Définition Soit A un ensemble possédant deux lois internes que l'on note, par analogie avec , + et . . On dit que le triplet (A,+,.) possède une structure d'anneau si:
(A,+) a une structure de groupe abélien. Le neutre de la loi + est noté 0.
La loi . est distributive par rapport à la loi + :
La loi . est associative:
Si de plus, il existe un élément neutre dans A pour la loi . ( que l'on note 1 et qu'on appelle élément unité de l'anneau) alors l'anneau A sera dit unitaire.
Remarque On considérera toujours dans la suite des anneaux qui sont unitaires et on utilisera le mot anneau pour anneau unitaire.
Remarque On notera -a l'inverse (l'opposé...) de a pour la loi +.
Par abus d'écriture, on notera A l'anneau (A,+,.).
Définition Si l'élément x d'un anneau possède un inverse pour la deuxième loi de cet anneau, on dira que x est un élément inversible de cet anneau et on notera x son inverse.
Remarque Rien n'empêche, dans le cas général, que 1=0 !!!
Proposition L'ensemble des éléments inversibles d'un anneau possède une structure de groupe pour la multiplication de l'anneau.
Démonstration C'est facile.
Proposition (Propriétés arithmétiques sur les anneaux)
Soit (A,+,.) un anneau. Pour tout x,yA, on a:
Démonstration
. Donc .
donc .
On multiplie par l'égalité . Cela donne
et donc
ce qui prouve que .
donc l'opposé de qui est, par convention d'écriture, , est égal à .
Définition Un anneau A sera dit intègre si 10 et si pour tout élément on a:
Dans le cas contraire, c'est à dire dans le cas où A n'est pas intègre, il existe des éléments x et y dans A tout deux non nuls et tels que x.y=0.
Définition Soit A un anneau et x, y des éléments de A non nuls tels que x.y=0. x et y sont des diviseurs de 0.
Définition Un anneau sera dit commutatif si la deuxième loi de l'anneau est commutative.
Définition Soit (A,+,.) un anneau et soit A' un sous ensemble de A. A' est un sous anneau de A si et seulement si A' muni des lois de A restreintes à A possède lui aussi une structure d'anneau.
Proposition Voici quelques formules algébriques vraies dans un anneau A commutatif: si x,yA, n,m:
x=xx.
(x)=x.
(xy)=xy.
Formule du binôme de Newton:(x+y)=
.
Ces formules sont valables avec la convention x=1 pour tout x de A.
Démonstration On passera sous silence la démonstration des trois premiers points qui se traitent sans problème par récurrence.
Le dernier point se démontrer lui aussi par récurrence:
si n=1 la formule est triviale, supposons la donc vraie à l'ordre n-1 et démontrons la à l'ordre n: (x+y) = (x+y).(x+y) = (x+y).
ce qui donne, en distribuant la parenthèse sur chacun des termes de la somme:
+
. Le premiere partie de l'expression précédente peut encore s'écrire:
. Voila qui permet de l'additionner à la seconde partie et cela donne:
mais comme C+C=C la formule est démontrée.