Proposition
Soit F un fermé de (X,). Soit
, une suite d'éléments de F qui converge vers un élément x de X. Alors x est élément de F.
Démonstration Par définition de la convergence d'une suite, tout voisinage V de x rencontre F en un point (où n est choisis comme il faut). D'après la définition d'un point adhérent à un ensemble,x est donc point adhérent à F. Mais comme F est fermé, l'ensemble des points adhérents à F se confond avec F.
Le but de ce paragraphe est de travailler sur la réciproque de cette propriété.
Définition
On dit qu'un espace topologique (X,)possède une base dénombrable de voisinage si pour tout x de X, on a:
(x) /
V
IN et
V.
Théorème
Soit (X,)possédant une base dénombrable de voisinage et soit U un sous ensemble de X. On a équivalence entre:
x est une valeur d'adhérence de U.
Il existe une suite
d'éléments de U convergeant vers x.
Démonstration Occupons nous du sens direct: Supposons que x est valeur d'adhérence de U. Alors tout voisinages V de x rencontre U. En particulier, comme (X,)est à base dénombrable de voisinages, pour tout n dans IN, il existe un voisinage de x: et ce voisinage rencontre U. Choisissons alors, pour n donné dans IN, dans U. On construit ainsi une suite
. Enfin, pour montrer que cette suite converge vers x, il suffit de remarquer que si V est élément de (x) alors il existe dans INtel est inclus dans V, et donc
, ce qui nous prouve la convergence souhaitée.
Pour la réciproque, on choisit une suite
convergeant vers x. Pour tout V de (x), il existe n dans INtel que est élément de VU. Ainsi pour tout V de (x), VU est non vide. Ceci nous assure du fait que x est bien valeur d'adhérence de
.
Voici maintenant un corollaire fondamentale car il donne un critère très pratique pour vérifier qu'un sous ensemble de X est fermé.
Corollaire
Soit (X,)un espace topologique à base dénombrable de voisinage et F un sous ensemble de X. On a équivalence entre:
F est fermé.
Pour toute suite
convergente d'éléments de F ,on a
est élément de F.
Démonstration Supposons que F est fermé. Alors tout point x de F est point adhérent à F. Donc, d'après la propriété précédente, on peut trouver une suite
d'éléments de F ayant x pour limite.
Réciproquement, supposons que toute suite convergente
d'éléments de F ait sa limite dans F. Prenons un point x de l'adhérence de F. Comme x est un point adhérent à F, on peut construire une suite
d'éléments de F qui converge vers x. Mais ceci implique, par hypothèse, que x est élément de F et donc que l'adhérence de F est incluse dans F. Ceci équivaut évidemment au fait que F est fermé.
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