Suites dans un espace topologique produit

Théorème Soit $(x_n)_{\scriptsize {n \in {\rm I\!N }}}$ une suite de X. Si $(x_n)_{\scriptsize {n \in {\rm I\!N }}}$ est convergente sur X pour la topologie produit alors les suites coordonnées $(x_n^i)_{\scriptsize {n \in {\rm I\!N }}}$ sont convergentes pour i=1,...,k et ce pour le topologie de l'espaces auxquels elles appartiennent.
Démonstration Soit la suite d'éléments de X $(x_n)_{\scriptsize {n \in {\rm I\!N }}}$ = $(x_n^1,...,x_n^k)_{n \in {\rm I\!N }}$ où chaque suite coordonnée $(x_n^i)_{n \in {\rm I\!N }}$ est incluse dans

.
Supposons que $(x_n)_{\scriptsize {n \in {\rm I\!N }}}$ converge dans X. Alors

il existe $x=(x_1,...,x_n)\in X$ tel que $\forall V \in {\cal V}(x) \exists N; n>N \Rightarrow x_n\in V$ . Choisissons i tel que $1 \leq i \leq k$ et montrons que $(x_n^i)_{n \in {\rm I\!N }}$ converge vers

. Prenons pour cela un voisinage

. Choisissons d'autre part des voisinages $V_1,....V_{i-1},V_{i+1},...,V_k$ de, respectivement, $x_1,....x_{i-1},x_{i+1},...,x_k$ dans, respectivement, $X_1,....X_{i-1},X_{i+1},...,X_k$ . $V=V_1\times...\times V_k$ est donc un voisinage de x dans X. Comme $(x_n)_{\scriptsize {n \in {\rm I\!N }}}$ est convergente, pour N assez grand, si $n>N ,x_n\in V$