La question du dual de a été réglée au théorème ,
et ici nous allons décrire celui de pour les autres valeurs finies de
. Encore une fois, l'espace mesuré
est fixé.
Si
vérifient
, et si , en vertu de l'inégalité de Hölder on
peut poser pour :
(26)
ce qui définit une application linéaire continue sur ,
donc un élément du dual dont la norme vérifie
. En fait, on a bien mieux, du moins si :
Théorème Soit
et
tels que
, et supposons -finie. On peut identifier
le dual de
à l'espace
, en associant à toute
l'application définie par () (et en particulier
on a
).
a) Comme est -finie, il existe une partition mesurable
de telle que
. La fonction
est mesurable strictement
positive, et
. Donc la mesure
est
une mesure finie.
b) Soit maintenant un élément du dual de , de norme
. Comme , on a a fortiori
pour
,
donc
est bien définie, et il vient
(27)
Pour tout
on note
la classe des partitions finies
-mesurables de . Si
, on pose
Si
lorsque
et
sinon, on a aussi
,
donc
, donc
(28)
et de même pour . Enfin, on a
, donc
et on en déduit
(29)
c) Montrons maintenant que est une mesure (nécessairement finie à
cause de ()). D'abord
est évident. Ensuite, soit
deux ensembles mesurables disjoints; la réunion d'une partition
dans
et d'une partition dans
étant une partition dans
, on a clairement
. A l'inverse,
si
, les
et
sont dans
et
respectivement. Comme
, il vient:
et donc
: on en déduit que est
additive.
Pour montrer la -additivité, soit
une suite d'ensembles
mesurables deux-à-deux disjoints. On pose
, qui croît vers
, et soit
. Par additivité,
et
. Mais
parce que est une mesure finie, donc ()
implique que
(c'est ici qu'intervient l'hypothèse
): on a donc
, et
est une mesure. On vérifierait de même que est une mesure.
d) D'après () les mesures finies et sont absolument
continues par rapport à , donc aussi par rapport à . D'après
le théorème il existe des fonctions et ,
-intégrables et à valeurs dans , telles que
et
. On pose
, et on va montrer que , que
et que
: comme on a vu avant l'énoncé du théorème que
, on en déduira que
, et la
preuve sera achevée.
e) () montre que
. En d'autres termes, on a
(30)
pour toute fonction de la forme . Par linéarité, on a
() pour de la forme avec finie étagée: noter que
dans ce cas on a
pour une certaine constante ,
tandis que et sont -intégrables, donc
existe et est fini. Supposons maintenant mesurable avec
pour une constante . En considérant les parties positive et
négative de , on voit qu'il existe une suite de fonctions
étagées mesurables, avec
, qui converge simplement vers
; d'une part
et
simplement, donc
par (), donc
; d'autre part
qui est -intgrable et
simplement,
donc
par le théorème de Lebesgue.
() étant vraie pour chaque , elle est vraie aussi
pour : on a donc montré () pour toute fonction mesurable
avec bornée.
Supposons , donc , et soit . Soit
. () implique
; on a aussi
, et comme
on arrive à une
contradiction, sauf si
: par suite on a
-p.p. pour tout , ce qui entraine que
et
.
Supposons , donc . Soit la fonction de même signe que
, et dont la valeur absolue vaut
.
étant bornée, () implique
; par ailleurs
puisque . Comme
on en déduit que
, d'où
. En d'autres termes,
. Comme
croît vers (car ), le théorème de limite monotone
entraîne que
: par suite , et
.
On a donc montré dans tous les cas que et que
,
tandis que ()
implique
si est mesurable et est bornée. Soit
enfin , et
. On a simplement et
, donc d'après () on a
, par suite
et
. Comme
d'après ce qui précède, on en déduit que
, et la preuve est enfin achevée.
Remarque: Le résultat est faux pour : on a vu que
peut être identifié à une partie de
, via
(), mais ce dernier espace est strictement plus grand que . La
description du dual de
est complexe et dépasse les objectifs de
ce cours.