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La transformée de Fourier dans $ L^2$

Nous allons voir qu'on peut aussi définir la transformée de Fourier des fonctions sur $ I\!\!R^d$ qui sont de carré intégrable (et pas nécessairement intégrables). Dans ce cas, la formule ([*]) peut ne pas avoir de sens, et il faut opérer autrement.

Dans ce paragraphe, nous notons $ L^2_{C\!\!\!\!C}$ l'ensemble des (classes d'équivalence pour l'égalité presque partout des) fonctions complexes sur $ I\!\!R^d$, dont le carré du module $ \vert f\vert^2$ est Lebesgue-intégrable. C'est évidemment un espace vectoriel sur le corps $ C\!\!\!\!C$, sur lequel on définit une norme $ \vert\vert f\vert\vert _2=\sqrt{\int\vert f(x)\vert^2dx}$. De manière plus précise, cette norme est associée au produit scalaire - complexe - défini par $ \langle f,g\rangle=\int f(x)\overline{g(x)}dx$, et on $ \vert\vert f\vert\vert^2_2=\langle
f,f\rangle$: tout marche comme dans le cas réel, sauf que la symétrie du produit scalaire est remplacée ici par la propriété $ \langle
f,g\rangle=\overline{\langle g,f\rangle}$. On démontre exactement comme au chapitre précédent que $ L^2_{C\!\!\!\!C}$ est un espace de Hilbert (sur $ C\!\!\!\!C$).

Commençons par un lemme, où on désigne par $ C_{int}$ l'ensemble des fonctions complexes sur $ I\!\!R^d$ qui sont continues, bornées et Lebesgue-intégrables. Une telle fonction $ f$ vérifie $ \vert f\vert^2\leq C\vert f\vert$ si $ C=\sup\vert f(x)\vert$, de sorte qu'elle est aussi de carré intégrable.

Lemme Si $ f\in C_{int}$, alors $ \hat{f}\in
L^2_{C\!\!\!\!C}$ et $ \vert\vert f\vert\vert _2=\vert\vert\hat{f}\vert\vert _2$.

Exactement comme dans la preuve du théorème [*], le lemme [*] est valable avec $ \mu$ remplacée par la fonction intégrable $ f$, à condition que dans la partie (b) on lise $ \int f(x)h(x)dx$ au lieu de $ \int hd\mu$. Il vient alors, puisque $ \vert f\vert^2=f\overline{f}$ et $ f$ est continue bornée:

\begin{displaymath}\begin{array}{lll}
\vert\vert f\vert\vert^2_2~=~\int f(x)\ove...
...^2\sigma ^2\vert u\vert^2}
\overline{\hat{f}(u)}du,
\end{array}\end{displaymath}

où la seconde égalité vient du théorème de Fubini (qu'on peut appliquer puisque $ \hat{f}$ est bornée et $ f$ est intégrable). L'intégrand de la dernière expression ci-dessus est réel positif et croît vers $ \vert\hat{f}(u)\vert^2$ lorsque $ \sigma \downarrow0$: le résultat provient alors du théorème de limite monotone. $ ~\Box$

Rappelons qu'on note aussi $ \hbox{$\cal F$}f=\hat{f}$. Ce qui précède signifie qu'on peut considérer $ \hbox{$\cal F$}$ comme une application du sous-espace $ C_{int}$ de $ L^2_{C\!\!\!\!C}$ dans $ L^2_{C\!\!\!\!C}$, qui est clairement linéaire, et que cette application préserve la norme $ \vert\vert.\vert\vert _2$.

