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Valeur d'adhérence et adhérence d'un sous ensemble de X

Définition Soit U une partie de X.On appelera adhérence de U le plus petit fermé de X contenant U. On notera

\begin{displaymath}\overline{U}\end{displaymath}

l'adhérence de U.
Définition On dira qu'un élément x de X est adhérent au sous ensemble U de X si: $ \forall \, V \in $ $\cal{V}\,$(x), V $\bigcap U \neq \emptyset $
Remarque Tout élément d'un ensemble donné est valeur d'adhérence de cet ensemble.
Proposition L'adhérence d'un sous ensemble de X est égale à l'ensemble de toutes les valeurs d'adhérence de cet ensemble.
Démonstration Soit U un sous ensemble de X et notons $Adh(U)$ l'ensemble des valeurs d'adhérences de U.
Montrons tout d'abord que $Adh(U)$ est fermé. Soit x un élément de $Adh(U)^c$. Alors on peut trouver un voisinage V de x tel que ce voisinage n'intersecte pas $Adh(U)$. Ce voisinage est donc dans $Adh(U)^c$. x possède alors un voisinage tout entier dans $Adh(U)^c$ . Cela étant vrai pour tout élément x de $Adh(U)^c$ on en déduit que $Adh(U)^c$ est ouvert et donc que $Adh(U)$ est fermé. De plus, d'après la remarque précédente, U est tout entier dans $Adh(U)$. Donc, $Adh(U)$ est un fermé qui contient U. On peut alors affirmer que l'adhérence de U est une partie de $Adh(U)$.
Montrons maintenant que si F est un fermé de X contenant U alors F contient nécessairement $Adh(U)$. Soit donc F un fermé de X contenant U et soit x un élément de $F^c$. Comme $F^c$ est ouvert, on peut trouver un voisinage V de x inclus dans $F^c$.Ce voisinage et F sont donc disjoints. Il en est donc de même pour ce voisinage et $Adh(U)$. Donc x est élément de $Adh(U)^c$. On a alors montré que $F^c \subseteq Adh(U)^c$ et donc que $Adh(U) \subseteq F$.
Concluons: $Adh(U)$ est un fermé contenant U et tout fermé contenant U contient $Adh(U)$. Ce dernier est donc le plus petit fermé contenant U et est donc égale à l'adhérence de U.
Définition On dit que le sous ensemble U de X est dense dans X si

\begin{displaymath}\overline {U}=X\end{displaymath}

ou, ce qui est équivalent, si l'intérieur de $U^c$ est vide.
Exemple IQest dense dans IR.
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Emmanuel_Vieillard-Baron_pour_les.mathematiques
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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