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La transformée de Fourier dans

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La transformée de Fourier dans

Nous allons voir qu'on peut aussi définir la transformée de Fourier des fonctions sur $I\!\!R^d$ qui sont de carré intégrable (et pas nécessairement intégrables). Dans ce cas, la formule () peut ne pas avoir de sens, et il faut opérer autrement.

Dans ce paragraphe, nous notons $L^2_{C\!\!\!\!C}$ l'ensemble des (classes d'équivalence pour l'égalité presque partout des) fonctions complexes sur $I\!\!R^d$ , dont le carré du module $\vert f\vert^2$ est Lebesgue-intégrable. C'est évidemment un espace vectoriel sur le corps $C\!\!\!\!C$ , sur lequel on définit une norme $\vert\vert f\vert\vert _2=\sqrt{\int\vert f(x)\vert^2dx}$ . De manière plus précise, cette norme est associée au produit scalaire - complexe - défini par $\langle f,g\rangle=\int f(x)\overline{g(x)}dx$ , et on $\vert\vert f\vert\vert^2_2=\langle f,f\rangle$ : tout marche comme dans le cas réel, sauf que la symétrie du produit scalaire est remplacée ici par la propriété $\langle f,g\rangle=\overline{\langle g,f\rangle}$ . On démontre exactement comme au chapitre précédent que $L^2_{C\!\!\!\!C}$ est un espace de Hilbert (sur $C\!\!\!\!C$ ).

Commençons par un lemme, où on désigne par $C_{int}$ l'ensemble des fonctions complexes sur $I\!\!R^d$ qui sont continues, bornées et Lebesgue-intégrables. Une telle fonction vérifie $\vert f\vert^2\leq C\vert f\vert$ si $C=\sup\vert f(x)\vert$ , de sorte qu'elle est aussi de carré intégrable.

Lemme Si $f\in C_{int}$ , alors $\hat{f}\in L^2_{C\!\!\!\!C}$ et $\vert\vert f\vert\vert _2=\vert\vert\hat{f}\vert\vert _2$ .

Exactement comme dans la preuve du théorème , le lemme est valable avec $\mu$ remplacée par la fonction intégrable , à condition que dans la partie (b) on lise $\int f(x)h(x)dx$ au lieu de $\int hd\mu$ . Il vient alors, puisque $\vert f\vert^2=f\overline{f}$ et est continue bornée:

$\begin{displaymath}\begin{array}{lll} \vert\vert f\vert\vert^2_2~=~\int f(x)\ove... ...^2\sigma ^2\vert u\vert^2} \overline{\hat{f}(u)}du, \end{array}\end{displaymath}$

où la seconde égalité vient du théorème de Fubini (qu'on peut appliquer puisque $\hat{f}$ est bornée et

est intégrable). L'intégrand de la dernière expression ci-dessus est réel positif et croît vers $\vert\hat{f}(u)\vert^2$ lorsque $\sigma \downarrow0$ : le résultat provient alors du théorème de limite monotone. $~\Box$

Rappelons qu'on note aussi $\hbox{$\cal F$}f=\hat{f}$ . Ce qui précède signifie qu'on peut considérer $\hbox{$\cal F$}$ comme une application du sous-espace $C_{int}$ de $L^2_{C\!\!\!\!C}$ dans $L^2_{C\!\!\!\!C}$ , qui est clairement linéaire, et que cette application préserve la norme $\vert\vert.\vert\vert _2$ .

Théorème L'application $\hbox{$\cal F$}$ de $C_{int}$ dans $L^2_{C\!\!\!\!C}$ définie ci-dessus admet une extension unique, notée encore $\hbox{$\cal F$}$ , de $L^2_{C\!\!\!\!C}$ dans lui-même, qui est un isomorphisme d'espaces de Hilbert (= elle est linéaire bijective et préserve la norme), et qui coïncide avec la transformée de Fourier du () pour les fonctions de $L^2_{C\!\!\!\!C}$ qui sont Lebesgue-intégrables. De plus, l'inverse de $\hbox{$\cal F$}$ sur $L^2_{C\!\!\!\!C}$ est donnée par

$\displaystyle (\hbox{$\cal F$}^{-1}f)(u)~=~(\hbox{$\cal F$}f)(-u).$

(15)

Si $f\in L^2_{C\!\!\!\!C}$ , la fonction $\hbox{$\cal F$}f$ est encore appelée la transformée de Fourier de , et on l'écrit même parfois sous la forme () bien que l'intégrale n'ait pas de sens en général. Noter toutefois que dans ce cas, $\hbox{$\cal F$}f$ est la limite dans $I\!\!L^2$ des fonctions $u\mapsto \int _{\{x:\vert x\vert\leq A\}}e^{-2i\pi\langle u,x\rangle}f(x)dx$ lorsque $A\to\infty$ . Remarquer aussi que () est l'analogue de (). Enfin, $\hbox{$\cal F$}^{-1}$ est appelée la transformée de Fourier inverse.

a) l'existence et l'unicité de l'extension vont provenir de ce que $C_{int}$ est dense dans $L^2_{C\!\!\!\!C}$ , ce qui signifie que toute fonction de $L^2_{C\!\!\!\!C}$ est limite pour la norme $\vert\vert.\vert\vert _2$ d'une suite $(f_n)_{n\geq1}$ de fonctions de $C_{int}$ : cette propriété découle immédiatement de la proposition appliquée aux parties réelle et imaginaire de , compte tenu du fait qu'une fonction indéfiniment dérivable à support compact est dans $C_{int}$ .

