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Sous ensembles ouverts et sous ensembles fermés

Définition Un sous ensemble U de X sera dit ouvert si il est vide ou si pour tout élément x de cet ensemble on peut trouver une boule ouverte de rayon suffisamment petit en sorte qu'elle soit toute entière contenue dans U.
Définition L'ensemble $\cal O$ de tous les ouverts de X s'appelle la topologie de X.
Proposition
  • X est ouvert.
  • Une réunion quelconque d'ensemble ouverts est ouverte
  • Une intersection finie d'ensembles ouverts est ouverte.
Démonstration Contentons nous de prouver le cas de l'intersection. Les deux autres cas sont absoluments triviaux.
Soit n $\in {\rm I\!N }$. On considère une famille de n ensembles ouverts $(U_i),i=1..n$. Soit x un point dans l'intersection de ces n ensembles. x est donc un point de chacun de ces ouverts. On peut alors trouver, pour tout i=1..n un réél $r_i$ tel que la boule de centre $r_i$ et de centre x soit incluse dans $U_i$. Posons $r=inf \lbrace r_i;i=1..n \rbrace$. La boule $B(x,r)$ est alors contenue dans chacun des $U_i$ et on a ainsi trouvé une boule ouverte centrée en x et contenue dans l'intersection des $U_i$. Cette intersection est donc bien ouverte.
Définition Soit V $\in$ $\cal{P(X)} $et x $\in$ X On dira que V est un voisinage de x si il existe un ouvert U de X tel que x soit élément de U et U soit inclus dans V .
On notera $\cal{V} $(x) l'ensemble de tous les voisinages de x.
Proposition
  • V$\in$$\cal{V} $(x) $\Leftrightarrow \exists$ $B(x,r)$$\subset$V.
  • Si O est ouvert dans X et si x $\in$ O alors O $\in$ $\cal{V} $(x)
$ $
Proposition Un sous ensemble O de X est ouvert si et seulement si il est voisinage de chacun de ses points.
Démonstration D'après la remarque précédente, le sens direct est évident. Montrons la réciproque. Supposons donc que O est un ensemble qui est voisinage de chacun de ses points. Pour tout x dans O, on peut donc trouver un sous ensemble O(x) de O tel que O(x) soit ouvert. On peut même écrire:

\begin{displaymath}O=\bigcup_{x \in O}O(x).\end{displaymath}

O est donc réunion quelconque d'ouverts . Ceci implique évidemment que O est ouvert.
Définition Le complémentaire d'un sous ensemble ouvert de X sera appelé sous ensemble fermé.
Proposition
  • X et $\emptyset$ sont fermés.
  • Une réunion finie de fermés est fermée.
  • Une intersection quelconque de fermés est fermée.
Démonstration C'est trivial, via les égalités suivantes (A et B désigne deux ensembles quelconques):

\begin{displaymath}(A \bigcup B)^c=A^c \bigcap B^c et (A \bigcap B)^c=A^c \bigcup B^c\end{displaymath}


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©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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