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Espaces topologiques à base dénombrable de voisinage

Proposition Soit F un fermé de (X,$\cal{O}$). Soit $(x_n)_{\scriptsize {n \in I\!N\,}}$, une suite d'éléments de F qui converge vers un élément x de X. Alors x est élément de F.
Démonstration Par définition de la convergence d'une suite, tout voisinage V de x rencontre F en un point $ x_n$ (où n est choisis comme il faut). D'après la définition d'un point adhérent à un ensemble,x est donc point adhérent à F. Mais comme F est fermé, l'ensemble des points adhérents à F se confond avec F.
Le but de ce paragraphe est de travailler sur la réciproque de cette propriété.
Définition On dit qu'un espace topologique (X,$\cal{O}$)possède une base dénombrable de voisinage si pour tout x de X, on a:
$\exists \,$ $(V_n)_{\scriptsize {n \in I\!N\,}}$ $\subset$ $\cal{V}\,$(x) / $ \forall \, V \in $V $(x) \,\exists\, n \in$ IN$ V_n \subset V$ et $\forall \,i\in I\!N\,V_{i+1}\subset $V$_i$.
Théorème Soit (X,$\cal{O}$)possédant une base dénombrable de voisinage et soit U un sous ensemble de X. On a équivalence entre:
  • x est une valeur d'adhérence de U.
  • Il existe une suite $(x_n)_{\scriptsize {n \in I\!N\,}}$ d'éléments de U convergeant vers x.
$\,$
Démonstration Occupons nous du sens direct: Supposons que x est valeur d'adhérence de U. Alors tout voisinages V de x rencontre U. En particulier, comme (X,$\cal{O}$)est à base dénombrable de voisinages, pour tout n dans IN, il existe un voisinage de x: $V_n$ et ce voisinage rencontre U. Choisissons alors, pour n donné dans IN, $ x_n$ dans $V_n \cap$U. On construit ainsi une suite $(x_n)_{\scriptsize {n \in I\!N\,}}$. Enfin, pour montrer que cette suite converge vers x, il suffit de remarquer que si V est élément de $\cal{V}\,$(x) alors il existe $n_0$ dans INtel $V_{n_0}$ est inclus dans V, et donc $\lbrace x_n;n>n_0 \rbrace \subset V$, ce qui nous prouve la convergence souhaitée.
Pour la réciproque, on choisit une suite $(x_n)_{\scriptsize {n \in I\!N\,}}$ convergeant vers x. Pour tout V de $\cal{V}\,$(x), il existe n dans INtel que $ x_n$ est élément de V$\cap$U. Ainsi pour tout V de $\cal{V}\,$(x), V$\cap$U est non vide. Ceci nous assure du fait que x est bien valeur d'adhérence de $(x_n)_{\scriptsize {n \in I\!N\,}}$.
Voici maintenant un corollaire fondamentale car il donne un critère très pratique pour vérifier qu'un sous ensemble de X est fermé.
Corollaire Soit (X,$\cal{O}$)un espace topologique à base dénombrable de voisinage et F un sous ensemble de X. On a équivalence entre:
  • F est fermé.
  • Pour toute suite $(x_n)_{\scriptsize {n \in I\!N\,}}$ convergente d'éléments de F ,on a $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow \infty}x_n=x}$ est élément de F.
$\,$
Démonstration Supposons que F est fermé. Alors tout point x de F est point adhérent à F. Donc, d'après la propriété précédente, on peut trouver une suite $(x_n)_{\scriptsize {n \in I\!N\,}}$ d'éléments de F ayant x pour limite.
Réciproquement, supposons que toute suite convergente $(x_n)_{\scriptsize {n \in I\!N\,}}$ d'éléments de F ait sa limite dans F. Prenons un point x de l'adhérence de F. Comme x est un point adhérent à F, on peut construire une suite $(x_n)_{\scriptsize {n \in I\!N\,}}$ d'éléments de F qui converge vers x. Mais ceci implique, par hypothèse, que x est élément de F et donc que l'adhérence de F est incluse dans F. Ceci équivaut évidemment au fait que F est fermé.
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©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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