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Quelques résultats de densité

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Quelques résultats de densité

Nous interrompons un moment l'exposé de la théorie de la transformée de Fourier pour donner les résultats de ``densité'' qui nous seront nécessaires. Le premier est un résultat général de théorie de la mesure.

Proposition Soit $(E,\hbox{$\cal E$})$ un espace mesurable muni d'une mesure finie $\mu$ et $\hbox{$\cal G$}$ une algèbre de parties de , engendrant la tribu $\hbox{$\cal E$}$ . Pour tout $A\in\hbox{$\cal E$}$ il existe une suite $(A_n)_{n\geq1}$ d'éléments de $\hbox{$\cal G$}$ telle que $\mu(A\Delta A_n)\to0$ quand $n\to\infty$ .

Notons $\hbox{$\cal D$}$ la classe des $A\in\hbox{$\cal E$}$ pour lesquels il existe une suite $A_n\in\hbox{$\cal G$}$ telle que $\mu(A\Delta A_n)\to0$ . Soit $A,B\in\hbox{$\cal D$}$ avec $A\subset B$ , et deux suites $A_n,B_n\in\hbox{$\cal G$}$ associées comme ci-dessus. Comme $\hbox{$\cal G$}$ est une algèbre on a $C_n=B_n\cap(A_n)^c\in\hbox{$\cal G$}$ , tandis que $(B\backslash A)\Delta C_n \subset(A\Delta A_n)\cup(B\Delta B_n)$ . On a donc

$\displaystyle \mu((B\backslash A)\Delta C_n)~\leq~\mu(A\Delta A_n)+\mu(B\Delta B_n)~ \to~0,$

de sorte que $B\backslash A\in\hbox{$\cal D$}$ . De même si $A_n\in\hbox{$\cal D$}$ est une suite croissante, de limite

, pour tout $m\in I\!\!N^*$ il existe

tel que $\mu(A\backslash A_n)\leq1/m$ ; pour tout $i\leq n$ il existe $C_i\in\hbox{$\cal G$}$ tel que $\mu(A_i\Delta C_i)\leq 1/nm$ . Si alors $B_m=\cup_{i=1}^nC_i$ , on a $B_m\in\hbox{$\cal G$}$ et $A\Delta B_m\subset (A\backslash A_n)\cup(\cup_{i=1}^nA_i\Delta C_i)$ , donc

$\displaystyle \mu(A\Delta B_m)~\leq~\mu(A\backslash A_n)+\sum_{i=1}^n\mu(A_i\Delta C_i) ~\leq~{1\over m}+{n\over nm}~=~{2\over m},$

donc $\mu(A\Delta B_m)\to0$ quand $m\to\infty$ . Par suite $\hbox{$\cal D$}$ est un $\lambda$ -système, et le lemme 4-

implique que $\hbox{$\cal D$}=\hbox{$\cal E$}$ : on a donc le résultat cherché. $~\Box$

Le résultat suivant est plus qu'il nous faut pour la suite:

Proposition Soit $\mu$ une mesure de Radon sur $I\!\!R^d$ (= une mesure telle que $\mu(K)<\infty$ pour tout compact ). Si $p\in[1,\infty[$ et si $f\in L^p=L^p(I\!\!R^d,\hbox{$\cal R$}^d,\mu)$ , il existe une suite $(f_n)_{n\geq1}$ de fonctions indéfiniment différentiables à supports compacts qui converge vers dans .

Quitte à approcher séparément et , on peut supposer que $f\geq0$ . Si les vérifient $0\leq g_n\leq f$ et croisssent vers , on a $g_n\to^{L^p}f$ par 5-(): il suffit donc d'approcher dans chaque fonction par une suite de fonctions $C^{\infty}$ à supports compacts, donc on peut en fait supposer étagée. Si $f=\sum_{j=1}^ka_j1_{A_j}$ , par linéarité il suffit d'approcher chaque indicatrice $1_{A_j}$ : par suite on peut supposer que avec $\mu(A)<\infty$ (puisque $f\in L^p$ ).

