Théorème Soit
une suite de X.
est convergente sur X pour la topologie (métrique) produit si et seulement si ses suites coordonnées sont convergentes pour la topologie de l'espaces auxquels elles appartiennent. De plus, la limite de la suite
est égale à (
,...,
).
Démonstration Soit la suite d'éléments de X
=
où
incluse dans .
On sait que si un application f est continue en un point x d'un espace métrique (X,d) vers un espace métrique (Y,d) alors si
est une suite convergeant vers x, on
=(
) . D'autre part, les applications sont continues pour i=1,...,k. Donc
=
=(
)= et les suites sont bien convergentes sur . De plus, leur limite est .
Montrons maintenant que si les suites coordonnées
pour i=1,..,k convergent vers alors la suite
=
converge vers
. Pour ce faire, prenons ainsi qu'une boule
=
dans X. Pour tout i=1..k, il existe
tel que si n>
alors . Prenons