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Définition et propriétés élémentaires

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Définition et propriétés élémentaires

Dans (presque) tout ce chapitre l'espace de base est $I\!\!R^d$ , muni de la tribu borélienne $\hbox{$\cal R$}^d$ . On note encore $\lambda _d$ la mesure de Lebesgue sur $I\!\!R^d$ , et on rappelle que l'intégrale (quand elle existe) d'une fonction borélienne sur $I\!\!R^d$ est notée $\int fd\lambda _d=\int f(x_1,\ldots,x_d) dx_1\ldots dx_d=\int f(x)dx$ . Rappelons aussi que pour intégrer une fonction à valeurs complexes, on peut intégrer séparément la partie réelle et la partie imaginaire.

La théorie des transformées de Fourier présente plusieurs aspects complémentaires:

1a) La transformée de Fourier des mesures finies sur $I\!\!R^d$ .

1b) La transformée de Fourier des fonctions (réelles ou complexes) sur $I\!\!R^d$ , qui sont intégrables par rapport à la mesure de Lebesgue: quitte à considérer séparément la partie réelle et la partie imaginaire, on se ramène aux fonctions réelles; quitte à écrire une fonction réelle comme différence de deux fonctions positives, on se ramène aux fonctions positives (intégrables): la transformée de Fourier de $f\geq0$ sera alors simplement la transformée de Fourier de la mesure $\mu=f\bullet\lambda _d$ : cet aspect se réduit donc essentiellement à (1a).

2) La transformée de Fourier des fonctions complexes de carré intégrable par rapport à $\lambda _d$ : nous ne ferons que survoler cet aspect.

3) La théorie des fonctions caractéristiques pour les probabilités: c'est d'une certaine manière un cas particulier de 1, dont nous ne développerons aucunement les aspects spécifiques ici.

Définition a) La transformée de Fourier de la mesure $\mu$ de masse totale finie sur $(I\!\!R^d,\hbox{$\cal R$}^d)$ est la fonction de $I\!\!R^d$ dans $C\!\!\!\!C$ définie par

$\displaystyle \hat{\mu}(u)~=~\int e^{-2i\pi\langle u,x\rangle}\mu(dx),$

(1)

où $\langle u,x\rangle$ désigne le produit scalaire usuel sur $I\!\!R^d$ (si

, on a $\langle u,x\rangle=\sum_{j=1}^du_jx_j$ ).

b) Si est une fonction à valeurs complexes, intégrable par rapport à la mesure de Lebesgue, sa transformée de Fourier est la fonction de $I\!\!R^d$ dans $C\!\!\!\!C$ définie par

$\displaystyle \hat{f}(u)~=~\int e^{-2i\pi\langle u,x\rangle}f(x)dx;$

(2)

on écrit aussi parfois $\hbox{$\cal F$}f$ au lieu de $\hat{f}$ .

Noter que $\vert e^{i\langle u,x\rangle}\vert=1$ , de sorte que dans () et () les intégrales sont bien définies. Si est une fonction positive, Lebesgue-intégrable, on a $\hat{f}=\hat{\mu}$ si $\mu=f\bullet\lambda _d$ .

Proposition a) La transformée de Fourier d'une mesure finie (resp. d'une fonction Lebesgue-intégrable) est une fonction continue.

b) Les applications $\mu\mapsto\hat{\mu}$ et $f\mapsto\hat{f}$ sont linéaires, et on a

$\displaystyle \vert\hat{\mu}(u)\vert~\leq~\mu(I\!\!R^d),\qquad \vert\hat{f}(u)\vert~\leq~\int \vert f(x)\vert dx.$

(3)

c) La transformée de Fourier du produit de convolution de deux mesures finies (resp. d'une mesure finie et d'une fonction intégrable, resp. de deux fonctions intégrables) est le produit des deux transformées de Fourier.

(b) est évident (pour () on utilise $\vert e^{-2i\pi\langle u,x\rangle}\vert=1$ , et 2-()). Pour (a) et (c), il suffit par linéarité de considérer le cas des mesures.

Soit $\mu$ une mesure finie. Posons aussi $\psi_u(x)=e^{-2i\pi\langle u,x \rangle}$ . Pour chaque $x\in I\!\!R^d$ la fonction $u\mapsto\psi_u(x)$ est continue, et $\vert\psi_u(x)\vert\leq1$ : la proposition 3- entraine alors immédiatement (a).

Soit $\mu=\mu_1\star\mu_2$ , où $\mu_1$ et $\mu_2$ sont deux mesures finies. On sait que $\mu$ est aussi une mesure finie (cf. l'exemple 2 avant la proposition 4-), et 4-() et 4-() impliquent

$\displaystyle \hat{\mu}(u)~=~\int e^{-2i\pi\langle u,x+y\rangle}\mu_1(dx)\mu_2(... ...angle}\mu_1(dx)\right) \left(\int e^{-2i\pi\langle u,y\rangle}\mu_2(dy)\right),$

de sorte que $\hat{\mu}(u)=\hat{\mu_1}(u)\hat{\mu_2}(u)$ .

Lorsque $\mu$ est une mesure finie et est une fonction intégrable, quitte à prendre les parties positives et négatives des parties réelle et imaginaire de , et à utiliser la linéarité de la transformée de Fourier et du produit de convolution, on peut supposer que $f\geq0$ , et on sait alors que $\mu\star f$ est la densité de la mesure $\mu\star(f\bullet\lambda _d)$ ; d'après ce qu'on vient de voir, la transformée de Fourier de $\mu\star f$ est alors le produit $\hat{\mu}\hat{f}$ . Le résultat concernant le produit de convolution de deux fonctions se montre de la même manière. $~\Box$

Par exemple, la transformée de Fourier de la mesure de Dirac $\varepsilon _a$ en $a\in I\!\!R^d$ est

$\displaystyle \hat{\varepsilon }_a(u)~=~e^{-2i\pi\langle u,a\rangle}$ (en particulier, $\displaystyle ~~~ \hat{\varepsilon }_0(u)=1~).$

(4)

Cela est cohérent avec l'assertion (c) ci-dessus et le fait que $\varepsilon _0\star\mu=\mu$ et $\varepsilon _0\star f=f$ . Des changements de variables élémentaires dans (

) permettent de montrer les propriétés suivantes, où

est une fonction complexe Lebesgue-intégrable et où $\overline{a}$ désigne le complexe conjugué de

$\displaystyle g(x)=f(-x)\qquad\Rightarrow\qquad \hat{g}(u)=\hat{f}(-u)= \overline{\hat{\overline{f}}(u)}.$

(5)

$\displaystyle g(x)=f(x/a),\quad a\in I\!\!R\backslash\{0\}\qquad\Rightarrow\qquad \hat{g}(u)=a^d\hat{f}(au).$

(6)

Exemple: les séries de Fourier. On sait qu'une série de Fourier est une série de terme général $a_ne^{2in\pi u}$ indicée par $n\in Z\!\!\!Z$ . Lorsque les sont réels et que $\sum_{n\in Z\!\!\!Z}\vert a_n\vert<\infty$ , la somme d'une telle série apparait donc comme la transformée de Fourier de la mesure suivante sur $I\!\!R$ :