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La dualité des espaces

monter: aie précédent: Le théorème de Radon-Nikodym

La dualité des espaces

La question du dual de a été réglée au théorème , et ici nous allons décrire celui de pour les autres valeurs finies de . Encore une fois, l'espace mesuré $(E,\hbox{$\cal E$},\mu)$ est fixé.

Si $p,q\in[1,\infty]$ vérifient ${1\over p}+{1\over q}=1$ , et si $g\in L^q$ , en vertu de l'inégalité de Hölder on peut poser pour $f\in L^p$ :

$\displaystyle \psi_g(f) = \int(fg)d\mu,$

(26)

ce qui définit une application linéaire continue sur

, donc un élément du dual

dont la norme vérifie $\vert\vert\psi_g\vert\vert _p'\leq\vert\vert g\vert\vert _q$ . En fait, on a bien mieux, du moins si $p<\infty$ :

Théorème Soit $p\in[1,\infty[$ et $q\in]1,\infty]$ tels que ${1\over p}+{1\over q}=1$ , et supposons $\mu$ $\sigma$ -finie. On peut identifier le dual de $(L^p,\vert\vert.\vert\vert _p)$ à l'espace $(L^q,\vert\vert.\vert\vert _q)$ , en associant à toute $g\in L^q$ l'application $\psi_g$ définie par () (et en particulier on a $\vert\vert\psi_g\vert\vert'_p=\vert\vert g\vert\vert _q$ ).

a) Comme $\mu$ est $\sigma$ -finie, il existe une partition mesurable $(E_n)_{n\geq1}$ de telle que $a_n=\mu(E_n)<\infty$ . La fonction $h=\sum_n {1\over n^2(1+a_n)}1_{E_n}$ est mesurable strictement positive, et $\int h^pd\mu=\sum_n{1\over n^{2p}(1+a_n)^p}\mu(E_n)\leq \sum_{n\geq1}{1\over n^{2p}}<\infty$ . Donc la mesure $\eta=h^p\bullet\mu$ est une mesure finie.

b) Soit maintenant $\psi$ un élément du dual de , de norme $\vert\vert\psi\vert\vert'_p=a$ . Comme $h\in L^p$ , on a a fortiori $h1_A\in L^p$ pour $A\in\hbox{$\cal E$}$ , donc $\psi(h1_A)$ est bien définie, et il vient

$\displaystyle \vert\psi(h1_A)\vert \leq a\vert\vert h1_A\vert\vert _p = a\left(\int h^p1_Ad\mu \right)^{1/p} = a\eta(A)^{1/p}.$

(27)

Pour tout $A\in\hbox{$\cal E$}$ on note $\hbox{$\cal J$}_A$ la classe des partitions finies $\hbox{$\cal E$}$ -mesurables de

. Si $\hbox{$\cal A$}=(A_i)_{1\leq i\leq n}\in\hbox{$\cal J$}_A$ , on pose

$\displaystyle \gamma _+(A,\hbox{$\cal A$}) = \sum_{i=1}^n\psi(h1_{A_i})^+,\quad\quad \gamma _-(A,\hbox{$\cal A$}) = \sum_{i=1}^n\psi(h1_{A_i})^-$

$\displaystyle \nu_+(A) = \sup(\gamma _+(A,\hbox{$\cal A$}):\hbox{$\cal A$}\in\h... ..._-(A) = \sup(\gamma _-(A,\hbox{$\cal A$}):\hbox{$\cal A$}\in\hbox{$\cal J$}_A).$

Si $\varepsilon _i=1$ lorsque $\psi(h1_{A_i})>0$ et $\varepsilon _i=0$ sinon, on a aussi $\gamma _+(A,\hbox{$\cal A$})=\sum_{i=1}^n\varepsilon _i\psi(h1_{A_i})=\psi(\sum_{i=1}^n(h\varepsilon _i1_{A_i}))$ , donc $\gamma _+(A,\hbox{$\cal A$})\leq a\vert\vert h\sum_{i=1}^n\varepsilon _i1_{A_i}\vert\vert _p\leq a\vert\vert h1_A\vert\vert _p$ , donc