Soit en effet et comme ci-dessus. La suite est de Cauchy dans $L^2_{C\!\!\!\!C}$ , donc il en est de même de la suite $(\hbox{$\cal F$}f_n)$ par le lemme , donc cette dernière suite converge vers une limite notée $\hbox{$\cal F$}f$ . Si est une autre suite de $C_{int}$ telle que $\vert\vert f'_n-f\vert\vert _2\to0$ , on a aussi $\vert\vert f'_n-f_n\vert\vert _2\to0$ , donc $\vert\vert\hbox{$\cal F$}f'_n-\hbox{$\cal F$} f_n\vert\vert _2\to0$ : en d'autres termes, $\hbox{$\cal F$}f$ ne dépend pas de la suite choisie, et cela définit une extension de $\hbox{$\cal F$}$ à $L^2_{C\!\!\!\!C}$ qui est évidemment linéaire, et qui préserve la norme. Si $\hbox{$\cal F$}'$ était une autre extension, on aurait aussi $\vert\vert\hbox{$\cal F$}f_n-\hbox{$\cal F$}'f\vert\vert _2=\vert\vert f_n-f\vert\vert _2\to0$ , de sorte que nécessairement $\hbox{$\cal F$}'f=\hbox{$\cal F$}f$ : donc l'extension est unique.

b) Supposons maintenant que $f\in L^2_{C\!\!\!\!C}$ soit en plus Lebesgue-intégrable. Nous pouvons définir sa transformée de Fourier $\hat{f}$ par (), et aussi la fonction $\hbox{$\cal F$}f$ comme ci-dessus. En examinant la preuve de la proposition on voit facilement qu'on peut trouver une suite de fonctions indéfiniment dérivables à support compact, convergeant vers dans $L^2_{C\!\!\!\!C}$ et dans $L^1_{C\!\!\!\!C}$ simultanément ( $L^1_{C\!\!\!\!C}$ désigne évidemment l'espace des fonctions complexes Lebesgue-intégrable, avec la norme $\vert\vert f\vert\vert _1=\int\vert f(x)\vert dx$ ). D'une part la proposition implique que $\vert\hat{f}_n-\hat{f}\vert\leq\vert\vert f_n-f\vert\vert _1\to0$ ; d'autre part on a vu ci-dessus que $\hat{f}_n=\hbox{$\cal F$}f_n\to\hbox{$\cal F$}f$ dans $L^2_{C\!\!\!\!C}$ . On en déduit que $\hbox{$\cal F$}f=\hat{f}$ .

c) Soit l'image de $L^2_{C\!\!\!\!C}$ par $\hbox{$\cal F$}$ . Nous allons montrer maintenant que $G=L^2_{C\!\!\!\!C}$ : cela achèvera de prouver que $\hbox{$\cal F$}$ est un isomorphisme.

D'abord, comme $\hbox{$\cal F$}$ est linéaire, est un espace vectoriel, et on va voir qu'il est fermé: si $f_n\in L^2_{C\!\!\!\!C}$ et si $\hbox{$\cal F$}f_n\to g$ , on a $\vert\vert f_n-f_m\vert\vert _2=\vert\vert\hbox{$\cal F$}f_n-\hbox{$\cal F$}f_n\vert\vert _2\to0$ qund $n,m\to\infty$ , donc la suite converge vers une limite dans $L^2_{C\!\!\!\!C}$ ; en vertu de ce qui précède, on a donc $g=\hbox{$\cal F$}f$ , donc $g\in G$ et est fermé.

Comme est un sous-espace vectoriel fermé de $L^2_{C\!\!\!\!C}$ , pour montrer que $G=L^2_{C\!\!\!\!C}$ il suffit en vertu de la proposition 5- de montrer que si $f\in L^2_{C\!\!\!\!C}$ est orthogonal à , alors . Mais on a vu que $g_{d,\sigma }$ est la transformée de Fourier d'une fonction de $C_{int}$ (cf. () et ()), donc $g_{d,\sigma }\in G$ . Il en est de même de ses translatées $\tau_ag_{d,\sigma }$ (car on a $\tau_a(\hbox{$\cal F$}h)=\hbox{$\cal F$}h'$ si $h'(x)=h(x)e^{-2i\pi\langle a,x\rangle}$ ). Donc si $f\in L^2_{C\!\!\!\!C}$ est orthogonale à on a

$\displaystyle (g_{d,\sigma }\star \overline{f})(x)~=~\int g_{d,\sigma }(y-x)\overline{f(y)}dy ~=~\langle\tau_{-x}g_{d,\sigma },f\rangle~=~0,$

où ci-dessus $\langle .,.\rangle$ désigne le produit scalaire dans $L^2_{C\!\!\!\!C}$ . Ceci étant vrai pour tout $\sigma >0$ , le corollaire

implique que

d) Il reste à prouver (). Lorsque $f\in L^2_{C\!\!\!\!C}\cap L^1_{C\!\!\!\!C}$ , cette formule n'est autre que (). Comme $\hbox{$\cal F$}$ et $\hbox{$\cal F$}^{-1}$ préservent la norme $\vert\vert.\vert\vert _2$ , et comme $L^2_{C\!\!\!\!C}\cap L^1_{C\!\!\!\!C}$ est dense dans $L^2_{C\!\!\!\!C}$ , le résultat est alors évident. $~\Box$