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Continuité et compacité

Théorème fondamental L'image d'un compact par une application continue est compacte.
Démonstration Soient K un compact de (X,$\cal{O}\,$), (Y,$\cal{O'}$) un espace topologique et $f:\,X\longrightarrow Y$ une application continue de X dans Y . Soit $(U_i')_{\scriptsize {i \in I}}$ un recouvrement ouvert de $f(K)$ (pour la topologie induite sur $f(K)$...). On a donc

\begin{displaymath}f(K)=\displaystyle{\bigcup_{i \in I} U_i}.\end{displaymath}

Rappelons que si A et B désignent deux ensembles quelconques de Y alors

\begin{displaymath}f^{-1}(A \cup B)\subset f^{-1}(A) \cup f^{-1}(B).\end{displaymath}

Alors

\begin{displaymath}K \subset f^{-1}(f(K)) \subset \displaystyle{f^{-1}(\bigcup_{i \in I} U_i)\subset \bigcup_{i \in I}f^{-1}(U_i)}.\end{displaymath}

Mais $f$ étant continue , chaque $f^{-1}(U_i)\cap K$ est un ouvert de K (pour la topologie induite de X sur K).Comme K est compact, on peut extraire de la famille $(f^{-1}(U_i)\cap K)_{\scriptsize {i \in I}}$ un recouvrement fini de K $(f^{-1}(U_i)\cap K)_{\scriptsize {i \in I_0}}$ (où I$_0$ est une sous partie finie de I). On a alors, comme

\begin{displaymath}f(A)\cup f(B)=f(A\cup B),\end{displaymath}


\begin{displaymath}f(K)\subset \displaystyle{f(\bigcup_{i \in I_0}f^{-1}( U_i)\c...
...cup_{i \in I_0}f(f^{-1}( U_i))\subset \bigcup_{i \in I_0} U_i}.\end{displaymath}

Et donc, du recouvrement initial de $f(K)$, on a extrait un recouvrement fini, ce qui prouve que $f(K)$ est compact.
Remarque Si $f$ est un homéomorphisme de (X,$\cal{O}\,$) dans (Y,$\cal{O'}$) et que X est compact, il en est de même de Y.

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©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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