Notions de base

On considère dans ce chapitre une famille d'espaces topologiques $((X_i,{\cal O}_i))_{\scriptsize {i =1..k}}$ et soit

$\begin{displaymath}X=\displaystyle{\prod_{i=1}^k X_i}.\end{displaymath}$

Définition Pour tout i=1..k, on appelle projecteur de X sur X l'application $\Pi_i: X\longrightarrow X_i$ qui a un élément

de X associe $\Pi_i(x)=x_i$ .
Définition On appelle topologie produit, la topologie la moins fine sur X qui rend continue les applications $\Pi_i: X\longrightarrow X_i$ pour i=1..k. C'est à dire: si

est un ouvert de

, alors on veut que $\Pi^{-1}(O_i)$ soit un ouvert de X.
Remarque Cette définition est bien posée car il existe toujours une topologie sur X rendant continue les $\Pi_i$ . Au pire, il suffit de mettre sur X la topologie discrète

.
On notera ${\cal O}$ la topologie produit.
Proposition La topologie produit est la topologie engendrée par l'ensemble $\lbrace \Pi^{-1}(O_i); O_i\in{\cal O}_i;i=1..k \rbrace$ .
Démonstration Il suffit de relire la définition de la topologie engendrée par un ensemble: c'est la topologie la moins fine pour laquelle les éléments de l'ensemble sont des ouverts de cette topologie

.
On a d'ailleurs la définition suivante.
Définition Les sous-ensembles $O_1\times...\times O_k$ où $O_1\in {\cal O}_1,..,O_k\in{\cal O}_k$ sont appelés les ouverts élémentaires de la topologie produit.
Remarque La propriété précédente pourrait s'exprimer comme suit: La topologie produit est la topologie engendrée par les ouverts élémentaires.