Dans tout ce chapitre (X,d) et (Y,d') désignent des espaces métriques .
Définition On dira que l'espace métrique (X,d) est connexe s'il vérifie l'une des conditions équivalentes suivantes.
Si X est réunion de deux ouverts disjoints alors l'un de ces deux ouverts est vide et l'autre égale à X.
Si X est réunion de deux fermés disjoints alors l'un de ces deux fermés est vide et l'autre égale à X.
Si l'on considère
muni de la topologie discrète et
une application continue , alors est constante sur X.
Les seuls ensembles à la fois ouverts et fermés de X sont X lui même et l'ensemble vide.
Démonstration est évident par passage au complémentaire.
: Soit un application continue de X dans
. Alors
représente une partition de E en deux ouverts (ou deux fermés) de E. Par conséquent, l'un de ces deux ouverts est vide et l'autre égale à X tout entier, ce qui implique bien que est constante sur X.
: Soient et deux ouverts de X qui définissent une partition de X. Soit aussi
définie par
et
. est continue et donc constante sur X. Donc l'un des deux ouverts est vide et l'autre égale à X tout entier.Cqfd
: Soit U un sous ensemble à la fois ouvert et fermé de X. Alors U est, lui aussi, un sous ensemble ouvert et fermé de X. Mais U et U définissent une partition de X en deux ouverts. X étant connexe U est ou vide ou égale à X tout entier.
: Supposons que U et V définissent une partition ouverte de X. Le complémentaire de U est alors égale à V et réciproquement V=U. U étant ouvert , V est alors fermé . De même U est aussi fermé. Mais X ne possède pas de sous ensemble à la fois ouvert et fermé autre que l'ensemble vide et X. Donc l'un des deux, U ou V est vide l'autre égale à X, ce qui nous donne le premier point.
Définition On dira qu'un sous ensemble U de X est un sous espace connexe de X ( ou un connexe de X ) si U est connexe pour la métrique induite de celle de X.
Exemple Un intervalle de IRest connexe dans IR(muni de sa topologie canonique). Les seuls sous ensembles connexes de IRsont d'ailleurs les intervalles.
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Emmanuel_Vieillard-Baron_pour_les.mathematiques
muni de la topologie discrète et
une application continue 
est constante sur X.
est évident par passage au complémentaire.
: Soit 
: Soient 
et 
deux ouverts de X qui définissent une partition de X. Soit aussi
et
. 
: Soit U un sous ensemble à la fois ouvert et fermé de X. Alors U
est, lui aussi, un sous ensemble ouvert et fermé de X. Mais U et U
: Supposons que U et V définissent une partition ouverte de X. Le complémentaire de U est alors égale à V et réciproquement V