$\displaystyle \nu_+(A) \leq a\eta(A)^{1/p},$

(28)

et de même pour $\nu_-$ . Enfin, on a $\gamma _+(A,\hbox{$\cal A$})-\gamma _-(A,\hbox{$\cal A$})= \sum_{i=1}^n\psi(h1_{A_i})=\psi(h1_A)$ , donc $\gamma _+(A,\hbox{$\cal A$})=\gamma _-(A,\hbox{$\cal A$})+\psi(h1_A)$ et on en déduit

$\displaystyle \psi(A) = \nu_+(A)-\nu_-(A).$

(29)

c) Montrons maintenant que $\nu_+$ est une mesure (nécessairement finie à cause de ()). D'abord $\nu_+(\emptyset )=0$ est évident. Ensuite, soit deux ensembles mesurables disjoints; la réunion d'une partition dans $\hbox{$\cal J$}_B$ et d'une partition dans $\hbox{$\cal J$}_C$ étant une partition dans $\hbox{$\cal J$}_{B \cup C}$ , on a clairement $\nu_+(B\cup C)\geq\nu_+(B)+\nu_+(C)$ . A l'inverse, si $\hbox{$\cal A$}=(A_i)_{1\leq i\leq n}\in\hbox{$\cal J$}_{B\cup C}$ , les $(B_i=A_i\cap B)_{1\leq i\leq n}$ et $(C_i=A_i\cap C)_{1\leq i\leq n}$ sont dans $\hbox{$\cal J$}_B$ et $\hbox{$\cal J$}_C$ respectivement. Comme $(x+y)^+\leq x^++y^+$ , il vient:

$\displaystyle \gamma _+(B\cup C,\hbox{$\cal A$})=\sum_{i=1}^n\left(\psi(h1_{B_i... ...sum_{i=1}^n\left(\psi(h1_{B_i})^++\psi(h1_{C_i})^+\right)\leq \nu_+(B)+\nu_-(C)$

et donc $\nu_+(B\cup C)\leq\nu_+(B)+\nu_+(C)$ : on en déduit que $\nu_+$ est additive.

Pour montrer la $\sigma$ -additivité, soit $(B_n)_{n\geq1}$ une suite d'ensembles mesurables deux-à-deux disjoints. On pose $C_n=\cup_{i=1}^nB_i$ , qui croît vers $C=\cup_nB_n$ , et soit $C'_n=C\backslash C_n$ . Par additivité, $\nu_+(C_n)=\sum_{i=1}^n\nu_+(B_i)$ et $\nu_+(C)=\nu_+(C_n)+\nu_+(C'_n)$ . Mais $\eta(C'_n)\to0$ parce que $\eta$ est une mesure finie, donc () implique que $\nu_+(C'_n)\to0$ (c'est ici qu'intervient l'hypothèse $p<\infty$ ): on a donc $\nu_+(C)=\sum_n\nu_+(B_n)$ , et $\nu_+$ est une mesure. On vérifierait de même que $\nu_-$ est une mesure.

d) D'après () les mesures finies $\nu_+$ et $\nu_-$ sont absolument continues par rapport à $\eta$ , donc aussi par rapport à $\mu$ . D'après le théorème il existe des fonctions $\ell_+$ et $\ell_-$ , $\mu$ -intégrables et à valeurs dans $I\!\!R_+$ , telles que $\nu_+=\ell_+\bullet\mu$ et $\nu_-=\ell_-\bullet\mu$ . On pose $g={1\over h} (\ell_+-\ell_-)$ , et on va montrer que $g\in L^q$ , que $\vert\vert g\vert\vert _q\leq a$ et que $\psi=\psi_g$ : comme on a vu avant l'énoncé du théorème que $\vert\vert\psi_g\vert\vert'_p\leq\vert\vert g\vert\vert _q$ , on en déduira que $\vert\vert\psi_g\vert\vert'_p=\vert\vert g\vert\vert _q$ , et la preuve sera achevée.

e) () montre que $\psi(h1_A)=\int (\ell_+-\ell_-)1_Ad\mu= \int gh1_Ad\mu$ . En d'autres termes, on a

$\displaystyle \psi(f) = \int gfd\mu$

(30)

pour toute fonction

de la forme

. Par linéarité, on a (

) pour

de la forme

avec

finie étagée: noter que dans ce cas on a $\vert gf\vert\leq K(\ell_++\ell_-)$ pour une certaine constante

