Nous interrompons un moment l'exposé de la théorie de la transformée de Fourier pour
donner les résultats de ``densité'' qui nous seront nécessaires. Le
premier est un résultat général de théorie de la mesure.
Proposition Soit
un espace mesurable muni d'une mesure
finie et
une algèbre de parties de , engendrant la tribu
.
Pour tout
il existe une suite
d'éléments de
telle que
quand
.
Notons
la classe des
pour lesquels il existe une suite
telle que
. Soit
avec
,
et deux suites
associées comme ci-dessus. Comme
est une
algèbre on a
, tandis que
. On a donc
de sorte que
. De même si
est une suite
croissante, de limite , pour tout
il existe tel que
; pour tout il existe
tel que
. Si alors
, on a
et
, donc
donc
quand
. Par suite
est un
-système, et le lemme 4- implique que
: on a donc le
résultat cherché.
Le résultat suivant est plus qu'il nous faut pour la suite:
Proposition Soit une mesure de Radon sur (= une
mesure telle que
pour tout compact ). Si
et
si
, il existe une suite
de
fonctions indéfiniment différentiables à supports compacts qui converge
vers dans .
Quitte à approcher séparément et , on peut supposer que
. Si les vérifient
et croisssent vers ,
on a
par 5-(): il suffit donc d'approcher dans
chaque fonction par une suite de fonctions
à supports
compacts, donc on peut en fait supposer étagée. Si
, par linéarité il suffit d'approcher chaque
indicatrice : par suite on peut supposer que avec
(puisque ).
Soit les ensembles
. Si
il existe tel que
puisque
. Par ailleurs notons
la
classe des réunions finies de rectangles deux-à-deux disjoints de la forme
: il est très simple de vérifier que
est une
algèbre, et on sait que la tribu engendrée est
. Le lemme
précédent appliqué à la restriction de à (qui est une
mesure finie puisque est de Radon) permet de trouver
tel que
, et on peut bien-sûr supposer que
. On a
, et
. Comme
est
arbitraire, il suffit donc de montrer le résultat pour chaque ci-dessus,
ce qui revient à supposer que
et
pour un . Enfin,
par linéarité une nouvelle fois, il suffit de considérer le cas où
est un rectangle borné: il est alors très facile de construire des
fonctions indéfiniment différentiables telles que
pour un fixé, et que
pour tout . En
appliquant une nouvelle fois 5-() on obtient que
,
et la preuve est achevée.
Remarque: Ce résultat est faux lorsque : on ne peut pas
approcher une indicatrice d'ensemble par une suite de fonctions continues, au
sens de
: en effet, la convergence dans
est
``presque'' la convergence uniforme. De la même manière, les quelques
résultats qui suivent sont faux pour .
Voici maintenant quelques applications.
Lemme Soit une fonction de
,
pour un
, et notons
la ``translatée'' de définie par
(pour
). Alors
est une fonction continue de
dans .
Par un changement de variable évident, il est clair que est
dans et
. Soit
. La proposition
précédente nous donne une fonction continue à support compact telle
que
. On a
On a
. Par
ailleurs si est fixé on a
pour tout
lorsque puisque et continue, et est majoré par
pour une certaine constante et un compact convenable lorsque
décrit la boule de centre et de rayon : cette fonction étant
dans , 5-() implique
si est
assez proche de . Par suite
pour assez
proche de , et on a le résultat puisque
est arbitraire.
Corollaire Si est dans
pour un
, les fonctions
convergent vers
dans lorsque
.
Lorsque il n'y a pas de problème pour définir le produit de
convolution puisque les deux fonctions sont intégrables. Si , la
fonction
est dans (mais pas forcément dans ),
et il est facile de vérifier que si , alors
est dans
: d'après Hölder, le produit de ces deux fonctions est dans , de
sorte qu'on peut définir le produit de convolution par la formule
4-().
Comme
, on a
en appliquant Hölder aux fonctions
et
,
pour et relativement à la probabilité de densité
par rapport à
. D'après Fubini, il vient alors
par le changement de variables . Il suffit alors d'appliquer le lemme
précédent, le théorème de Lebesgue et le fait que
pour obtenir que l'expression ci-dessus tend vers 0 si
.
Terminons par une application aux transformées de Fourier. La transformée de Fourier
d'une
fonction intégrable n'est pas nécessairement intégrable, mais on a:
Proposition Si est Lebesgue-intégrable sur , alors
quand
.
On pose
. () implique
, qui tend vers 0 d'après le corollaire ci-dessus.
La proposition entraîne que
, de sorte que () implique
. Si
on choisit alors de sorte que
, puis de sorte que
.
Si on a alors
, et comme
est arbitraire on
a le résultat.