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Intérieur et adhérence d'un sous ensemble de X

Définition Soit U une partie de X. On appelera intérieur de U le plus grand ouvert de X contenu dans U. On notera

\begin{displaymath}\stackrel{\circ}{U}\end{displaymath}

l'intérieur de U.
Définition Soit U une partie de X. On appelera adhérence de U le plus petit fermé de X contenant U. On notera

\begin{displaymath}\overline{U}\end{displaymath}

l'adhérence de U.
Définition On dira qu'un élément x de X est adhérent au sous ensemble U ( ou est une valeur d'adhérence de U) de X si: $ \forall   V \in $ $\cal{V} $(x), V $\bigcap U \neq \emptyset $.
Proposition L'adhérence d'un sous ensemble de X est égale à l'ensemble de toute les valeurs d'adhérence de cet ensemble.
Démonstration Soit U un sous ensemble de X et notons $Adh(U)$ l'ensemble des valeurs d'adhérences de U.
Montrons tout d'abord que $Adh(U)$ est fermé . Soit x un élément de $Adh(U)^c$. Alors on peut trouver un voisinage V de x tel que ce voisinage n'intersecte pas $Adh(U)$. Ce voisinage est donc dans $Adh(U)^c$. x possède alors un voisinage tout entier dans $Adh(U)^c$ . Cela étant vrai pour tout élément x de $Adh(U)^c$ on en déduit que $Adh(U)^c$ est ouvert et donc que $Adh(U)$ est fermé . De plus, d'après la remarque précédente, U est tout entier dans $Adh(U)$. Donc, $Adh(U)$ est un fermé qui contient U. On peut alors affirmer que

\begin{displaymath}\overline{U} \subseteq Adh(U)\end{displaymath}

.
Montrons maintenant que si F est un fermé de X contenant U alors F contient nécessairement $Adh(U)$. Soit donc F un fermé de X contenant U et soit x un élément de $F^c$. Comme $F^c$ est ouvert, on peut trouver un voisinage V de x inclus dans $F^c$ .Ce voisinage et F sont donc disjoints. Il en est donc de même pour ce voisinage et $Adh(U)$. Donc x est élément de $Adh(U)^c$. On a alors montré que $F^c \subseteq Adh(U)^c$ et donc que $Adh(U) \subseteq F$.
Concluons: $Adh(U)$ est un fermé contenant U et tout fermé contenant U contient $Adh(U)$. Ce dernier est donc le plus petit fermé contenant U et est donc égale à $\overline {U}$.
Définition On dit qu'un espace métrique (X,d) est à base dénombrable de voisinage si pout tout point x de X, on a $\exists  $ $(V_n)_{\scriptsize {n \in {\rm I\!N }}}$ $\subset$$\cal{V} $ $(x) / \forall  V \in $$\cal{V} $ $(x)  \exists  n \in$ IN$ V_n \subset $$\cal{V} $et $\forall   i \in $IN $V_{i+1}\subset $$\cal{V} $$_i$.

En fait on a la propriété suivante:
Proposition Tout espace métrique est à base dénombrable de voisinages.
Démonstration Il suffit, en un point x de X, de considérer la famille $($B(x,$1\over n$) $)_{\scriptsize {n \in {\rm I\!N }}}$ pour s'en convaincre.
Ceci a pour conséquence, en particulier, la propriété suivante, qui est fondamentale:
Proposition Soit U un sous ensemble de X: on a équivalence entre:

  • x est un point adhérent à U.
  • Il existe une suite $(x_n)_{\scriptsize {n \in {\rm I\!N }}}$ d'éléments de U convergeant vers x.
Démonstration Nous choisissons ici de procéder à une démonstration ne prenant pas en compte la métrique de notre espace mais seulement le fait qu'il soit à base dénombrable de voisinages. C'est en effet cette caractéristique seule qui fait, ici, tout fonctionner.
Occupons nous tout d'abord du sens direct: Supposons que x soit valeur d'adhérence de U . Alors tout voisinages V de x rencontre U. En particulier, comme (X,d) est à base dénombrable de voisinages , pour tout n dans IN, il existe un voisinage de x: $V_n$ rencontrant U. Choisissons alors, pour n donné dans IN, $x_n$ dans $V_n \cap$U. On construit ainsi une suite $(x_n)_{\scriptsize {n \in {\rm I\!N }}}$. Pour vérifier que cette suite converge vers x, il suffit de remarquer que si V est élément de $\cal{V} $(x) alors il existe $n_0$ dans INtel $V_{n_0}$ soit inclus dans V , et donc $\lbrace x_{n} ;  n>n_0 \rbrace \subset V$ est élément de V. Dans tout V de $\cal{V} $(x), on trouve ainsi un élément de $(x_n)_{\scriptsize {n \in {\rm I\!N }}}$, ce qui nous prouve la convergence souhaitée.
Pour la réciproque, on choisit une suite $(x_n)_{\scriptsize {n \in {\rm I\!N }}}$ convergeant vers x. Pour tout V de $\cal{V} $(x), il existe n dans INtel que $x_n$ est élément de V$\cap$U. Ainsi pour tout V de $\cal{V} $(x), V$\cap$U est non vide. Ceci nous assure du fait que x est bien valeur d'adhérence de $(x_n)_{\scriptsize {n \in {\rm I\!N }}}$.
Voici maintenant un corollaire fondamentale car il donne un critère très pratique pour vérifier qu'un sous ensemble de X est fermé .
Corollaire Soient (X,d) un espace métrique et F un sous ensemble de X. On a équivalence entre:
  • F est fermé .
  • Pour toute suite $(x_n)_{\scriptsize {n \in {\rm I\!N }}}$ convergentes d'éléments de F ,on a $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow \infty}x_n=x}$ est élément de F.
Démonstration Supposons que F soit fermé. Alors tout point x de F est point adhérent à F . Donc, d'après la propriété précédente , on peut trouver une suite $(x_n)_{\scriptsize {n \in {\rm I\!N }}}$ d'éléments de F ayant x pour limite .
Réciproquement, supposons que toute suite convergente $(x_n)_{\scriptsize {n \in {\rm I\!N }}}$ d'éléments de F ait sa limite dans F . Prenons un point x de l'adhérence de F . Comme x est un point adhérent à F, on peut construire une suite $(x_n)_{\scriptsize {n \in {\rm I\!N }}}$ d'éléments de F qui converge vers x . Mais ceci implique, par hypothèse, que x est élément de F et donc que l'adhérence de F est incluse dans F. Ceci équivaut évidemment au fait que F est fermé .
Proposition fondamental L'ensemble des points d'accumulation d'une suite $(x_n)_{\scriptsize {n \in {\rm I\!N }}}$ est égale à

\begin{displaymath}\displaystyle{\bigcap_{i=0}^\infty \overline{\lbrace x_n;n>i\rbrace}}.\end{displaymath}

Démonstration Soit x un point d'accumulation de $(x_n)_{\scriptsize {n \in {\rm I\!N }}}$. Posons V$_i$= $\lbrace x_n;n>i\rbrace$. Soit n $\in {\rm I\!N }$. Montrons que x est dans l'adhérence de ${V_n}$. Soit r>0 et n$\in$IN. Supposons que $B(x,r)$$\cap$V$_n=\emptyset$. Posons r'=inf $\lbrace d(x,x_i) ; i=1..n ,r \rbrace$. Alors $B(x,r')$ est un voisinage de x qui n'intersecte pas $\lbrace x_n;n\in{\rm I\!N }\rbrace$. Donc x n'est pas point d'accumulation de $(x_n)_{\scriptsize {n \in {\rm I\!N }}}$, ce qui est absurde par hypothèse. Donc $B(x,r)$$\cap$V $_n\neq\emptyset$ et comme r est quelconque, x est dans l'adhérence de ${V_n}$. De plus, comme n aussi est quelconque dans IN,

\begin{displaymath}x \in \displaystyle{\bigcap_{i=0}^\infty \overline{V_i}}\end{displaymath}

.
Montrons maintenant que si

\begin{displaymath}x \in \displaystyle{\bigcap_{i=0}^\infty \overline{V_i}}\end{displaymath}

alors x est point d'accumulation de $(x_n)_{\scriptsize {n \in {\rm I\!N }}}$. Soit donc V un voisinage de x. On a, en particulier, V $\cap V_0 \neq \emptyset$ ce qui prouve immédiatement la propriété voulue.
Définition On dit qu'un sous ensemble A de X est dense dans (X,d) si son adhérence est égale à X.
Définition On dit qu'un sous ensemble A de X est borné si il existe r>0 et x$\in$ X tel que A$\subset$$B(x,r)$.
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©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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