Théorème L'application $ \hbox{$\cal F$}$ de $ C_{int}$ dans $ L^2_{C\!\!\!\!C}$ définie ci-dessus admet une extension unique, notée encore $ \hbox{$\cal F$}$, de $ L^2_{C\!\!\!\!C}$ dans lui-même, qui est un isomorphisme d'espaces de Hilbert (= elle est linéaire bijective et préserve la norme), et qui coïncide avec la transformée de Fourier du ([*]) pour les fonctions de $ L^2_{C\!\!\!\!C}$ qui sont Lebesgue-intégrables. De plus, l'inverse de $ \hbox{$\cal F$}$ sur $ L^2_{C\!\!\!\!C}$ est donnée par

$\displaystyle (\hbox{$\cal F$}^{-1}f)(u)~=~(\hbox{$\cal F$}f)(-u).$ (15)


Si $ f\in L^2_{C\!\!\!\!C}$, la fonction $ \hbox{$\cal F$}f$ est encore appelée la transformée de Fourier de $ f$, et on l'écrit même parfois sous la forme ([*]) bien que l'intégrale n'ait pas de sens en général. Noter toutefois que dans ce cas, $ \hbox{$\cal F$}f$ est la limite dans $ I\!\!L^2$ des fonctions $ u\mapsto \int
_{\{x:\vert x\vert\leq A\}}e^{-2i\pi\langle u,x\rangle}f(x)dx$ lorsque $ A\to\infty$. Remarquer aussi que ([*]) est l'analogue de ([*]). Enfin, $ \hbox{$\cal F$}^{-1}$ est appelée la transformée de Fourier inverse.

a) l'existence et l'unicité de l'extension vont provenir de ce que $ C_{int}$ est dense dans $ L^2_{C\!\!\!\!C}$, ce qui signifie que toute fonction $ f$ de $ L^2_{C\!\!\!\!C}$ est limite pour la norme $ \vert\vert.\vert\vert _2$ d'une suite $ (f_n)_{n\geq1}$ de fonctions de $ C_{int}$: cette propriété découle immédiatement de la proposition [*] appliquée aux parties réelle et imaginaire de $ f$, compte tenu du fait qu'une fonction indéfiniment dérivable à support compact est dans $ C_{int}$.

Soit en effet $ f$ et $ f_n$ comme ci-dessus. La suite $ (f_n)$ est de Cauchy dans $ L^2_{C\!\!\!\!C}$, donc il en est de même de la suite $ (\hbox{$\cal F$}f_n)$ par le lemme [*], donc cette dernière suite converge vers une limite notée $ \hbox{$\cal F$}f$. Si $ (f'_n)$ est une autre suite de $ C_{int}$ telle que $ \vert\vert f'_n-f\vert\vert _2\to0$, on a aussi $ \vert\vert f'_n-f_n\vert\vert _2\to0$, donc $ \vert\vert\hbox{$\cal F$}f'_n-\hbox{$\cal F$}
f_n\vert\vert _2\to0$: en d'autres termes, $ \hbox{$\cal F$}f$ ne dépend pas de la suite $ (f_n)$ choisie, et cela définit une extension de $ \hbox{$\cal F$}$ à $ L^2_{C\!\!\!\!C}$ qui est évidemment linéaire, et qui préserve la norme. Si $ \hbox{$\cal F$}'$ était une autre extension, on aurait aussi $ \vert\vert\hbox{$\cal F$}f_n-\hbox{$\cal F$}'f\vert\vert _2=\vert\vert f_n-f\vert\vert _2\to0$, de sorte que nécessairement $ \hbox{$\cal F$}'f=\hbox{$\cal F$}f$: donc l'extension est unique.

