Les-Mathematiques.net - Cours de mathématiques universitaires - Forum - Cours à télécharger

A lire
Deug/Prépa
Licence
Agrégation
A télécharger
Télécharger
228 personne(s) sur le site en ce moment
E. Cartan
A lire
Articles
Math/Infos
Récréation
A télécharger
Télécharger
Théorème de Cantor-Bernstein
Théo. Sylow
Théo. Ascoli
Théo. Baire
Loi forte grd nbre
Nains magiques
 
 
 
 
 
Anneau next up previous
suivant: Idéaux monter: Anneaux et corps précédent: Introduction

Anneau

Définition Soit A un ensemble possédant deux lois internes que l'on note, par analogie avec ${\mathbb{Z}}$, + et . . On dit que le triplet (A,+,.) possède une structure d'anneau si:

  • (A,+) a une structure de groupe abélien. Le neutre de la loi + est noté 0.

  • La loi . est distributive par rapport à la loi + :

    \begin{displaymath}\forall   x,y,z \in A,   x.(y+z)=x.y+x.z \end{displaymath}

  • La loi . est associative:

    \begin{displaymath}\forall  x,y,z \in A,   x.(y.z)=(x.y).z\end{displaymath}

  • Si de plus, il existe un élément neutre dans A pour la loi . ( que l'on note 1 et qu'on appelle élément unité de l'anneau) alors l'anneau A sera dit unitaire.
$ $

Remarque On considérera toujours dans la suite des anneaux qui sont unitaires et on utilisera le mot anneau pour anneau unitaire.

Remarque On notera -a l'inverse (l'opposé...) de a pour la loi +. Par abus d'écriture, on notera A l'anneau (A,+,.).

Définition Si l'élément x d'un anneau possède un inverse pour la deuxième loi de cet anneau, on dira que x est un élément inversible de cet anneau et on notera x$^{-1}$ son inverse.

Remarque Rien n'empêche, dans le cas général, que 1=0 !!!

Proposition L'ensemble des éléments inversibles d'un anneau possède une structure de groupe pour la multiplication de l'anneau.

Démonstration C'est facile.

Proposition (Propriétés arithmétiques sur les anneaux) Soit (A,+,.) un anneau. Pour tout x,y$\in$A, on a:

  1. $0.x=0$
  2. $(-1).x=-x$
  3. $(-1).(-1)=1$
  4. $(-x).y=-x.y$
$ $
Démonstration
  1. $0.x+x=0.x+e.x=(0+e).x=e.x=x$. Donc $0.x=0$.
  2. $0=0.x=(1-1).x=1.x-1.x=x-1.x$ donc $-x=-1.x$.
  3. On multiplie par $-1$ l'égalité $(-1)+1=0$. Cela donne $(-1).(-1)+(-1).(1)=0$ et donc $(-1).(-1)+(-1)=0$ ce qui prouve que $(-1).(-1)=1$.
  4. $x.y+(-x).y=(x+(-x)).y=(x-x).y=0.y=0$ donc l'opposé de $x.y$ qui est, par convention d'écriture, $-x.y$, est égal à $(-x).y$.
$ $

Définition Un anneau A sera dit intègre si 1$\neq$0 et si pour tout élément $x,y\in A$ on a:

\begin{displaymath}x.y=0 \Rightarrow x=0 \;\; ou \; y=0.\end{displaymath}


Dans le cas contraire, c'est à dire dans le cas où A n'est pas intègre, il existe des éléments x et y dans A tout deux non nuls et tels que x.y=0.

Définition Soit A un anneau et x, y des éléments de A non nuls tels que x.y=0. x et y sont des diviseurs de 0.

Définition Un anneau sera dit commutatif si la deuxième loi de l'anneau est commutative.

Définition Soit (A,+,.) un anneau et soit A' un sous ensemble de A. A' est un sous anneau de A si et seulement si A' muni des lois de A restreintes à A possède lui aussi une structure d'anneau.

Proposition Voici quelques formules algébriques vraies dans un anneau A commutatif: si x,y$\in$A, n,m$\in$${\mathbb{N}}$:

  • x$^{m+n}$=x$^m$x$^n$.
  • (x$^m$)$^n$=x$^{mn}$.
  • (xy)$^n$=x$^n$y$^n$.
  • Formule du binôme de Newton:(x+y)$^n$= $\displaystyle{\sum_{i=0}^n C_n^i x^i y^{n-i}}$.
Ces formules sont valables avec la convention x$^0$=1 pour tout x de A.

Démonstration On passera sous silence la démonstration des trois premiers points qui se traitent sans problème par récurrence.
Le dernier point se démontrer lui aussi par récurrence:
si n=1 la formule est triviale, supposons la donc vraie à l'ordre n-1 et démontrons la à l'ordre n: (x+y)$^{n}$ = (x+y).(x+y)$^{n-1}$ = (x+y). $\displaystyle{\sum_{i=0}^{n-1} C_{n-1}^i x^i y^{n-1-i}}$ ce qui donne, en distribuant la parenthèse sur chacun des termes de la somme: $\displaystyle{\sum_{i=0}^{n-1} C_{n-1}^i x^{i+1} y^{n-1-i}}$+ $\displaystyle{\sum_{i=0}^{n-1} C_{n-1}^i x^i y^{n-i}}$. Le premiere partie de l'expression précédente peut encore s'écrire: $\displaystyle{\sum_{i=1}^{n} C_{n-1}^{i-1} x^{i} y^{n-i}}$. Voila qui permet de l'additionner à la seconde partie et cela donne: $\displaystyle{\sum_{i=0}^{n} (C_{n-1}^{i-1}+C_{n-1}^i) x^{i} y^{n-i}}$ mais comme C$_{n-1}^{i-1}$+C$_{n-1}^i$=C$_n^i$ la formule est démontrée.


next up previous
suivant: Idéaux monter: Anneaux et corps précédent: Introduction
Emmanuel_Vieillard-Baron_Les-mathematiques.net
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
Adresse Mail:

Inscription
Désinscription

Actuellement 16057 abonnés
Qu'est-ce que c'est ?
Taper le mot à rechercher

Mode d'emploi
En vrac

Faites connaître Les-Mathematiques.net à un ami
Curiosités
Participer
Latex et autres....
Collaborateurs
Forum

Nous contacter

Le vote Linux

WWW IMS
Cut the knot
Mac Tutor History...
Number, constant,...
Plouffe's inverter
The Prime page