Les-Mathematiques.net - Cours de mathématiques universitaires - Forum - Cours à télécharger

A lire
Deug/Prépa
Licence
Agrégation
A télécharger
Télécharger
174 personne(s) sur le site en ce moment
E. Cartan
A lire
Articles
Math/Infos
Récréation
A télécharger
Télécharger
Théorème de Cantor-Bernstein
Théo. Sylow
Théo. Ascoli
Théo. Baire
Loi forte grd nbre
Nains magiques
 
 
 
 
 
Topologie sur un ensemble et sous ensemble ouvert next up previous
suivant: Topologie induite et engendrée monter: Espaces Topologiques précédent: Introduction

Topologie sur un ensemble et sous ensemble ouvert

Dans toute la suite, X désignera un ensemble et $\cal{O}\,$une partie de $\cal{P}$(X).
Définition On dit que (X,$\cal{O}$)est un espace topologique si $\cal{O}\,$vérifie:
  • X,$\emptyset \in$ $\cal{O}\,$.
  • Une intersection finie d'éléments de $\cal{O}\,$est encore élément de $\cal{O}\,$.
  • Une réunion quelconque d'éléments de $\cal{O}\,$est encore élément de $\cal{O}\,$.
Un élément de $\cal{O}\,$sera appelé un sous ensemble ouvert de X. ( On utilisera le plus souvent le mot ouvert à la place de sous ensemble ouvert). Se donner $\cal{O}\,$sur X vérifiant les 3 axiomes précédents revient à se donner une topologie sur X.
Définition On appelle topologie discrète sur un ensemble X la topologie sur X pour laquelle tout sous ensemble de X est ouvert. (En particulier, tout point de X définit un sous ensemble ouvert de X). Cette topologie est égale à $\cal{P}$(X).
Définition On appelle topologie grossière sur un ensemble X la topologie $\cal{O}\,$donnée par $\cal{O}\,$= $\lbrace \emptyset ,X \rbrace$.
On considère désormais un espace topologique (X,$\cal{O}$).
Définition Soit V $\in$ $\cal{P}$(X)et x $\in$ X. On dira que V est un voisinage de x si il existe un ouvert U de X tel que x soit élément de U et U soit inclus dans V.
On notera $\cal{V}\,$(x) l'ensemble de tous les voisinages de x.
Remarque Si O $\in$ $\cal{O}\,$et si x $\in$ O alors O $\in$ $\cal{V}\,$(x).
Proposition Un sous ensemble O de X est ouvert si et seulement si il est voisinage de chacun de ses points.
Démonstration D'après la remarque précédente, le sens direct est évident. Montrons la réciproque. Supposons donc que O est un ensemble voisinage de chacun de ses points. Pour tout x dans O, on peut alors trouver un sous ensemble O(x) de O tel que O(x) soit ouvert et x élément de O(x). On peut même écrire:

\begin{displaymath}O=\bigcup_{x \in O}O(x).\end{displaymath}

O est donc réunion quelconque d'ouverts. Ceci implique évidemment que O est ouvert.
Définition Soient $\cal{O}$ et $\cal{P}$ deux topologies sur X. On dira que $\cal{O}$ est plus fine que $\cal{P}$ si $\cal{P}$ est incluse dans $\cal{O}$.
Remarque ``Etre plus fine que'' est une relation d'ordre (non totale) sur l'ensemble de toutes les topologies de X.
next up previous
suivant: Topologie induite et engendrée monter: Espaces Topologiques précédent: Introduction
Emmanuel_Vieillard-Baron_pour_les.mathematiques
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
Adresse Mail:

Inscription
Désinscription

Actuellement 16057 abonnés
Qu'est-ce que c'est ?
Taper le mot à rechercher

Mode d'emploi
En vrac

Faites connaître Les-Mathematiques.net à un ami
Curiosités
Participer
Latex et autres....
Collaborateurs
Forum

Nous contacter

Le vote Linux

WWW IMS
Cut the knot
Mac Tutor History...
Number, constant,...
Plouffe's inverter
The Prime page