Dans toute la suite, X désignera un ensemble et une partie de (X).
Définition
On dit que (X,)est un espace topologique si vérifie:
X,.
Une intersection finie d'éléments de est encore élément de .
Une réunion quelconque d'éléments de est encore élément de .
Un élément de sera appelé un sous ensemble ouvert de X. ( On utilisera le plus souvent le mot ouvert à la place de sous ensemble ouvert).
Se donner sur X vérifiant les 3 axiomes précédents revient à se donner une topologie sur X.
Définition
On appelle topologie discrète sur un ensemble X la topologie sur X pour laquelle tout sous ensemble de X est ouvert. (En particulier, tout point de X définit un sous ensemble ouvert de X). Cette topologie est égale à (X).
Définition
On appelle topologie grossière sur un ensemble X la topologie donnée par =
.
On considère désormais un espace topologique (X,).
Définition
Soit V (X)et x X.
On dira que V est un voisinage de x si il existe un ouvert U de X tel que x soit élément de U et U soit inclus dans V.
On notera (x) l'ensemble de tous les voisinages de x.
Remarque Si O et si x O alors O (x).
Proposition
Un sous ensemble O de X est ouvert si et seulement si il est voisinage de chacun de ses points.
Démonstration
D'après la remarque précédente, le sens direct est évident. Montrons la réciproque. Supposons donc que O est un ensemble voisinage de chacun de ses points. Pour tout x dans O, on peut alors trouver un sous ensemble O(x) de O tel que O(x) soit ouvert et x élément de O(x). On peut même écrire:
O est donc réunion quelconque d'ouverts. Ceci implique évidemment que O est ouvert.
Définition
Soient et deux topologies sur X. On dira que est plus fine que si est incluse dans .
Remarque ``Etre plus fine que'' est une relation d'ordre (non totale) sur l'ensemble de toutes les topologies de X.
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