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Quelques résultats de densité

Nous interrompons un moment l'exposé de la théorie de la transformée de Fourier pour donner les résultats de ``densité'' qui nous seront nécessaires. Le premier est un résultat général de théorie de la mesure.

Proposition Soit $ (E,\hbox{$\cal E$})$ un espace mesurable muni d'une mesure finie $ \mu$ et $ \hbox{$\cal G$}$ une algèbre de parties de $ E$, engendrant la tribu $ \hbox{$\cal E$}$. Pour tout $ A\in\hbox{$\cal E$}$ il existe une suite $ (A_n)_{n\geq1}$ d'éléments de $ \hbox{$\cal G$}$ telle que $ \mu(A\Delta A_n)\to0$ quand $ n\to\infty$.

Notons $ \hbox{$\cal D$}$ la classe des $ A\in\hbox{$\cal E$}$ pour lesquels il existe une suite $ A_n\in\hbox{$\cal G$}$ telle que $ \mu(A\Delta A_n)\to0$. Soit $ A,B\in\hbox{$\cal D$}$ avec $ A\subset B$, et deux suites $ A_n,B_n\in\hbox{$\cal G$}$ associées comme ci-dessus. Comme $ \hbox{$\cal G$}$ est une algèbre on a $ C_n=B_n\cap(A_n)^c\in\hbox{$\cal G$}$, tandis que $ (B\backslash A)\Delta C_n
\subset(A\Delta A_n)\cup(B\Delta B_n)$. On a donc

$\displaystyle \mu((B\backslash A)\Delta C_n)~\leq~\mu(A\Delta A_n)+\mu(B\Delta B_n)~
\to~0,$

de sorte que $ B\backslash A\in\hbox{$\cal D$}$. De même si $ A_n\in\hbox{$\cal D$}$ est une suite croissante, de limite $ A$, pour tout $ m\in I\!\!N^*$ il existe $ n$ tel que $ \mu(A\backslash A_n)\leq1/m$; pour tout $ i\leq n$ il existe $ C_i\in\hbox{$\cal G$}$ tel que $ \mu(A_i\Delta C_i)\leq 1/nm$. Si alors $ B_m=\cup_{i=1}^nC_i$, on a $ B_m\in\hbox{$\cal G$}$ et $ A\Delta B_m\subset (A\backslash A_n)\cup(\cup_{i=1}^nA_i\Delta C_i)$, donc

$\displaystyle \mu(A\Delta B_m)~\leq~\mu(A\backslash A_n)+\sum_{i=1}^n\mu(A_i\Delta C_i)
~\leq~{1\over m}+{n\over nm}~=~{2\over m},$

donc $ \mu(A\Delta B_m)\to0$ quand $ m\to\infty$. Par suite $ \hbox{$\cal D$}$ est un $ \lambda $-système, et le lemme 4-[*] implique que $ \hbox{$\cal D$}=\hbox{$\cal E$}$: on a donc le résultat cherché. $ ~\Box$

Le résultat suivant est plus qu'il nous faut pour la suite:

Proposition Soit $ \mu$ une mesure de Radon sur $ I\!\!R^d$ (= une mesure telle que $ \mu(K)<\infty$ pour tout compact $ K$). Si $ p\in[1,\infty[$ et si $ f\in L^p=L^p(I\!\!R^d,\hbox{$\cal R$}^d,\mu)$, il existe une suite $ (f_n)_{n\geq1}$ de fonctions indéfiniment différentiables à supports compacts qui converge vers $ f$ dans $ L^p$.

Quitte à approcher séparément $ f^+$ et $ f^-$, on peut supposer que $ f\geq0$. Si les $ (g_n)$ vérifient $ 0\leq g_n\leq f$ et croisssent vers $ f$, on a $ g_n\to^{L^p}f$ par 5-([*]): il suffit donc d'approcher dans $ L^p$ chaque fonction $ g_n$ par une suite de fonctions $ C^{\infty}$ à supports compacts, donc on peut en fait supposer $ f$ étagée. Si $ f=\sum_{j=1}^ka_j1_{A_j}$, par linéarité il suffit d'approcher chaque indicatrice $ 1_{A_j}$: par suite on peut supposer que $ f=1_A$ avec $ \mu(A)<\infty$ (puisque $ f\in L^p$).

