Les-Mathematiques.net - Cours de mathématiques universitaires - Forum - Cours à télécharger

A lire
Deug/Prépa
Licence
Agrégation
A télécharger
Télécharger
170 personne(s) sur le site en ce moment
E. Cartan
A lire
Articles
Math/Infos
Récréation
A télécharger
Télécharger
Théorème de Cantor-Bernstein
Théo. Sylow
Théo. Ascoli
Théo. Baire
Loi forte grd nbre
Nains magiques
 
 
 
 
 
Suites dans un espace compact next up previous
suivant: Sous espaces compacts monter: Espaces topologiques compacts précédent: Notions de base

Suites dans un espace compact

Nous allons voir ici une application fondamentale aux espaces métriques du corollaire précédent.
On a vu, dans le cas des espaces métriques, la propriété suivante:
Proposition Si (X,d) est un espace métrique, si $(x_n)_{\scriptsize {n \in {\rm I\!N\,}}}$ est une suite de X et x est un point de X, on a l'équivalence suivante:
$(x_n)_{\scriptsize {n \in {\rm I\!N\,}}}$ admet x comme point d'accumulation $\Leftrightarrow$ On peut extraire de $(x_n)_{\scriptsize {n \in {\rm I\!N\,}}}$ une sous suite convergeant vers x.
Théorème Toute suite d'un espace métrique compact possède un point d'accumulation.
Démonstration En effet, on a vu dans le cours sur les espaces métriques que l'ensemble des valeurs d'adhérence d'une suite $(x_n)_{\scriptsize {n \in {\rm I\!N\,}}}$ est donné par

\begin{displaymath}\displaystyle{\bigcap_{i=0}^\infty \overline{\lbrace x_n;n>i\rbrace}}.\end{displaymath}

Posons

\begin{displaymath}F_i=(\overline{\lbrace x_n;n>i\rbrace})_{i\in {\rm I\!N\,}}.\end{displaymath}

La famille $F_i$ est bien une suite décroissante de fermés non vides. Et donc, par application de la proposition précédente, l'intersection de tous les éléments de cette famille est non vide. L'ensemble des valeurs d'adhérence de la suite $(x_n)_{\scriptsize {n \in {\rm I\!N\,}}}$ est par conséquent non vide.Cqfd.
Remarque On pourrait se poser le problème de la réciproque. Donnons nous (X,$\cal{O}\,$) un espace ayant la propriété : De toutes suites de X, on peut extraire une sous-suite convergente. Peut on alors affirmer que (X,$\cal{O}\,$) est compact? La réponse, dans le cas métrique, est positive et est donnée par le Théo. de Bolzano-Weierstrass.

next up previous
suivant: Sous espaces compacts monter: Espaces topologiques compacts précédent: Notions de base
Emmanuel_Vieillard-Baron_pour_les.mathematiques
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
Adresse Mail:

Inscription
Désinscription

Actuellement 16057 abonnés
Qu'est-ce que c'est ?
Taper le mot à rechercher

Mode d'emploi
En vrac

Faites connaître Les-Mathematiques.net à un ami
Curiosités
Participer
Latex et autres....
Collaborateurs
Forum

Nous contacter

Le vote Linux

WWW IMS
Cut the knot
Mac Tutor History...
Number, constant,...
Plouffe's inverter
The Prime page