C)\geq\nu_+(B)+\nu_+(C)$. A l'inverse, si $ \hbox{$\cal A$}=(A_i)_{1\leq i\leq n}\in\hbox{$\cal J$}_{B\cup C}$, les $ (B_i=A_i\cap B)_{1\leq
i\leq n}$ et $ (C_i=A_i\cap C)_{1\leq i\leq n}$ sont dans $ \hbox{$\cal J$}_B$ et $ \hbox{$\cal J$}_C$ respectivement. Comme $ (x+y)^+\leq x^++y^+$, il vient:

$\displaystyle \gamma _+(B\cup C,\hbox{$\cal A$})=\sum_{i=1}^n\left(\psi(h1_{B_i...
...sum_{i=1}^n\left(\psi(h1_{B_i})^++\psi(h1_{C_i})^+\right)\leq
\nu_+(B)+\nu_-(C)$

et donc $ \nu_+(B\cup C)\leq\nu_+(B)+\nu_+(C)$: on en déduit que $ \nu_+$ est additive.

Pour montrer la $ \sigma $-additivité, soit $ (B_n)_{n\geq1}$ une suite d'ensembles mesurables deux-à-deux disjoints. On pose $ C_n=\cup_{i=1}^nB_i$, qui croît vers $ C=\cup_nB_n$, et soit $ C'_n=C\backslash C_n$. Par additivité, $ \nu_+(C_n)=\sum_{i=1}^n\nu_+(B_i)$ et $ \nu_+(C)=\nu_+(C_n)+\nu_+(C'_n)$. Mais $ \eta(C'_n)\to0$ parce que $ \eta$ est une mesure finie, donc ([*]) implique que $ \nu_+(C'_n)\to0$ (c'est ici qu'intervient l'hypothèse $ p<\infty$): on a donc $ \nu_+(C)=\sum_n\nu_+(B_n)$, et $ \nu_+$ est une mesure. On vérifierait de même que $ \nu_-$ est une mesure.

d) D'après ([*]) les mesures finies $ \nu_+$ et $ \nu_-$ sont absolument continues par rapport à $ \eta$, donc aussi par rapport à $ \mu$. D'après le théorème [*] il existe des fonctions $ \ell_+$ et $ \ell_-$, $ \mu$-intégrables et à valeurs dans $ I\!\!R_+$, telles que $ \nu_+=\ell_+\bullet\mu$ et $ \nu_-=\ell_-\bullet\mu$. On pose $ g={1\over h}
(\ell_+-\ell_-)$, et on va montrer que $ g\in L^q$, que $ \vert\vert g\vert\vert _q\leq a$ et que $ \psi=\psi_g$: comme on a vu avant l'énoncé du théorème que $ \vert\vert\psi_g\vert\vert'_p\leq\vert\vert g\vert\vert _q$, on en déduira que $ \vert\vert\psi_g\vert\vert'_p=\vert\vert g\vert\vert _q$, et la preuve sera achevée.

e) ([*]) montre que $ \psi(h1_A)=\int (\ell_+-\ell_-)1_Ad\mu=
\int gh1_Ad\mu$. En d'autres termes, on a

$\displaystyle \psi(f) = \int gfd\mu$ (30)

pour toute fonction $ f$ de la forme $ f=h1_A$. Par linéarité, on a ([*]) pour $ f$ de la forme $ f=hk$ avec $ k$ finie étagée: noter que dans ce cas on a $ \vert gf\vert\leq K(\ell_++\ell_-)$ pour une certaine constante $ K$, tandis que $ \ell_+$ et $ \ell_-$ sont $ \mu$-intégrables, donc $ \int fgd\mu$ existe et est fini. Supposons maintenant $ k$ mesurable avec $ \vert k\vert\leq K$ pour une constante $ K$. En considérant les parties positive et négative de $ k$, on voit qu'il existe une suite $ k_n$ de fonctions étagées mesurables, avec $ \vert k_n\vert\leq K$, qui converge simplement vers $ k$; d'une part $ \vert hk_n\vert\leq Kh\in L^p$ et $ hk_n\to hk$ simplement, donc $ hk_n\to^{L^p}hk$ par ([*]), donc $ \psi(hk_n)\to\psi(hk)$; d'autre part $ \vert ghk_n\vert\leq K\vert gh\vert$ qui est $ \mu$-intgrable et $ ghk_n\to ghk$ simplement, donc $ \int ghk_nd\mu\to\int ghkd\mu$ par le théorème de Lebesgue. ([*]) étant vraie pour chaque $ hk_n$, elle est vraie aussi pour $ hk$: on a donc montré ([*]) pour toute fonction mesurable $ f=hk$ avec $ k$ bornée.

