Dans tout le chapitre, on se place sur un espace métrique (X,d) . désignera les éléments de la topologie sur X induite par d .
I désignera un ensemble quelconque (fini, dénombrable ou indénombrable).
Définition Soit
(X). On dira que
est un recouvrement ouvert de X si
et que
Remarque On parlera de recouvrement fini (resp. dénombrable, quelconque...) si I est fini (resp. dénombrable, quelconque...).
Définition On remarquera qu'un espace métrique est toujours séparé, c'est à dire que si x et y X, il existe toujours des ouverts et tel que
. (Il suffit de prendre des boules ouvertes d'un rayon suffisemment petit autour de x et de y).
Définition On dira que (X,d) est un espace métrique compact si il vérifie: De tout recouvrement ouvert de X, on peut extraire un recouvrement fini.(C.a.d si
alors il existe II de cardinal fini et tel que
On a la definition équivalente suivante:
Définition On dira que (X,d) est un espace topologique compact si il vérifie: De tout famille
de fermé vérifiant
, on peut extraire une sous famille finie d'intersection vide. (C.a.d que l'on peut trouver I de cardinal fini et tel que
Démonstration Soit
une suite de fermé d'intersection vide. Alors, on a
est donc un recouvrement ouvert de X . On peut alors en extraire un recouvrement fini. Soit donc II de cardinal fini tel que
En repassant au complémentaire, on trouve l'égalité voulue:
Corollaire Si
est une suite décroissante de fermés non vides de X compact alors
Démonstration Il suffit de prendre la contraposée de la proposition précédente et de l'adapter à notre cas de figure (I=IN): Si pour une famille
de fermé, on a pour toute partie fini I de IN:
(ce qui est vrai ici car
est décroissante et
ou i=sup
) alors on a
Exemple Les intervalles fermés et bornés de IRsont des espaces compacts pour la topologie définie par la valeur absolue.
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Emmanuel_Vieillard-Baron_pour_les.mathematiques
désignera les éléments de la topologie sur X induite par d 
(X). On dira que
et que 
X, il existe toujours des ouverts 
et 
tel que
. (Il suffit de prendre des boules ouvertes d'un rayon suffisemment petit autour de x et de y).
I de cardinal fini et tel que 
de fermé 
de cardinal fini et tel que 
est donc un recouvrement ouvert de X 
est une suite décroissante de fermés non vides de X compact alors 
de IN: 
) alors on a 
