Soient (X,d) un espace métrique. On s'intéresse dans cette partie à une application
.
Définition On dit que xX est un point fixe de si .
Définition Soient (X,d) et (Y,) deux espaces métriques. Soit k un réél strictement positif. On dit que
est lipschitzienne de rapport k si
. Si de plus k<1, on dit que f est contractante.
Remarque Si est lipschitzienne, elle est continue .
Théorème (du point fixe) Si (X,d) est complet et que est contractante alors possède un point fixe dans X. De plus, ce point fixe est unique.
Démonstration Soit x un élément de X. Posons, pour tout n dans IN, . On a donc, pour tout n IN
. Supposons que cette suite converge vers un élément x de X. On a alors
=
=f(x)
et donc x est un point fixe de .(la troisième égalité provient de la continuité de f ). Il s'agit donc de montrer que cette suite est convergente, ou encore, comme X est complet, qu'elle est de Cauchy.
Mais pour tout m,n dans IN, on a, grâce à l'inégalité triangulaire :
Comme f est contractante,
.
On a alors
On a alors montré que:
Mais comme f est contractante, k<1 et donc k
quand
. Pour >0 donné, on peut alors trouver N assez grand tel que si n>N et m>0
. Ceci prouve que la suite
est de Cauchy .
Montrons par l'absurde l'unicité du point fixe. Supposons donc que ait deux points fixes x et y. Comme est contractante, on a
. Mais comme x et y sont des points fixes
. En comparant ces deux expressions, on aboutit immédiatemment à une contradiction.
Corollaire Si (X,d) est complet et que est contractante alors possède un point fixe dans X. De plus, ce point fixe est unique.
Démonstration Comme est contractante, il existe un élément x de X qui est point fixe de . Mais alors
. Donc est aussi un point fixe de . Mais d'après le théorème précédent, le point fixe de est unique. Donc f(x)=x.
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