Définition
Soit U une partie de X.On appelera adhérence de U le plus petit fermé de X contenant U. On notera
l'adhérence de U.
Définition
On dira qu'un élément x de X est adhérent au sous ensemble U de X si:
(x), V
Remarque Tout élément d'un ensemble donné est valeur d'adhérence de cet ensemble.
Proposition
L'adhérence d'un sous ensemble de X est égale à l'ensemble de toutes les valeurs d'adhérence de cet ensemble.
Démonstration
Soit U un sous ensemble de X et notons l'ensemble des valeurs d'adhérences de U.
Montrons tout d'abord que est fermé. Soit x un élément de . Alors on peut trouver un voisinage V de x tel que ce voisinage n'intersecte pas . Ce voisinage est donc dans . x possède alors un voisinage tout entier dans . Cela étant vrai pour tout élément x de on en déduit que est ouvert et donc que est fermé.
De plus, d'après la remarque précédente, U est tout entier dans . Donc, est un fermé qui contient U. On peut alors affirmer que l'adhérence de U est une partie de .
Montrons maintenant que si F est un fermé de X contenant U alors F contient nécessairement . Soit donc F un fermé de X contenant U et soit x un élément de . Comme est ouvert, on peut trouver un voisinage V de x inclus dans .Ce voisinage et F sont donc disjoints. Il en est donc de même pour ce voisinage et . Donc x est élément de . On a alors montré que
et donc que
.
Concluons: est un fermé contenant U et tout fermé contenant U contient . Ce dernier est donc le plus petit fermé contenant U et est donc égale à l'adhérence de U.
Définition
On dit que le sous ensemble U de X est dense dans X si
(x), V
l'ensemble des valeurs d'adhérences de U.
. Alors on peut trouver un voisinage V de x tel que ce voisinage n'intersecte pas 
. Comme 
et donc que
.
est vide.