Soit les ensembles $ E_n=]-n,n]^d$. Si $ \varepsilon >0$ il existe $ m$ tel que $ \mu(A\cap(E_m)^c)\leq\varepsilon $ puisque $ \mu(A)<\infty$. Par ailleurs notons $ \hbox{$\cal G$}$ la classe des réunions finies de rectangles deux-à-deux disjoints de la forme $ \prod_{j=1}^d]a_j,b_j]$: il est très simple de vérifier que $ \hbox{$\cal G$}$ est une algèbre, et on sait que la tribu engendrée est $ \hbox{$\cal R$}^d$. Le lemme précédent appliqué à la restriction de $ \mu$ à $ E_m$ (qui est une mesure finie puisque $ \mu$ est de Radon) permet de trouver $ B\in\hbox{$\cal G$}$ tel que $ \mu(E_m\cap(A\Delta B))\leq\varepsilon $, et on peut bien-sûr supposer que $ B\subset
E_m$. On a $ \vert\vert 1_A-1_B\vert\vert _p=\mu(A\Delta B)^{1/p}$, et $ \mu(A\Delta
B)\leq\mu(A\cap(E_m)^c)+\mu(E_m\cap(A\Delta B))\leq2\varepsilon $. Comme $ \varepsilon $ est arbitraire, il suffit donc de montrer le résultat pour chaque $ B$ ci-dessus, ce qui revient à supposer que $ A\in\hbox{$\cal G$}$ et $ A\subset E_m$ pour un $ m$. Enfin, par linéarité une nouvelle fois, il suffit de considérer le cas où $ A$ est un rectangle borné: il est alors très facile de construire des fonctions indéfiniment différentiables $ f_n$ telles que $ 0\leq f_n\leq
1_{E_m}$ pour un $ m$ fixé, et que $ f_n(x)\to1_A(x)$ pour tout $ x$. En appliquant une nouvelle fois 5-([*]) on obtient que $ f_n\to^{L^p}1_A$, et la preuve est achevée. $ ~\Box$

Remarque: Ce résultat est faux lorsque $ p=\infty$: on ne peut pas approcher une indicatrice d'ensemble par une suite de fonctions continues, au sens de $ L^{\infty}$: en effet, la convergence dans $ L^{\infty}$ est ``presque'' la convergence uniforme. De la même manière, les quelques résultats qui suivent sont faux pour $ p=\infty$.

Voici maintenant quelques applications.

Lemme Soit $ f$ une fonction de $ L^p=L^p(I\!\!R^d,\hbox{$\cal R$}^d,\lambda _d)$, pour un $ p\in[1,\infty[$, et notons $ \tau_tf$ la ``translatée'' de $ f$ définie par $ \tau_tf(x)=f(x+t)$ (pour $ t\in I\!\!R^d$). Alors $ t\mapsto\tau_tf$ est une fonction continue de $ I\!\!R^d$ dans $ L^p$.

Par un changement de variable évident, il est clair que $ \tau_tf$ est dans $ L^p$ et $ \vert\vert\tau_tf\vert\vert _p=\vert\vert f\vert\vert _p$. Soit $ \varepsilon >0$. La proposition précédente nous donne une fonction continue à support compact $ g$ telle que $ \vert\vert f-g\vert\vert _p\leq\varepsilon $. On a

$\displaystyle \vert\vert\tau_tf-\tau_sf\vert\vert _p~\leq~\vert\vert\tau_tf-\ta...
...\vert\vert\tau_tg-\tau_sg\vert\vert _p
+\vert\vert\tau_sg-\tau_sf\vert\vert _p.$

On a $ \vert\vert\tau_tf-\tau_tg\vert\vert _p=\vert\vert\tau_sg-\tau_sg\vert\vert _p=\vert\vert f-g\vert\vert _p\leq\varepsilon $. Par ailleurs si $ s$ est fixé on a $ \tau_tg(x)\to\tau_sg(x)$ pour tout $ x$ lorsque $ t\to s$ puisque $ g$ et continue, et $ \vert\tau_tg\vert$ est majoré par $ C1_K$ pour une certaine constante $ C$ et un compact convenable $ K$ lorsque $ t$ décrit la boule de centre $ s$ et de rayon $ 1$: cette fonction étant dans $ L^p$, 5-([*]) implique $ \vert\vert\tau_tg-\tau_sg\vert\vert _p\leq\varepsilon $ si $ t$ est assez proche de $ s$. Par suite $ \vert\vert\tau_tf-\tau_sf\vert\vert _p\leq3\varepsilon $ pour $ t$ assez proche de $ s$, et on a le résultat puisque $ \varepsilon $ est arbitraire. $ ~\Box$

