Dans tout le chapitre, on se place sur un espace topologique (X,).
I désignera un ensemble quelconque (fini, dénombrable ou indénombrable).
Définition Soit
(X). On dira que
est un recouvrement ouvert de X si
et que
Remarque On parlera de recouvrement fini (resp. dénombrable, quelconque...) si I est fini (resp. dénombrable, quelconque...).
Définition On dira que (X,) est un espace topologique séparé si pour tout x et y de X, il existe des ouverts et tel que
.
Définition On dira que (X,) est un espace topologique compact si il vérifie:
(X,) est séparé.
De tout recouvrement ouvert de X, on peut extraire un recouvrement fini.(C.a.d si
alors il existe II de cardinal fini tel que
On a la définition équivalente suivante:
Définition (Proposition) On dira que (X,) est un espace topologique compact si il vérifie:
(X,) est séparé.
De tout famille
de fermé vérifiant
on peut extraire une sous famille finie d'intersection vide. (C.a.d que l'on peut trouver I de cardinal fini et tel que
Démonstration Soit
une suite de fermé d'intersection vide. Alors, on a
est donc un recouvrement ouvert de X . On peut alors en extraire un recouvrement fini. Soit donc II de cardinal fini tel que
En repassant au complémentaire, on trouve l'égalité voulue:
Corollaire Si
est une suite décroissante de fermés non vides de X compact alors
Démonstration Il suffit de prendre la contraposée de la proposition précédente et de l'adapter à notre cas de figure (I=IN): Si pour une famille
de fermé, on a pour toute partie finie I de IN:
(ce qui est vrai ici car
est décroissante et
ou i=sup
) alors on a
Exemple Les intervalles fermés et bornés de IRsont des espaces compacts pour la topologie définie par la valeur absolue.
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