b) Supposons maintenant que $ f\in L^2_{C\!\!\!\!C}$ soit en plus Lebesgue-intégrable. Nous pouvons définir sa transformée de Fourier $ \hat{f}$ par ([*]), et aussi la fonction $ \hbox{$\cal F$}f$ comme ci-dessus. En examinant la preuve de la proposition [*] on voit facilement qu'on peut trouver une suite $ (f_n)$ de fonctions indéfiniment dérivables à support compact, convergeant vers $ f$ dans $ L^2_{C\!\!\!\!C}$ et dans $ L^1_{C\!\!\!\!C}$ simultanément ( $ L^1_{C\!\!\!\!C}$ désigne évidemment l'espace des fonctions complexes Lebesgue-intégrable, avec la norme $ \vert\vert f\vert\vert _1=\int\vert f(x)\vert dx$). D'une part la proposition [*] implique que $ \vert\hat{f}_n-\hat{f}\vert\leq\vert\vert f_n-f\vert\vert _1\to0$; d'autre part on a vu ci-dessus que $ \hat{f}_n=\hbox{$\cal F$}f_n\to\hbox{$\cal F$}f$ dans $ L^2_{C\!\!\!\!C}$. On en déduit que $ \hbox{$\cal F$}f=\hat{f}$.

c) Soit $ G$ l'image de $ L^2_{C\!\!\!\!C}$ par $ \hbox{$\cal F$}$. Nous allons montrer maintenant que $ G=L^2_{C\!\!\!\!C}$: cela achèvera de prouver que $ \hbox{$\cal F$}$ est un isomorphisme.

D'abord, comme $ \hbox{$\cal F$}$ est linéaire, $ G$ est un espace vectoriel, et on va voir qu'il est fermé: si $ f_n\in L^2_{C\!\!\!\!C}$ et si $ \hbox{$\cal F$}f_n\to g$, on a $ \vert\vert f_n-f_m\vert\vert _2=\vert\vert\hbox{$\cal F$}f_n-\hbox{$\cal F$}f_n\vert\vert _2\to0$ qund $ n,m\to\infty$, donc la suite $ (f_n)$ converge vers une limite $ f$ dans $ L^2_{C\!\!\!\!C}$; en vertu de ce qui précède, on a donc $ g=\hbox{$\cal F$}f$, donc $ g\in G$ et $ G$ est fermé.

Comme $ G$ est un sous-espace vectoriel fermé de $ L^2_{C\!\!\!\!C}$, pour montrer que $ G=L^2_{C\!\!\!\!C}$ il suffit en vertu de la proposition 5-[*] de montrer que si $ f\in L^2_{C\!\!\!\!C}$ est orthogonal à $ G$, alors $ f=0$. Mais on a vu que $ g_{d,\sigma }$ est la transformée de Fourier d'une fonction de $ C_{int}$ (cf. ([*]) et ([*])), donc $ g_{d,\sigma }\in G$. Il en est de même de ses translatées $ \tau_ag_{d,\sigma }$ (car on a $ \tau_a(\hbox{$\cal F$}h)=\hbox{$\cal F$}h'$ si $ h'(x)=h(x)e^{-2i\pi\langle
a,x\rangle}$). Donc si $ f\in L^2_{C\!\!\!\!C}$ est orthogonale à $ G$ on a

$\displaystyle (g_{d,\sigma }\star \overline{f})(x)~=~\int g_{d,\sigma }(y-x)\overline{f(y)}dy
~=~\langle\tau_{-x}g_{d,\sigma },f\rangle~=~0,$

où ci-dessus $ \langle .,.\rangle$ désigne le produit scalaire dans $ L^2_{C\!\!\!\!C}$. Ceci étant vrai pour tout $ \sigma >0$, le corollaire [*] implique que $ f=0$.

d) Il reste à prouver ([*]). Lorsque $ f\in L^2_{C\!\!\!\!C}\cap
L^1_{C\!\!\!\!C}$, cette formule n'est autre que ([*]). Comme $ \hbox{$\cal F$}$ et $ \hbox{$\cal F$}^{-1}$ préservent la norme $ \vert\vert.\vert\vert _2$, et comme $ L^2_{C\!\!\!\!C}\cap
L^1_{C\!\!\!\!C}$ est dense dans $ L^2_{C\!\!\!\!C}$, le résultat est alors évident. $ ~\Box$


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Jean_Jacod
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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