Corollaire Si $ f$ est dans $ L^p=L^p(I\!\!R^d,\hbox{$\cal R$}^d,\lambda _d)$ pour un $ p\in[1,\infty[$, les fonctions $ g_{d,\sigma }\star f$ convergent vers $ f$ dans $ L^p$ lorsque $ \sigma \to0$.

Lorsque $ p=1$ il n'y a pas de problème pour définir le produit de convolution puisque les deux fonctions sont intégrables. Si $ p>1$, la fonction $ y\mapsto f(x-y)$ est dans $ L^p$ (mais pas forcément dans $ L^1$), et il est facile de vérifier que si $ 1/p+1/q=1$, alors $ g_{d,\sigma }$ est dans $ L^q$: d'après Hölder, le produit de ces deux fonctions est dans $ L^1$, de sorte qu'on peut définir le produit de convolution par la formule 4-([*]).

Comme $ \int g_{d,\sigma }(x)dx=1$, on a

$\displaystyle \vert\vert g_{d,\sigma }\star f-f\vert\vert _p^p~=~\int dx\left\vert\int
g_{d,\sigma }(y)(f(x-y)-f(x))dy\right\vert^p $

$\displaystyle \hskip 1cm \leq~\int dx\left(\int g_{d,\sigma }(y)\vert f(x-y)-f(x)\vert^pdy\right)$

en appliquant Hölder aux fonctions $ y\mapsto f(x-y)-f(x)$ et $ y\mapsto 1$, pour $ 1/p+1/q=1$ et relativement à la probabilité de densité $ g_{d,\sigma }$ par rapport à $ \lambda _d$. D'après Fubini, il vient alors

$\displaystyle \vert\vert g_{d,\sigma }\star f-f\vert\vert _p^p~\leq~\int g_{d,\...
...\vert\vert^p_pdy~=~
\int g_{d,1}(z)\vert\vert\tau_{-z\sigma }-f\vert\vert^p_pdz$

par le changement de variables $ y=z\sigma $. Il suffit alors d'appliquer le lemme précédent, le théorème de Lebesgue et le fait que $ \vert\vert\tau_tf-f\vert\vert _p\leq
2\vert\vert f\vert\vert _p$ pour obtenir que l'expression ci-dessus tend vers 0 si $ \sigma \to0$. $ ~\Box$

Terminons par une application aux transformées de Fourier. La transformée de Fourier 
d'une fonction intégrable n'est pas nécessairement intégrable, mais on a:

Proposition Si $ f$ est Lebesgue-intégrable sur $ I\!\!R^d$, alors $ \hat{f}(u)\to0$ quand $ \vert u\vert\to\infty$.

On pose $ h_{\sigma }=g_{d,\sigma }\star f-f$. ([*]) implique $ \vert\hat{h}_{\sigma }\vert
\leq \vert\vert h_{\sigma }\vert\vert _1$, qui tend vers 0 d'après le corollaire ci-dessus. La proposition [*] entraîne que $ \hat{h}_{\sigma }=(\hat{g}_{d,\sigma }-1)
\hat{f}$, de sorte que ([*]) implique $ \hat{f}(u)=\hat{h}_{\sigma }(u)
/(e^{-2\pi^2\sigma ^2\vert u\vert^2}-1)$. Si $ \varepsilon >0$ on choisit alors $ \sigma $ de sorte que $ \vert\vert h_{\sigma }\vert\vert _1\leq\varepsilon $, puis $ A$ de sorte que $ 1-e^{-2\pi^2\sigma ^2A^2}\geq1/2$. Si $ \vert u\vert>A$ on a alors $ \vert\hat{f}(u)\vert\leq2\varepsilon $, et comme $ \varepsilon $ est arbitraire on a le résultat. $ ~\Box$


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Jean_Jacod
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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