Soit les ensembles . Si $\varepsilon >0$ il existe tel que $\mu(A\cap(E_m)^c)\leq\varepsilon$ puisque $\mu(A)<\infty$ . Par ailleurs notons $\hbox{$\cal G$}$ la classe des réunions finies de rectangles deux-à-deux disjoints de la forme $\prod_{j=1}^d]a_j,b_j]$ : il est très simple de vérifier que $\hbox{$\cal G$}$ est une algèbre, et on sait que la tribu engendrée est $\hbox{$\cal R$}^d$ . Le lemme précédent appliqué à la restriction de $\mu$ à (qui est une mesure finie puisque $\mu$ est de Radon) permet de trouver $B\in\hbox{$\cal G$}$ tel que $\mu(E_m\cap(A\Delta B))\leq\varepsilon$ , et on peut bien-sûr supposer que $B\subset E_m$ . On a $\vert\vert 1_A-1_B\vert\vert _p=\mu(A\Delta B)^{1/p}$ , et $\mu(A\Delta B)\leq\mu(A\cap(E_m)^c)+\mu(E_m\cap(A\Delta B))\leq2\varepsilon$ . Comme $\varepsilon$ est arbitraire, il suffit donc de montrer le résultat pour chaque ci-dessus, ce qui revient à supposer que $A\in\hbox{$\cal G$}$ et $A\subset E_m$ pour un . Enfin, par linéarité une nouvelle fois, il suffit de considérer le cas où est un rectangle borné: il est alors très facile de construire des fonctions indéfiniment différentiables telles que $0\leq f_n\leq 1_{E_m}$ pour un fixé, et que $f_n(x)\to1_A(x)$ pour tout . En appliquant une nouvelle fois 5-() on obtient que $f_n\to^{L^p}1_A$ , et la preuve est achevée. $~\Box$

Remarque: Ce résultat est faux lorsque $p=\infty$ : on ne peut pas approcher une indicatrice d'ensemble par une suite de fonctions continues, au sens de $L^{\infty}$ : en effet, la convergence dans $L^{\infty}$ est ``presque'' la convergence uniforme. De la même manière, les quelques résultats qui suivent sont faux pour $p=\infty$ .

Voici maintenant quelques applications.

Lemme Soit une fonction de $L^p=L^p(I\!\!R^d,\hbox{$\cal R$}^d,\lambda _d)$ , pour un $p\in[1,\infty[$ , et notons $\tau_tf$ la ``translatée'' de définie par $\tau_tf(x)=f(x+t)$ (pour $t\in I\!\!R^d$ ). Alors $t\mapsto\tau_tf$ est une fonction continue de $I\!\!R^d$ dans .

Par un changement de variable évident, il est clair que $\tau_tf$ est dans et $\vert\vert\tau_tf\vert\vert _p=\vert\vert f\vert\vert _p$ . Soit $\varepsilon >0$ . La proposition précédente nous donne une fonction continue à support compact telle que $\vert\vert f-g\vert\vert _p\leq\varepsilon$ . On a

$\displaystyle \vert\vert\tau_tf-\tau_sf\vert\vert _p~\leq~\vert\vert\tau_tf-\ta... ...\vert\vert\tau_tg-\tau_sg\vert\vert _p +\vert\vert\tau_sg-\tau_sf\vert\vert _p.$

