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Théorème de Cantor-Bernstein

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Anneau

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Anneau

Définition Soit A un ensemble possédant deux lois internes que l'on note, par analogie avec ${\mathbb{Z}}$ , + et . . On dit que le triplet (A,+,.) possède une structure d'anneau si:

(A,+) a une structure de groupe abélien. Le neutre de la loi + est noté 0.
La loi . est distributive par rapport à la loi + :

$\begin{displaymath}\forall x,y,z \in A, x.(y+z)=x.y+x.z \end{displaymath}$
La loi . est associative:

$\begin{displaymath}\forall x,y,z \in A, x.(y.z)=(x.y).z\end{displaymath}$
Si de plus, il existe un élément neutre dans A pour la loi . ( que l'on note 1 et qu'on appelle élément unité de l'anneau) alors l'anneau A sera dit unitaire.

Remarque On considérera toujours dans la suite des anneaux qui sont unitaires et on utilisera le mot anneau pour anneau unitaire.

Remarque On notera -a l'inverse (l'opposé...) de a pour la loi +. Par abus d'écriture, on notera A l'anneau (A,+,.).

Définition Si l'élément x d'un anneau possède un inverse pour la deuxième loi de cet anneau, on dira que x est un élément inversible de cet anneau et on notera x $^{-1}$ son inverse.

Remarque Rien n'empêche, dans le cas général, que 1=0 !!!

Proposition L'ensemble des éléments inversibles d'un anneau possède une structure de groupe pour la multiplication de l'anneau.

Démonstration C'est facile.

Proposition (Propriétés arithmétiques sur les anneaux) Soit (A,+,.) un anneau. Pour tout x,y $\in$ A, on a:

Démonstration

. Donc .
donc .
On multiplie par l'égalité . Cela donne et donc ce qui prouve que .
donc l'opposé de qui est, par convention d'écriture, , est égal à .

Définition Un anneau A sera dit intègre si 1 $\neq$ 0 et si pour tout élément $x,y\in A$ on a:

$\begin{displaymath}x.y=0 \Rightarrow x=0 \;\; ou \; y=0.\end{displaymath}$

Dans le cas contraire, c'est à dire dans le cas où A n'est pas intègre, il existe des éléments x et y dans A tout deux non nuls et tels que x.y=0.

Définition Soit A un anneau et x, y des éléments de A non nuls tels que x.y=0. x et y sont des diviseurs de 0.

Définition Un anneau sera dit commutatif si la deuxième loi de l'anneau est commutative.

Définition Soit (A,+,.) un anneau et soit A' un sous ensemble de A. A' est un sous anneau de A si et seulement si A' muni des lois de A restreintes à A possède lui aussi une structure d'anneau.

Proposition Voici quelques formules algébriques vraies dans un anneau A commutatif: si x,y $\in$ A, n,m $\in$ ${\mathbb{N}}$ :

x $^{m+n}$ =xx.
(x)=x $^{mn}$ .
(xy)=xy.
Formule du binôme de Newton:(x+y)= $\displaystyle{\sum_{i=0}^n C_n^i x^i y^{n-i}}$ .

Ces formules sont valables avec la convention x

=1 pour tout x de A.

Démonstration On passera sous silence la démonstration des trois premiers points qui se traitent sans problème par récurrence.
Le dernier point se démontrer lui aussi par récurrence:
si n=1 la formule est triviale, supposons la donc vraie à l'ordre n-1 et démontrons la à l'ordre n: (x+y) $^{n}$ = (x+y).(x+y) $^{n-1}$ = (x+y). $\displaystyle{\sum_{i=0}^{n-1} C_{n-1}^i x^i y^{n-1-i}}$ ce qui donne, en distribuant la parenthèse sur chacun des termes de la somme: $\displaystyle{\sum_{i=0}^{n-1} C_{n-1}^i x^{i+1} y^{n-1-i}}$ + $\displaystyle{\sum_{i=0}^{n-1} C_{n-1}^i x^i y^{n-i}}$ . Le premiere partie de l'expression précédente peut encore s'écrire: $\displaystyle{\sum_{i=1}^{n} C_{n-1}^{i-1} x^{i} y^{n-i}}$ . Voila qui permet de l'additionner à la seconde partie et cela donne: $\displaystyle{\sum_{i=0}^{n} (C_{n-1}^{i-1}+C_{n-1}^i) x^{i} y^{n-i}}$ mais comme C $_{n-1}^{i-1}$ +C $_{n-1}^i$ =C la formule est démontrée.