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Continuité et compacité

Théorème fondamental L'image d'un compact par une application continue est compacte.
Démonstration Soient K un compact de (X,d), (Y,$\delta$) un espace métrique et $f: X\longrightarrow Y$ une application continue de X dans Y. Soit $(U_i')_{\scriptsize {i \in I}}$ un recouvrement ouvert de $f(K)$ (pour la métrique induite sur $f(K)$ ...). On a donc

\begin{displaymath}f(K)=\displaystyle{\bigcup_{i \in I} U_i}.\end{displaymath}

Rappelons que si A et B désignent deux ensembles quelconques de Y alors

\begin{displaymath}f^{-1}(A \cup B)\subset f^{-1}(A) \cup f^{-1}(B).\end{displaymath}

Alors

\begin{displaymath}K \subset f^{-1}(f(K)) \subset \displaystyle{f^{-1}(\bigcup_{i \in I} U_i)\subset \bigcup_{i \in I}f^{-1}(U_i)}.\end{displaymath}

Mais $f$ étant continue, chaque $f^{-1}(U_i)\cap K$ est un ouvert de K (pour la métrique induite de X sur K).Comme K est compact , on peut extraire de la famille $(f^{-1}(U_i)\cap K)_{\scriptsize {i \in I}}$ un recouvrement fini de K $(f^{-1}(U_i)\cap K)_{\scriptsize {i \in I_0}}$ (où I$_0$ est une sous partie finie de I). On a alors, comme

\begin{displaymath}f(A)\cup f(B)=f(A\cup B),\end{displaymath}


\begin{displaymath}f(K)\subset \displaystyle{f(\bigcup_{i \in I_0}f^{-1}( U_i)\c...
...cup_{i \in I_0}f(f^{-1}( U_i))\subset \bigcup_{i \in I_0} U_i}.\end{displaymath}

Et donc, du recouvrement initial de $f(K)$, on a extrait un recouvrement fini, ce qui prouve que $f(K)$ est compact .
Théorème fondamental On considère (IR,| |). Soit $f: X\longrightarrow {\rm I\!R }$ une application continue de X dans IR. Et soit K un compact de X. Alors $f(K)$ est bornée dans IRet f atteind ses bornes sur K.
Démonstration Comme $f$ est continue et que K est compact,$f(K)$ est compact dans IR. Mais comme tout compact d'un espace métrique est un sous ensemble borné de cet espace métrique , on en déduit que $f(K)$ est borné dans IR. Mais tout ensemble borné de IRpossède une borne supérieur (et une borne inférieur). Notons $\alpha$ sa borne sup. On peut alors écrire: $\forall \varepsilon >0  \exists x \in K / \alpha-\varepsilon<f(x) \leq \alpha$. En remplaçant $\varepsilon$ par ${1 \over n}$ et ce pout tout n dans IN$^\ast$, on construit une suite $(x_n)_{\scriptsize {n \in {\rm I\!N }}}$ de K telle que: $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow \infty}f(x_n)=\alpha}$ . Mais la suite $(x_n)_{\scriptsize {n \in {\rm I\!N }}}$, étant incluse dans un compact, possède une suite extraite convergente $(x_{\psi(n)})_{\scriptsize {n \in {\rm I\!N }}}$ et si nous notons x sa limite, x est élément de K. Par continuité de $f$, on a $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow \infty}f(x_{\psi(n)})=\alpha}$= $f(\displaystyle{\lim_{n\rightarrow \infty} x_{\psi(n)}})=f(x)$ et donc f atteind bien son maximum en un point de K. On pourrait procéder de même avec la borne inférieure.
Théorème ( de Heine ) On considère encore deux espaces métriques (X,d) et (Y,$\delta$). On suppose aussi que X est compact. Soit $f: X\longrightarrow Y$ une application continue de X dans Y. Alors $f$ est uniformément continue .
Démonstration Soit $f$ comme dans l'énoncé du théorème Supposons que $f$ ne soit pas uniformément continue sur X (mais seulement continue ). Alors il existe $ \varepsilon>0 $ tel que $\forall \eta>0  \exists x, y \in X tq  d(x,y)<\eta  et  \delta(f(x),f(y))>\varepsilon $. En particulier, en remplaçant $\eta$ par ${1 \over n}$, on construit deux suites $(x_n)_{\scriptsize {n \in {\rm I\!N }}}$ et $(y_n)_{\scriptsize {n \in {\rm I\!N }}}$ telles que $\forall n \in {\rm I\!N }d(x_n,y_n)<{1 \over n}$ et $\delta(f(x_n),f(y_n))>\varepsilon $. Comme X est compact, $(x_n)_{\scriptsize {n \in {\rm I\!N }}}$ et $(y_n)_{\scriptsize {n \in {\rm I\!N }}}$ possèdent des sous suites convergentes $(x_{\phi(n)})_{\scriptsize {n \in {\rm I\!N }}}$ et $(y_{\psi(n)})_{\scriptsize {n \in {\rm I\!N }}}$ dans X . Soient x et y les limites respectives de ces deux sous suites. Par construction des suites $(x_n)_{\scriptsize {n \in {\rm I\!N }}}$ et $(y_n)_{\scriptsize {n \in {\rm I\!N }}}$, on peut affirmer que x=y. De plus , comme f est continue et que l'application $\delta: Y\times Y\longrightarrow {\rm I\!R }$ est continue, l'application $g: Y\times Y\longrightarrow {\rm I\!R }$ définie par $g(x,y)=\delta(f(x),f(y))$ est continue sur $Y\times Y$ muni de la topologie produit et on peut écrire :

\begin{displaymath}\displaystyle{\lim_{n \rightarrow \infty} \delta(f(x_{\phi(n)...
..._{\psi(n)}))=\delta(f(x),f(y))=\delta(f(x),f(x))=0>\varepsilon}\end{displaymath}

ce qui est en contradiction avec notre choix de $\varepsilon$. Donc, f est bien uniformément continue.

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©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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