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Application continue sur un connexe

Théorème L'image d'un connexe par une application continue est un sous ensemble connexe de l'espace image de cette application.
Démonstration On supposose ici que (X,d) est un espace métrique connexe et soit $f: X\longrightarrow Y$ une application continue de X dans Y. Montrons que $f(X)$ est un connexe de Y. Supposons donc qu'il existe une partition $\lbrace U_1;U_2 \rbrace $ de $f(X)$ en deux ouverts. Posons $V_1=f^{-1}(U_1)$ et $V_2=f^{-1}(U_2)$. Les deux ouverts $U_1$ et $U_2$ sont des éléments de la topologie induite sur $f(X)$ et sont donc de la forme $U_1=f(X)\cap O_1$ et $U_2=f(X)\cap O_2$$O_1$ et $O_2$ sont des ouverts de Y. De plus, pour i=1,2, $f^{-1}(U_i)=f^{-1}(O_i)=V_i$. Comme $f$ est continue, on en déduit que les sous ensembles $V_1$ et $V_2$ sont des sous ensembles ouverts dans X. De plus, par construction, leur réunion recouvre X et leur intersection est vide. $\lbrace V_1;V_2 \rbrace $ est donc une partition de X en deux ouverts. Comme X est connexe, l'un de ces deux ouverts est vide et l'autre égale à X tout entier. Mais ceci implique que l'image par $f$ de chacun de ces deux ouverts est, respectivement vide et égale à $f(X)$ tout entier et donc que l'un des nos deux sous ensemble $U_1;U_2$ de $f(X)$ est vide et l'autre égale à $f(X)$. $f(X)$ est alors bien connexe.
Théorème des valeurs intermédiaires Si une application $f$ est définie et continue sur un intervalle ]a,b[ de IR(où a et b sont des rééls quelconques pouvant être égales à respectivement $-\infty$ et $+\infty$) , si de plus a' et b' sont des éléments de ]a,b[ tel que a'<b' alors pour tout $C\in [f(a'),f(b')]$, il existe $c\in[a',b']$ tel que $f(c)=C$.
Démonstration L'image d'un connexe par une application continue est connexe. Or, les intervalles de IRsont les sous ensembles connexes de IR. On en déduit donc que l'image de [a',b'] par f est un intervalle de IR. Tout élément de ce dernier possèdant un antécédent dans [a',b'], Le théorème est démontré.

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©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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