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Métriques équivalentes

Définition On dit que deux métriques d et $\Delta$ sur X sont équivalentes si il existe deux rééls strictements positifs $\alpha$ et $\beta$ tel que:

\begin{displaymath}\forall x,y \in X \alpha d(x,y)\leq\delta(x,y)\leq \beta d(x,y)\end{displaymath}

Remarque La première inégalité n'est rien d'autre que la traduction du fait que l'aplication identique $Id: (X,d)\longrightarrow (X,\delta)$ est continue . Ceci implique que la réciproque, par l'application identique, d'un ouvert de (X,$\delta$) est un ouvert de (X,d) . Autrement dit, tout ouvert de (X,$\delta$) est un ouvert de (X,d). La topologie definie pas $\delta$ est ``incluse'' dans celle définie par d (les ``'' parce que en fait on dit qu'elle est ``moins fine que'').
De même, en examinant la seconde inégalité, on observe que la topologie definit par d est moins fine que celle definie par $\delta$.
En conclusion, si deux métriques sont équivalentes, elles définissent la même topologie. (Cependant, cette notion est plus forte que celle de ``topologiquement équivalent''. En particulier, et c'est fondamental, si une suite de Cauchy converge sur X, elle convergera pour tout autre métrique équivalente. Par contre, si une suite de Cauchy est convergente pour une topologie donnée, elle ne convergera pas nécessairement pour une topologie équivalente. Autrement dit, la complétude est une notion ``métrique'' et pas ``topologique''.)
Ceci implique aussi que l'application identique $Id: (X,d)\longrightarrow (X,\delta)$ est un homéomorphisme . Mais cette notion est étudiée dans le chapitre de topologie générale .

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Emmanuel_Vieillard-Baron_pour_les.mathematiques
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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