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Notions de base

X désigne un ensemble.
Définition Une application $d:X^2 \longrightarrow {\rm I\!R }^+$ définit une métrique (ou une distance) sur X si elle vérifie:
  • $\forall x,y\in X   d(x,y)=d(y,x)$
  • $\forall x,y\in X  d(x,y)=0 \Leftrightarrow x=y$
  • L'inégalité triangulaire: $\forall x,y,z \in X  d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)$
Définition On appelle espace métrique tout couples (X,d) ou d est une métrique sur X.
Exemple (IR,| |), ( ${\rm I\!R }^n$,$\Vert \Vert _k$) où si $x,y\in X $ et si $(x_i)_{i=1..n},  (y_i)_{i=1..n} $désignent les coordonnées de x et y,

\begin{displaymath}\Vert x-y\Vert _k=\displaystyle {(\sum_{i=1}^{n}\vert x_i-y_i\vert^k})^{1/k}\end{displaymath}


Dans toute la suite on considère un espace métrique (X,d)
Définition Soit $x_0\in X$.
  • On appelle boule ouverte de centre $x_0$ et de rayon $r$ l'ensemble $\lbrace x \in X ; d(x,x_0)<r \rbrace$ que l'on note $B(x_0,r)$.
  • On appelle boule fermée de centre $x_0$ et de rayon $r$ l'ensemble $\lbrace x \in X ; d(x,x_0)\leq r \rbrace$ que l'on note $B_f(x,r)$ ou encore

    \begin{displaymath}\overline {B}(x_0)(r).\end{displaymath}



Emmanuel_Vieillard-Baron_pour_les.mathematiques
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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