, tandis que $\ell_+$ et $\ell_-$ sont $\mu$ -intégrables, donc $\int fgd\mu$ existe et est fini. Supposons maintenant

mesurable avec $\vert k\vert\leq K$ pour une constante

. En considérant les parties positive et négative de

, on voit qu'il existe une suite

de fonctions étagées mesurables, avec $\vert k_n\vert\leq K$ , qui converge simplement vers

; d'une part $\vert hk_n\vert\leq Kh\in L^p$ et $hk_n\to hk$ simplement, donc $hk_n\to^{L^p}hk$ par (

), donc $\psi(hk_n)\to\psi(hk)$ ; d'autre part $\vert ghk_n\vert\leq K\vert gh\vert$ qui est $\mu$ -intgrable et $ghk_n\to ghk$ simplement, donc $\int ghk_nd\mu\to\int ghkd\mu$ par le théorème de Lebesgue. (

) étant vraie pour chaque

, elle est vraie aussi pour

: on a donc montré (

) pour toute fonction mesurable

avec

bornée.

Supposons , donc $q=\infty$ , et soit . Soit $k=1_{\{ g\geq b\}} -1_{\{ g\leq -b\}}$ . () implique $\psi(hk)=\int\vert g\vert h1_{\{\vert g\vert\geq b\}}d\mu\geq b\int h1_{\{\vert g\vert\geq b\}}d\mu$ ; on a aussi $\vert\vert hk\vert\vert _1=\int h1_{\{\vert g\vert\geq b\}}d\mu$ , et comme $\vert\psi(hk)\vert\leq a\vert\vert hk\vert\vert _1$ on arrive à une contradiction, sauf si $\mu(\{\vert g\vert\geq b\})=0$ : par suite on a $\vert g\vert\leq b \mu$ -p.p. pour tout , ce qui entraine que $g\in L^{\infty}$ et $\vert\vert g\vert\vert _{\infty}\leq a$ .

Supposons , donc $q<\infty$ . Soit la fonction de même signe que , et dont la valeur absolue vaut $\vert g\vert^{q-1}1_{\{\vert g\vert\leq nh\}}$ . étant bornée, () implique $\psi(f_n)=\int gf_nd\mu=\int\vert g\vert^q1_{\{\vert g\vert\leq nh\}}d\mu$ ; par ailleurs $\int \vert f_n\vert^pd\mu= \int\vert g\vert^q1_{\{\vert g\vert\leq nh\}}d\mu=\psi(f_n)$ puisque . Comme $\vert\psi(f_n)\vert\leq a\vert\vert f_n\vert\vert _p$ on en déduit que $\vert\psi(f_n)\vert\leq a\vert\psi(f_n)\vert^{1/p}$ , d'où $\vert\psi(f_n)\vert\leq a^q$ . En d'autres termes, $\int\vert f_n\vert^pd\mu=\int\vert g\vert^q1_{\{\vert g\leq nh\}}d\mu\leq a^q$ . Comme $\{\vert g\vert\leq nh\}$ croît vers (car ), le théorème de limite monotone entraîne que $\int\vert g\vert^qd\mu\leq a^q$ : par suite $g\in L^q$ , et $\vert\vert g\vert\vert _q\leq a$ .

On a donc montré dans tous les cas que $g\in L^q$ et que $\vert\vert g\vert\vert _q\leq a$ , tandis que () implique $\psi(f)=\psi_g(f)$ si est mesurable et est bornée. Soit enfin $f\in L^p$ , et $f_n=f1_{\{\vert f\vert\leq nh\}}$ . On a $f_n\to f$ simplement et $\vert f_n\vert\leq\vert f\vert$ , donc d'après () on a $f_n\to^{L^p}f$ , par suite $\psi(f_n)\to\psi(f)$ et $\psi_g(f_n)\to\psi_g(f)$ . Comme $\psi(f_n)=\psi_g(f_n)$ d'après ce qui précède, on en déduit que $\psi(f)=\psi_g(f)$ , et la preuve est enfin achevée. $\Box$

Remarque: Le résultat est faux pour $p=\infty$ : on a vu que peut être identifié à une partie de $(L^{\infty})'$ , via (), mais ce dernier espace est strictement plus grand que . La description du dual de $L^{\infty}$ est complexe et dépasse les objectifs de ce cours.