Les-Mathematiques.net - Cours de mathématiques universitaires - Forum - Cours à télécharger

A lire
Deug/Prépa
Licence
Agrégation
A télécharger
Télécharger
164 personne(s) sur le site en ce moment
E. Cartan
A lire
Articles
Math/Infos
Récréation
A télécharger
Télécharger
Théorème de Cantor-Bernstein
Théo. Sylow
Théo. Ascoli
Théo. Baire
Loi forte grd nbre
Nains magiques
 
 
 
 
 
Suite dans un espace topologique next up previous
suivant: Espaces topologiques à base monter: Espaces Topologiques précédent: Valeur d'adhérence et adhérence

Suite dans un espace topologique

On considère dans ce paragraphe une suite $(x_n)_{\scriptsize {n \in I\!N\,}}$ de X.
Définition On appelle valeur d'adhérence de la suite $(x_n)_{\scriptsize {n \in I\!N\,}}$ tout point adhérent à $\lbrace x_n / n \in I\!N\,\rbrace$.
Exemple Un élément de la suite $(x_n)_{\scriptsize {n \in I\!N\,}}$ est un point adhérent à $(x_n)_{\scriptsize {n \in I\!N\,}}$.
Définition On appelle point d' accumulation de la suite $(x_n)_{\scriptsize {n \in I\!N\,}}$ toute valeur d' adhérence de cette suite qui n' est pas élément de la suite.
Définition On dira que $(x_n)_{\scriptsize {n \in I\!N\,}}$ est convergente vers le point x de X si :

\begin{displaymath}\forall V\in V(x)\, \exists N(V) \in I\!N\,\,;\, \lbrace x_n ; n > N(V) \rbrace \subset V.\end{displaymath}

Le point x sera appelé la limite de la suite $(x_n)_{\scriptsize {n \in I\!N\,}}$ dans X et on notera:
$\displaystyle{\lim_{n\rightarrow \infty}x_n=x}$.

Remarque Si x est limite de la suite $(x_n)_{\scriptsize {n \in I\!N\,}}$ alors x est valeur d'adhérence de cette suite.
Définition Soit $\varphi$:IN $\longrightarrow$IN une application strictement croissante. La suite définie par $(x_{\varphi(n)})_{\scriptsize {n \in I\!N\,}}$ est appelée sous suite (ou suite extraite) de $(x_n)_{\scriptsize {n \in I\!N\,}}$.
Remarque Soit $\varphi$ l'aplication définie précédemment. On a l'inclusion:

\begin{displaymath}\lbrace x_{\varphi(n)}; n\in I\!N\,\rbrace \subset \lbrace x_n; n\in I\!N\,\rbrace.\end{displaymath}

Ce qui justifie le nom donné à la suite $(x_{\varphi(n)})_{\scriptsize {n \in I\!N\,}}$.

next up previous
suivant: Espaces topologiques à base monter: Espaces Topologiques précédent: Valeur d'adhérence et adhérence
Emmanuel_Vieillard-Baron_pour_les.mathematiques
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
Adresse Mail:

Inscription
Désinscription

Actuellement 16057 abonnés
Qu'est-ce que c'est ?
Taper le mot à rechercher

Mode d'emploi
En vrac

Faites connaître Les-Mathematiques.net à un ami
Curiosités
Participer
Latex et autres....
Collaborateurs
Forum

Nous contacter

Le vote Linux

WWW IMS
Cut the knot
Mac Tutor History...
Number, constant,...
Plouffe's inverter
The Prime page