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Intérieur et adhérence d'un sous ensemble de X

Définition Soit U une partie de X. On appelera intérieur de U le plus grand ouvert

de X contenu dans U. On notera

$\begin{displaymath}\stackrel{\circ}{U}\end{displaymath}$

l'intérieur de U.
Définition Soit U une partie de X. On appelera adhérence de U le plus petit fermé

de X contenant U. On notera

$\begin{displaymath}\overline{U}\end{displaymath}$

l'adhérence de U.
Définition On dira qu'un élément x de X est adhérent au sous ensemble U ( ou est une valeur d'adhérence de U) de X si: $\forall V \in$ $\cal{V}$ (x), V $\bigcap U \neq \emptyset$ .
Proposition L'adhérence d'un sous ensemble de X est égale à l'ensemble de toute les valeurs d'adhérence

de cet ensemble.
Démonstration Soit U un sous ensemble de X et notons

l'ensemble des valeurs d'adhérences

de U.
Montrons tout d'abord que

est fermé

. Soit x un élément de

. Alors on peut trouver un voisinage

V de x tel que ce voisinage n'intersecte pas

. Ce voisinage est donc dans

. x possède alors un voisinage tout entier dans

. Cela étant vrai pour tout élément x de

on en déduit que

est ouvert

et donc que

est fermé

. De plus, d'après la remarque précédente, U est tout entier dans

. Donc,

est un fermé qui contient U. On peut alors affirmer

que

$\begin{displaymath}\overline{U} \subseteq Adh(U)\end{displaymath}$

.
Montrons maintenant que si F est un fermé

de X contenant U alors F contient nécessairement

. Soit donc F un fermé de X contenant U et soit x un élément de

. Comme

est ouvert, on peut trouver un voisinage V de x inclus dans

.Ce voisinage et F sont donc disjoints. Il en est donc de même pour ce voisinage et

. Donc x est élément de

. On a alors montré que $F^c \subseteq Adh(U)^c$ et donc que $Adh(U) \subseteq F$ .
Concluons:

est un fermé contenant U et tout fermé contenant U contient

. Ce dernier est donc le plus petit fermé contenant U et est donc égale

à $\overline {U}$ .
Définition On dit qu'un espace métrique (X,d) est à base dénombrable de voisinage

si pout tout point x de X, on a $\exists$ $(V_n)_{\scriptsize {n \in {\rm I\!N }}}$ $\subset$ $\cal{V}$ $(x) / \forall V \in$ $\cal{V}$ $(x) \exists n \in$ IN $V_n \subset$ $\cal{V}$ et $\forall i \in$ IN $V_{i+1}\subset$ $\cal{V}$

En fait on a la propriété suivante:
Proposition Tout espace métrique est à base dénombrable de voisinages.
Démonstration Il suffit, en un point x de X, de considérer la famille B(x, $1\over n$ ) $)_{\scriptsize {n \in {\rm I\!N }}}$ pour s'en convaincre.
Ceci a pour conséquence, en particulier, la propriété suivante, qui est fondamentale:
Proposition Soit U un sous ensemble de X: on a équivalence entre:

x est un point adhérent à U.
Il existe une suite $(x_n)_{\scriptsize {n \in {\rm I\!N }}}$ d'éléments de U convergeant vers x.

Démonstration Nous choisissons ici de procéder à une démonstration ne prenant pas en compte la métrique de notre espace mais seulement le fait qu'il soit à base dénombrable de voisinages. C'est en effet cette caractéristique seule qui fait, ici, tout fonctionner.
Occupons nous tout d'abord du sens direct: Supposons que x soit valeur d'adhérence de U

