Définition On dit qu'un espace topologique (Y,) (ou un espace métrique (Y,d))est de Baire si pour toute famille d'ouvert
de Y vérifiant:
, alors
.
Remarque Cela revient à dire que (Y,) est de baire si pour toute famille de fermé d'intérieur vide alors la réunion de ces fermés est encore d'intérieur vide.
Théorème (de Baire) Si (X,d) est un espace métrique complet alors il est de Baire.
Démonstration Soit
vérifiant:
Montrons que l'intersection de tout les éléments de cette famille est dense dans X. Soit x un élément de X. Comme est dense dans X, pour tous ,
. Fixons donc .Comme cette intersection est ouverte (intersection de deux ouverts ), Il existe et dans X tel que
. Posons =inf(,
). On a donc
. Supposons cette construction faite à l'ordre n, c'est à dire que l'on suppose trouvés n points de X et n rééls strictement positifs tels que pour tout i dans
,
et
(On pose
). Montrons que l'on peut la continuer à l'ordre n+1. Comme est dense dans X, . Mais, comme précedemment, cette intersection est un sous ensemble ouvert de X. On peut donc trouver tel que
. Posons enfin =inf(,
) et on a bien effectué la construction voulue.
Remarquons maintenant que la famille
est une suite décroissante de fermé dont le diamètre tend vers 0 quand n tend vers l'infini. Comme X est complet, ceci implique que
est un singleton
où est élément de X . Mais est, par constuction élément de
et de
. Donc