Topologie sur un ensemble et sous ensemble ouvert

Dans toute la suite, X désignera un ensemble et $\cal{O}\,$ une partie de $\cal{P}$ (X).
Définition On dit que (X, $\cal{O}$ )est un espace topologique si $\cal{O}\,$ vérifie:

X, $\emptyset \in$ $\cal{O}\,$ .
Une intersection finie d'éléments de $\cal{O}\,$ est encore élément de $\cal{O}\,$ .
Une réunion quelconque d'éléments de $\cal{O}\,$ est encore élément de $\cal{O}\,$ .

Un élément de $\cal{O}\,$ sera appelé un sous ensemble ouvert de X. ( On utilisera le plus souvent le mot ouvert à la place de sous ensemble ouvert). Se donner $\cal{O}\,$ sur X vérifiant les 3 axiomes précédents revient à se donner une topologie sur X.
Définition On appelle topologie discrète sur un ensemble X la topologie sur X pour laquelle tout sous ensemble de X est ouvert. (En particulier, tout point de X définit un sous ensemble ouvert de X). Cette topologie est égale à $\cal{P}$ (X).
Définition On appelle topologie grossière sur un ensemble X la topologie $\cal{O}\,$ donnée par $\cal{O}\,$ = $\lbrace \emptyset ,X \rbrace$ .
On considère désormais un espace topologique (X, $\cal{O}$ ).
Définition Soit V $\in$ $\cal{P}$ (X)et x $\in$ X. On dira que V est un voisinage de x si il existe un ouvert U de X tel que x soit élément de U et U soit inclus dans V.
On notera $\cal{V}\,$ (x) l'ensemble de tous les voisinages de x.
Remarque Si O $\in$ $\cal{O}\,$ et si x $\in$ O alors O $\in$ $\cal{V}\,$ (x).
Proposition Un sous ensemble O de X est ouvert si et seulement si il est voisinage de chacun de ses points.
Démonstration D'après la remarque précédente, le sens direct est évident. Montrons la réciproque. Supposons donc que O est un ensemble voisinage de chacun de ses points. Pour tout x dans O, on peut alors trouver un sous ensemble O(x) de O tel que O(x) soit ouvert et x élément de O(x). On peut même écrire:

$\begin{displaymath}O=\bigcup_{x \in O}O(x).\end{displaymath}$

O est donc réunion quelconque d'ouverts. Ceci implique

évidemment que O est ouvert.
Définition Soient $\cal{O}$ et $\cal{P}$ deux topologies sur X. On dira que $\cal{O}$ est plus fine que $\cal{P}$ si $\cal{P}$ est incluse dans $\cal{O}$ .
Remarque ``Etre plus fine que'' est une relation d'ordre (non totale) sur l'ensemble de toutes les topologies de X.