. Alors tout voisinages V de x rencontre U. En particulier, comme (X,d)

est à base dénombrable de voisinages

, pour tout n dans IN, il existe un voisinage de x:

rencontrant U. Choisissons alors, pour n donné dans IN,

dans $V_n \cap$ U. On construit ainsi une suite $(x_n)_{\scriptsize {n \in {\rm I\!N }}}$ . Pour vérifier que cette suite converge vers x, il suffit de remarquer que si V est élément de $\cal{V}$ (x) alors il existe

dans INtel $V_{n_0}$ soit inclus dans V

, et donc $\lbrace x_{n} ; n>n_0 \rbrace \subset V$ est élément de V. Dans tout V de $\cal{V}$ (x), on trouve ainsi un élément de $(x_n)_{\scriptsize {n \in {\rm I\!N }}}$ , ce qui nous prouve la convergence souhaitée.
Pour la réciproque, on choisit une suite $(x_n)_{\scriptsize {n \in {\rm I\!N }}}$ convergeant

vers x. Pour tout V de $\cal{V}$ (x), il existe n dans INtel que

est élément de V $\cap$ U. Ainsi pour tout V de $\cal{V}$ (x), V $\cap$ U est non vide. Ceci nous assure du fait que x est bien valeur d'adhérence

de $(x_n)_{\scriptsize {n \in {\rm I\!N }}}$ .
Voici maintenant un corollaire fondamentale car il donne un critère très pratique pour vérifier qu'un sous ensemble de X est fermé

.
Corollaire Soient (X,d) un espace métrique et F un sous ensemble de X. On a équivalence entre:

F est fermé .
Pour toute suite $(x_n)_{\scriptsize {n \in {\rm I\!N }}}$ convergentes d'éléments de F ,on a $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow \infty}x_n=x}$ est élément de F.

Démonstration Supposons que F soit fermé. Alors tout point x de F est point adhérent à F

. Donc, d'après la propriété précédente

, on peut trouver une suite $(x_n)_{\scriptsize {n \in {\rm I\!N }}}$ d'éléments de F ayant x pour limite

.
Réciproquement, supposons que toute suite convergente $(x_n)_{\scriptsize {n \in {\rm I\!N }}}$ d'éléments de F ait sa limite dans F . Prenons un point x de l'adhérence de F

. Comme x est un point adhérent à F, on peut construire une suite $(x_n)_{\scriptsize {n \in {\rm I\!N }}}$ d'éléments de F qui converge vers x

. Mais ceci implique, par hypothèse, que x est élément de F et donc que l'adhérence de F est incluse dans F. Ceci équivaut évidemment au fait que F est fermé

.
Proposition fondamental L'ensemble des points d'accumulation

d'une suite $(x_n)_{\scriptsize {n \in {\rm I\!N }}}$ est égale à

$\begin{displaymath}\displaystyle{\bigcap_{i=0}^\infty \overline{\lbrace x_n;n>i\rbrace}}.\end{displaymath}$

Démonstration Soit x un point d'accumulation

de $(x_n)_{\scriptsize {n \in {\rm I\!N }}}$ . Posons V

= $\lbrace x_n;n>i\rbrace$ . Soit n $\in {\rm I\!N }$ . Montrons que x est dans l'adhérence

de ${V_n}$ . Soit r>0 et n $\in$ IN. Supposons que

$\cap$ V $_n=\emptyset$ . Posons r'=inf $\lbrace d(x,x_i) ; i=1..n ,r \rbrace$ . Alors

est un voisinage de x qui n'intersecte pas $\lbrace x_n;n\in{\rm I\!N }\rbrace$ . Donc x n'est pas point d'accumulation

de $(x_n)_{\scriptsize {n \in {\rm I\!N }}}$ , ce qui est absurde par hypothèse. Donc

$\cap$ V $_n\neq\emptyset$ et comme r est quelconque, x est dans l'adhérence de ${V_n}$ . De plus, comme n aussi est quelconque dans IN,

$\begin{displaymath}x \in \displaystyle{\bigcap_{i=0}^\infty \overline{V_i}}\end{displaymath}$

.
Montrons maintenant que si

$\begin{displaymath}x \in \displaystyle{\bigcap_{i=0}^\infty \overline{V_i}}\end{displaymath}$

alors x est point d'accumulation

de $(x_n)_{\scriptsize {n \in {\rm I\!N }}}$ . Soit donc V un voisinage de x. On a, en particulier, V $\cap V_0 \neq \emptyset$ ce qui prouve immédiatement la propriété voulue.
Définition On dit qu'un sous ensemble A de X est dense dans (X,d) si son adhérence

est égale à X.
Définition On dit qu'un sous ensemble A de X est borné si il existe r>0 et x $\in$ X tel que A $\subset$