La notion d'anneau noethérien a un rôle un peu analogue à celle de la notion de compacité en topologie dans le sens où on ramène une propriété ayant ``un caractère infini'' à une propriété ayant un caractère fini. Cette remarque prend encore plus de sens quand on s'intéresse à des anneaux munis d'une topologie ( Topologie de Zariski ). Mais nous ne nous étendrons pas et nous contenterons dans ce paragraphe de donner quelques définitions.
Définition - Proposition Soit A un anneau. A est un anneau Noethérien si il vérifie une des propriétés équivalentes suivantes:
Tout idéal de A est finiment engendré.
Toute suite croissante d'idéaux de A est stationnaire.
Tout ensemble non vide d'idéaux de A possède un élément maximal pour l'inclusion.
Remarque Explicitons les différents termes intervenant dans cette définition:
Définition On entend par suite croissante d'idéaux de A une suite (I) d'idéaux de A telle que pour tout nII. Dire que cette suite est stationnaire revient à dire qu'il existe mtel que si nm alors I=I.
Définition Si l'on considère un ensemble X constitué de sous ensembles d'un ensemble donné (désolé pour la formulation!), on peut considérer la relation ``être inclus dans'' comme un ordre partiel sur X. Un élément Y sera dit maximal pour la relation d'inclusion si pour tout élément Y de X, Y est inclus dans Y.
Démontrons maintenant la propriété.
Démonstration
Supposons que tout idéal de A est finiment engendré et montrons que toute suite croissante d'idéaux de A est finiment engendré. Soit (I) une suite croissante d'idéaux de A. Chacun de ses idéaux I possède, par hypothèse, un ensemble fini de générateurs que l'on note J. Comme la suite (I) est croissante, il en est de même de la suite (J). Intéressons nous à l'idéal donné par
. C'est bien un idéal de A ( Exercice! ). Et l'ensemble de ses générateurs est donné par
. Comme J est fini et que la suite (J) est croissante, ceci implique que la suite (J) est stationnaire. Mais donc, pour un certain n, J=J si mn et I=I si mn. La suite (I) est bien stationnaire.
Supposons maintenant que toute suite croissante d'idéaux de A (I) est stationnaire. Soit un sous ensemble de l'ensemble de tous les idéaux de A. Montrons que possède un élément maximal pour l'inclusion. Pour cela construisons la suite d'idéaux de A suivante: Soit I un élément de , on pose I=I. Si I est le seul idéal de alors on cesse notre construction et I est l'élément maximal de recherché. Sinon il existe un idéal I de J dans différent de I. On pose I=IJ. Supposons ainsi construits les n premiers termes de la suite I et construisons le n+1 terme. Si il n'existe pas d'idéal dans qui soit différent de I,...,I alors on pose I=I. Sinon on choisit un idéal K de qui n'est pas égal à l'un des I,...,I. La suite (I) est ainsi construite par récurrence sur n. Cette suite est, par construction, croissante, et par hypothèse, stationnaire. Il existe donc ntel que II. Cela signifie qu'au rang n, on ne peut trouver d'idéal I dans qui ne soit égal à un n premiers termes de la suite (I). Cela signifie aussi que tout les idéaux de sont sous ensembles de I et que I est élément maximal de , Cqfd.
Montrons enfin la dernière implication. Supposons donc que toute famille d'idéaux de A possède un élément maximal et montrons que tout idéal est finiment engendré. Soit I un idéal de A. Supposons que I ne soit pas finiment engendré. Alors il existe aA tel que I=I+(a) est un idéal de A contenant I mais non contenu dans I. I n'est pas non plus finiment engendré car si c'était le cas, il en serait de même de I. On construit de la même façon un idéal I=I+(b) où b est un élément de A tel que I ne soit pas contenu dans I. Par récurrence on construit une suite (I) d'idéaux de A tel que chaque idéal I est inclu strictement dans l'idéal I. Mais la suite (I) possède, par hypothèse, un élément maximal et est donc stationnaire. Ceci est en contradiction avec le fait qu'elle soit strictement croissante. L'idéal I est donc finiment engendré.
Proposition Un anneau principal est noethérien.
Démonstration En effet, par définition, tout idéal d'un anneau principal est principal et donc engendré par un unique élément.