Les-Mathematiques.net - Cours de mathématiques universitaires - Forum - Cours à télécharger

A lire
Deug/Prépa
Licence
Agrégation
A télécharger
Télécharger
176 personne(s) sur le site en ce moment
E. Cartan
A lire
Articles
Math/Infos
Récréation
A télécharger
Télécharger
Théorème de Cantor-Bernstein
Théo. Sylow
Théo. Ascoli
Théo. Baire
Loi forte grd nbre
Nains magiques
 
 
 
 
 
Sous espaces métrique compacts next up previous
suivant: Continuité et compacité monter: Espaces métriques compacts précédent: Suites dans un espace

Sous espaces métrique compacts

Définition On dit d'un sous ensemble de (X,$\cal{O} $) qu'il est compact s'il est compact pour la métrique induite de celle de X.
Remarque Afin de simplifier l'utilisation des sous espaces compacts, on donne la caractérisation suivante:
Proposition On a équivalence entre:
  • K est un sous espace compact de X.
  • Pour toute famille $(U_i)_{\scriptsize {i \in I}}$ d'ouverts de X tel que

    \begin{displaymath}K
\subset \displaystyle{\bigcup_{i _in I} U_i},\end{displaymath}

    il existe I$_0\subset I$ de cardinal fini tel que

    \begin{displaymath}K \subset \displaystyle{\bigcup_{i _in I_0} U_i}.\end{displaymath}

Démonstration Si $(U_i)_{\scriptsize {i \in I}}$ est une famille d'ouverts de X, alors $(U_i\cap K)_{\scriptsize {i \in I}}$ est une famille d'ouverts de K pour la métrique induite de X sur K. Si K est compact , et que $(U_i\cap K)_{\scriptsize {i \in I}}$ est un recouvrement ouvert de K, on peut en extraire un recouvrement fini et on aura nécessairement

\begin{displaymath}K \subset \displaystyle{\bigcup_{i \in I_0} U_i}\end{displaymath}

où I$_0$ désigne une sous partie finie de I. Réciproquement, si pour toute famille $(U_i)_{\scriptsize {i \in I}}$ vérifiant

\begin{displaymath}K
\subset \displaystyle{\bigcup_{i _in I} U_i},\end{displaymath}

on peut extaire une sous famille finie recouvrant K alors cela prouve que pour toute famille d'ouvert de K (pour la métrique induite de X sur K) et recouvrant K, on peut extraire une sous famille finie recouvrant K. K est donc compact pour la métrique induite.
Théorème Tout compact est fermé.
Démonstration Soit K un compact de X.(On peut avoir K=X).Montrons que K$^c$ est ouvert . Si K$^c=\emptyset$ alors la dém. est terminée. Sinon soit $x\in K^c$. Comme X est un espace séparé , pour tout y dans K, on peut trouver un ouvert $O_{x,y}$ contenant x et un ouvert $O_y$ contenant y tel que $O_{x,y}\cap O_y=\emptyset$. Mais on a l'inclusion

\begin{displaymath}K\subset \displaystyle{\bigcup_{y \in K} O_y}.\end{displaymath}

La famille $(O_y)_{\scriptsize {y \in K}}$ definit donc un recouvrement ouvert de K. De ce recouvrement, on peut extraire un recouvrement fini $(O_{y_i})_{\scriptsize {i \in 1..n}}$ . Posant

\begin{displaymath}O=\displaystyle{\bigcap_{i=1}^n O_{x,y_i}}\end{displaymath}

(qui est ouvert comme intersection finie d'ouverts ), on construit un ouvert de O contenant x et disjoint de K. On montre ainsi bien que K$^c$ est ouvert et donc que K est fermé .
Théorème Tout fermé dans un compact est compact.
Démonstration Soient F un fermé et K un compact de X contenant F. Soit aussi $(U_i)_{\scriptsize {i \in I}}$ une famille d'ouverts (ouverts pour la topologie de K) dont la réunion contient K. La famille $\lbrace F^c \rbrace \cup \lbrace U_n ; n\in {\rm I\!N }\rbrace$ est un recouvrement ouvert de K. On peut donc en extraire un recouvrement fini de K $(U_i)_{\scriptsize {i \in I_0}}$ ou I$_0$ est une partie finie de I . Mais alors

\begin{displaymath}F \subset \displaystyle{\bigcup_{i \in I_0} U_i},\end{displaymath}

et F est compact Cqfd.
Théorème Tout compact est borné .
Démonstration Supposons que K, compact de (X,d) ne soit pas borné . Soit $x_0$ un élément de K. Pour tout n $\in$ IN$^\ast$, il existe un élément $x_n$ de K appartenant à l'ensemble $B(x_0,n+1)$$\setminus$$B(x_0,n)$. La suite ainsi construite vérifie $\forall m,  n \in {\rm I\!N }  d(x_n,x_m)>1$ et ne peut avoir de suite extraite convergente atomamm15. Ceci rentre en contradiction avec le théorème de Bolzano-Weierstrass et prouve notre théorème
Proposition
  • Une réunion finie de sous espaces compacts est compacte.
  • Une intersection quelconque de sous espaces compacts est compacte.
$ $
Démonstration
  • Soit $(K_i)_{\scriptsize {i \in =1...n}}$ une famille finie de sous espaces compacts. Soit K la réunion des éléments de cette famille et $(U_j)_{\scriptsize {j \in J}}$ un recouvrement ouvert de K. Pour tout i=1...n, $(U_j\cap K_i)_{\scriptsize {j \in J}}$ est donc un recouvrement ouvert de K$_i$. Mais comme chaque K$_{i_0}$ est compact , pour tout $i_0$=1...n, on peut trouver un sous-ensemble fini J$_{i_0}$ de J tel que K$_{i_0}$ soit recouvert par la famille finie d'ouverts $(U_j\cap K_i)_{\scriptsize {j \in J_{i_0}}}$. Mais la famille $\lbrace U_j  ; j\in J_{i_0} ;i_0=1...n \rbrace$ est finie, extraite de la famille $(U_j)_{\scriptsize {j \in J}}$ et recouvre K. D'un recouvrement quelconque de K, on a extrait un recouvrement fini et on a ainsi bien montré que K est compact .
  • Soit $(K_i)_{\scriptsize {i \in \in I}}$ une famille finie de sous espaces compacts. Cette fois ci K désignera l'intersection des éléments de cette famille. Remarquons tout d'abord que K est fermé comme intersection quelconque de fermés . De plus, pour tout i dans I, K est inclus dans K$_i$. Donc K est un sous ensemble fermé d'un espace compact . C'est donc un espace compact.
$ $

next up previous
suivant: Continuité et compacité monter: Espaces métriques compacts précédent: Suites dans un espace
Emmanuel_Vieillard-Baron_pour_les.mathematiques
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
Adresse Mail:

Inscription
Désinscription

Actuellement 16057 abonnés
Qu'est-ce que c'est ?
Taper le mot à rechercher

Mode d'emploi
En vrac

Faites connaître Les-Mathematiques.net à un ami
Curiosités
Participer
Latex et autres....
Collaborateurs
Forum

Nous contacter

Le vote Linux

WWW IMS
Cut the knot
Mac Tutor History...
Number, constant,...
Plouffe's inverter
The Prime page