Supposons $ p=1$, donc $ q=\infty$, et soit $ b>a$. Soit $ k=1_{\{ g\geq b\}}
-1_{\{ g\leq -b\}}$. ([*]) implique $ \psi(hk)=\int\vert g\vert h1_{\{\vert g\vert\geq
b\}}d\mu\geq b\int h1_{\{\vert g\vert\geq b\}}d\mu$; on a aussi $ \vert\vert hk\vert\vert _1=\int
h1_{\{\vert g\vert\geq b\}}d\mu$, et comme $ \vert\psi(hk)\vert\leq a\vert\vert hk\vert\vert _1$ on arrive à une contradiction, sauf si $ \mu(\{\vert g\vert\geq b\})=0$: par suite on a $ \vert g\vert\leq
b  \mu$-p.p. pour tout $ b>a$, ce qui entraine que $ g\in L^{\infty}$ et $ \vert\vert g\vert\vert _{\infty}\leq a$.

Supposons $ p>1$, donc $ q<\infty$. Soit $ f_n$ la fonction de même signe que $ g$, et dont la valeur absolue vaut $ \vert g\vert^{q-1}1_{\{\vert g\vert\leq nh\}}$. $ f_n/h$ étant bornée, ([*]) implique $ \psi(f_n)=\int
gf_nd\mu=\int\vert g\vert^q1_{\{\vert g\vert\leq nh\}}d\mu$; par ailleurs $ \int \vert f_n\vert^pd\mu=
\int\vert g\vert^q1_{\{\vert g\vert\leq nh\}}d\mu=\psi(f_n)$ puisque $ p(q-1)=q$. Comme $ \vert\psi(f_n)\vert\leq a\vert\vert f_n\vert\vert _p$ on en déduit que $ \vert\psi(f_n)\vert\leq
a\vert\psi(f_n)\vert^{1/p}$, d'où $ \vert\psi(f_n)\vert\leq a^q$. En d'autres termes, $ \int\vert f_n\vert^pd\mu=\int\vert g\vert^q1_{\{\vert g\leq nh\}}d\mu\leq a^q$. Comme $ \{\vert g\vert\leq
nh\}$ croît vers $ E$ (car $ h>0$), le théorème de limite monotone entraîne que $ \int\vert g\vert^qd\mu\leq a^q$: par suite $ g\in L^q$, et $ \vert\vert g\vert\vert _q\leq a$.

On a donc montré dans tous les cas que $ g\in L^q$ et que $ \vert\vert g\vert\vert _q\leq a$, tandis que ([*]) implique $ \psi(f)=\psi_g(f)$ si $ f$ est mesurable et $ f/h$ est bornée. Soit enfin $ f\in L^p$, et $ f_n=f1_{\{\vert f\vert\leq nh\}}$. On a $ f_n\to f$ simplement et $ \vert f_n\vert\leq\vert f\vert$, donc d'après ([*]) on a $ f_n\to^{L^p}f$, par suite $ \psi(f_n)\to\psi(f)$ et $ \psi_g(f_n)\to\psi_g(f)$. Comme $ \psi(f_n)=\psi_g(f_n)$ d'après ce qui précède, on en déduit que $ \psi(f)=\psi_g(f)$, et la preuve est enfin achevée. $ \Box$

Remarque: Le résultat est faux pour $ p=\infty$: on a vu que $ L^1$ peut être identifié à une partie de $ (L^{\infty})'$, via ([*]), mais ce dernier espace est strictement plus grand que $ L^1$. La description du dual de $ L^{\infty}$ est complexe et dépasse les objectifs de ce cours.


next up previous
monter: aie précédent: Le théorème de Radon-Nikodym
Jean_Jacod
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
Adresse Mail:

Inscription
Désinscription

Actuellement 16057 abonnés
Qu'est-ce que c'est ?
Taper le mot à rechercher

Mode d'emploi
En vrac

Faites connaître Les-Mathematiques.net à un ami
Curiosités
Participer
Latex et autres....
Collaborateurs
Forum

Nous contacter

Le vote Linux

WWW IMS
Cut the knot
Mac Tutor History...
Number, constant,...
Plouffe's inverter
The Prime page