On a $\vert\vert\tau_tf-\tau_tg\vert\vert _p=\vert\vert\tau_sg-\tau_sg\vert\vert _p=\vert\vert f-g\vert\vert _p\leq\varepsilon$ . Par ailleurs si

est fixé on a $\tau_tg(x)\to\tau_sg(x)$ pour tout

lorsque $t\to s$ puisque

et continue, et $\vert\tau_tg\vert$ est majoré par

pour une certaine constante

et un compact convenable

lorsque

décrit la boule de centre

et de rayon

: cette fonction étant dans

, 5-(

) implique $\vert\vert\tau_tg-\tau_sg\vert\vert _p\leq\varepsilon$ si

est assez proche de

. Par suite $\vert\vert\tau_tf-\tau_sf\vert\vert _p\leq3\varepsilon$ pour

assez proche de

, et on a le résultat puisque $\varepsilon$ est arbitraire. $~\Box$

Corollaire Si est dans $L^p=L^p(I\!\!R^d,\hbox{$\cal R$}^d,\lambda _d)$ pour un $p\in[1,\infty[$ , les fonctions $g_{d,\sigma }\star f$ convergent vers dans lorsque $\sigma \to0$ .

Lorsque il n'y a pas de problème pour définir le produit de convolution puisque les deux fonctions sont intégrables. Si , la fonction $y\mapsto f(x-y)$ est dans (mais pas forcément dans ), et il est facile de vérifier que si , alors $g_{d,\sigma }$ est dans : d'après Hölder, le produit de ces deux fonctions est dans , de sorte qu'on peut définir le produit de convolution par la formule 4-().

Comme $\int g_{d,\sigma }(x)dx=1$ , on a

$\displaystyle \vert\vert g_{d,\sigma }\star f-f\vert\vert _p^p~=~\int dx\left\vert\int g_{d,\sigma }(y)(f(x-y)-f(x))dy\right\vert^p$

$\displaystyle \hskip 1cm \leq~\int dx\left(\int g_{d,\sigma }(y)\vert f(x-y)-f(x)\vert^pdy\right)$

en appliquant Hölder aux fonctions $y\mapsto f(x-y)-f(x)$ et $y\mapsto 1$ , pour

et relativement à la probabilité de densité $g_{d,\sigma }$ par rapport à $\lambda _d$ . D'après Fubini, il vient alors

$\displaystyle \vert\vert g_{d,\sigma }\star f-f\vert\vert _p^p~\leq~\int g_{d,\... ...\vert\vert^p_pdy~=~ \int g_{d,1}(z)\vert\vert\tau_{-z\sigma }-f\vert\vert^p_pdz$

par le changement de variables $y=z\sigma$ . Il suffit alors d'appliquer le lemme précédent, le théorème de Lebesgue et le fait que $\vert\vert\tau_tf-f\vert\vert _p\leq 2\vert\vert f\vert\vert _p$ pour obtenir que l'expression ci-dessus tend vers 0 si $\sigma \to0$ . $~\Box$

Terminons par une application aux transformées de Fourier. La transformée de Fourier
d'une fonction intégrable n'est pas nécessairement intégrable, mais on a:

Proposition Si est Lebesgue-intégrable sur $I\!\!R^d$ , alors $\hat{f}(u)\to0$ quand $\vert u\vert\to\infty$ .

On pose $h_{\sigma }=g_{d,\sigma }\star f-f$ . () implique $\vert\hat{h}_{\sigma }\vert \leq \vert\vert h_{\sigma }\vert\vert _1$ , qui tend vers 0 d'après le corollaire ci-dessus. La proposition entraîne que $\hat{h}_{\sigma }=(\hat{g}_{d,\sigma }-1) \hat{f}$ , de sorte que () implique $\hat{f}(u)=\hat{h}_{\sigma }(u) /(e^{-2\pi^2\sigma ^2\vert u\vert^2}-1)$ . Si $\varepsilon >0$ on choisit alors $\sigma$ de sorte que $\vert\vert h_{\sigma }\vert\vert _1\leq\varepsilon$ , puis de sorte que $1-e^{-2\pi^2\sigma ^2A^2}\geq1/2$ . Si $\vert u\vert>A$ on a alors $\vert\hat{f}(u)\vert\leq2\varepsilon$ , et comme $\varepsilon$ est arbitraire on a le résultat. $~\Box$