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Application continue

Soient (X,d) et (Y,$\delta$) deux espaces métriques.
Définition On dit que $f: X\longrightarrow Y$ est continue en x$_0\in$X si:

\begin{displaymath}\forall \varepsilon > 0  \exists \eta > 0 ; \forall x\in X  d(x,x_0)<\eta \Rightarrow \delta(f(x),f(x_0))<\varepsilon\end{displaymath}

Autement dit:
Proposition On a équivalence entre:
  • f est continue en x
  • $\forall \varepsilon > 0  \exists \eta > 0 ; x \in $$B(x_0,\eta)$ $\Rightarrow f(x)\in$ $B(f(x_0),\varepsilon)$
  • $\forall \varepsilon > 0  \exists \eta > 0 ; $$B(x_0,\eta)$ $\subset f^{-1}$( $B(f(x_0),\varepsilon)$)
  • $\forall$ V $\in$ $\cal{V} $($f(x)$) $f^{-1}$(V)$\in$$\cal{V} $(x)
$ $
Encore un critère fondamentale pour la continuité en un point:
Théorème Soient $f: X\longrightarrow Y$ et $x \in$X. $f$ est continue en x si et seulement si $\forall$ $(x_n)_{\scriptsize {n \in {\rm I\!N }}}$ convergentes vers x, $\displaystyle {\lim_{n \rightarrow + \infty}}$f($x_n$)=f(x).
Démonstration Supposons que $f$ soit continue en x . Alors pour tout voisinage V de $f$(x), $f^{-1}$(V) est un voisinage de x. Mais il existe $N$ tel que si $n>N$ alors $x_n\in V$. Donc si $n>N$,$f(x_{n})$ est élément de V. Ceci prouve que $\displaystyle {\lim_{n \rightarrow + \infty}}$f($x_n$)=f(x).
Supposons maintenant que f ne soit pas continue en x. Ceci implique qu'il existerait un voisinage V de $f$(x) tel que $f^{-1}$(V) ne soit pas un voisinage de x. Donc U= $\lbrace y \in X ;f(y)\in$V$\rbrace$ ne contient pas d'ouvert contenant x. Autrement dit, prenant un système fondamentale de voisinage au point x : $(V_n)_{\scriptsize {n \in {\rm I\!N }}}$, pour tout n dans IN, on peut trouver un élément $x_n$ de $V_n$ tel que $x_n \in V_n \setminus$U. La suite $x_n$ ainsi construite converge vers x mais la suite $(f(x_n))_{\scriptsize {n \in {\rm I\!N }}}$ ne rencontre, par construction, jamais V et donc ne converge pas vers $f(x)$. Cqfd.
Définition On dit que $f: X\longrightarrow Y$ est continue sur X si elle est continue en chaque point de X.
La propriété qui suit est fondamentale car elle permet de comprendre la définition de la continuité en topologie générale .
Proposition $f: X\longrightarrow Y$ est continue sur X si et seulement si $\forall$ O ouvert de Y, $f^{-1}$(O) est un ouvert de X.
Démonstration Suppososons que $f$ soit continue sur X et soit O un ouvert de Y. Soient aussi y un point de O et x un point de $f^{-1}$(O) tel que $f$(x)=y. Comme O est ouvert, O est un voisinage de x et donc $f^{-1}$(O) est un voisinage de x. X étant ayant été choisie de façon quelconque dans $f^{-1}$(O), on en déduit que $f^{-1}$(O) est un voisinage de chacun de ses points et donc que $f^{-1}$(O) est ouvert dans X.
En utilisant à nouveau le fait qu'un ensemble ouvert est un voisinage de chacun de ses points , la réciproque est immédiate.
Définition Soient (X,d) et (Y,$\delta$) deux espaces métriques. On dit que $f: X\longrightarrow Y$ est uniformément continue sur X si:

\begin{displaymath}\forall \varepsilon>0 \exists \eta>0 \forall x,   y \in X d(x,y)<\eta \Rightarrow \delta(f(x),f(y))<\varepsilon.\end{displaymath}

Proposition Si f est uniformément continue sur X alors f est continue sur X.
Définition Soient (X,d) et (Y,$\delta$) deux espaces métriques. Soit k un réél strictement positif. On dit que $f: X\longrightarrow Y$ est Lipschitzienne de rapport k si $\forall x,y\in X  \delta(f(x),f(y))\leq d(x,y)$. Si de plus k<1, on dit que f est contractante.
Proposition Si $f$ est lipschitzienne, elle est uniformément continue.
Définition Soit $f: X\longrightarrow Y$. On dira que $f$ est une application ouverte si l'image par $f$ de tout ouvert de X est un ouvert de Y.
Proposition Si $f$ est bijective, on a équivalence entre:
  • $f$ est une application ouverte.
  • $f^{-1}$ est continue comme application de Y dans X.
$ $
Démonstration C'est évident!.
Proposition (Continuité de la composée de deux applications continues) Soient (X,d), (Y,$\delta$) et (Z,$\Delta$) des espaces métriques. Si $f: X\longrightarrow Y$ est continue sur X et que $g: Y\longrightarrow Z$ est continue sur Y alors $g\circ f: X\longrightarrow Z$ est continue sur X.
Démonstration Soit O un ouvert de Z. Comme $g$ est continue, $g^{-1}(O)$ est un ouvert de Y . Mais comme f est continue, $f^{-1}(g^{-1}(O))$ est un ouvert de X . Ce qui prouve que, pour O ouvert quelconque de Z, $(g\circ f)^{-1}(O)$ est un ouvert de X, et que $g\circ f$ est continue sur X .

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©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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