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Théorème du point fixe

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Théorème du point fixe

Soient (X,d) un espace métrique. On s'intéresse dans cette partie à une application $f: X\longrightarrow X$ .
Définition On dit que x $\in$ X est un point fixe de si

.
Définition Soient (X,d) et (Y, $\delta$ ) deux espaces métriques. Soit k un réél strictement positif. On dit que $f: X\longrightarrow Y$ est lipschitzienne de rapport k si $\forall x,y\in X \delta(f(x),f(y))\leq kd(x,y)$ . Si de plus k<1, on dit que f est contractante.
Remarque Si

est lipschitzienne, elle est continue

.
Théorème (du point fixe) Si (X,d) est complet et que

est contractante alors

possède un point fixe dans X. De plus, ce point fixe est unique.
Démonstration Soit x

un élément de X. Posons, pour tout n dans IN,

. On a donc, pour tout n $\in$ IN $x_{n+1}=f(x_n)$ . Supposons que cette suite converge

vers un élément x de X. On a alors
$\displaystyle{\lim_{n\rightarrow \infty}x_{n+1}=x}$ = $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow \infty}f(x_n)=f(\lim_{n \rightarrow \infty}{x_n})}$ =f(x)

et donc x est un point fixe de

.(la troisième égalité provient de la continuité de f

). Il s'agit donc de montrer que cette suite est convergente, ou encore, comme X est complet, qu'elle est de Cauchy.
Mais pour tout m,n dans IN, on a, grâce à l'inégalité triangulaire

$\begin{displaymath}d(x_n,x_{n+m})=d(f^n(x_0),f^{n+m}(x_0)) \leq d(f^n(x_0),f^{n+1}(x_0))+...+d(f^{n+m-1}(x_0),f^{n+m}(x_0))\end{displaymath}$

Comme f est contractante, $\forall i \in {\rm I\!N } d(f^{n+i}(x_0),f^{n+i+1}(x_0)) \neq k^{n+i}d(x_0,f(x_0))$ .
On a alors

$\begin{displaymath}d(x_n,x_{n+m})\leq k^{n}d(x_0,f(x_0))+...k^{n+m-1}d(x_0,f(x_0))=k^n(1+k+...+k^{n+m-1})d(x_0,f(x_0))\end{displaymath}$

On a alors montré que: $d(x_n,x_{n+m})\leq k^{n} ({\frac{1-k^m}{1-k}})d(x_0,f(x_0))$
Mais comme f est contractante, k<1 et donc k $^n \rightarrow 0$ quand $n \rightarrow +\infty$ . Pour $\varepsilon$ >0 donné, on peut alors trouver N assez grand tel que si n>N et m>0 $k^{n} ({\frac{1-k^m}{1-k}})d(x_0,f(x_0))<\varepsilon$ . Ceci prouve que la suite $(x_n)_{\scriptsize {n \in {\rm I\!N }}}$ est de Cauchy

.
Montrons par l'absurde l'unicité du point fixe. Supposons donc que

ait deux points fixes x et y. Comme

est contractante, on a