Dans (presque) tout ce chapitre l'espace de base est , muni de la
tribu borélienne
. On note encore
la mesure de Lebesgue sur
, et on rappelle que l'intégrale (quand elle existe) d'une fonction
borélienne sur est notée
. Rappelons aussi que pour intégrer une fonction
à valeurs complexes, on peut intégrer séparément la partie réelle
et la partie imaginaire.
La théorie des transformées de Fourier présente plusieurs aspects
complémentaires:
1a) La transformée de Fourier des mesures finies sur .
1b) La transformée de Fourier des fonctions (réelles ou
complexes) sur , qui sont intégrables par rapport à la mesure de
Lebesgue: quitte à considérer séparément la partie réelle et la
partie imaginaire, on se ramène aux fonctions réelles; quitte à écrire
une fonction réelle comme différence de deux fonctions positives, on se
ramène aux fonctions positives (intégrables): la transformée de Fourier
de sera alors simplement la transformée de Fourier de la mesure
: cet
aspect se réduit donc essentiellement à (1a).
2) La transformée de Fourier des fonctions complexes de carré intégrable par rapport à
: nous ne ferons que survoler cet aspect.
3) La théorie des fonctions caractéristiques pour les probabilités:
c'est d'une certaine manière un cas particulier de 1, dont nous ne
développerons aucunement les aspects spécifiques ici.
Définition a) La transformée de Fourier de la mesure de masse totale finie
sur
est la fonction de dans
définie par
(1)
où
désigne le produit scalaire usuel sur
(si et , on a
).
b) Si est une fonction à valeurs complexes, intégrable par rapport à
la mesure de Lebesgue, sa transformée de Fourier est la fonction de dans
définie par
(2)
on écrit aussi parfois
au lieu de .
Noter que
, de sorte que dans () et
() les intégrales sont bien définies. Si est une fonction
positive, Lebesgue-intégrable, on a
si
.
Proposition a) La transformée de Fourier d'une mesure finie (resp. d'une fonction
Lebesgue-intégrable) est une fonction continue.
b) Les applications
et
sont
linéaires, et on a
(3)
c) La transformée de Fourier du produit de convolution de deux mesures finies (resp. d'une mesure
finie et d'une fonction intégrable, resp. de deux fonctions intégrables)
est le produit des deux transformées de Fourier.
(b) est évident (pour () on utilise
, et 2-()). Pour (a) et (c), il suffit par
linéarité de considérer le cas des mesures.
Soit une mesure finie. Posons aussi
. Pour chaque
la fonction
est
continue, et
: la proposition 3- entraine alors
immédiatement (a).
Soit
, où et sont deux mesures
finies. On sait que est aussi une mesure finie (cf. l'exemple 2 avant la
proposition 4-), et 4-() et 4-() impliquent
de sorte que
.
Lorsque est une mesure finie et est une fonction intégrable,
quitte à prendre les parties positives et négatives des parties
réelle et imaginaire de , et à utiliser la linéarité de la
transformée de Fourier et du produit de convolution, on peut supposer que , et on
sait alors que
est la densité de la mesure
; d'après ce qu'on vient de voir, la transformée de Fourier de
est alors le produit
. Le résultat concernant
le produit de convolution de deux fonctions se montre de la même manière.
Par exemple, la transformée de Fourier de la mesure de Dirac
en
est
(en particulier,
(4)
Cela est cohérent avec l'assertion (c) ci-dessus et le fait que
et
. Des changements de variables
élémentaires dans () permettent de montrer les propriétés
suivantes, où est une fonction complexe Lebesgue-intégrable et où
désigne le complexe conjugué de :
(5)
(6)
Exemple: les séries de Fourier. On sait qu'une série de Fourier
est une série de terme général
indicée par
.
Lorsque les sont réels et que
, la somme
d'une telle série apparait donc comme la transformée de Fourier de la mesure suivante sur
: