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Anneaux Noethériens

La notion d'anneau noethérien a un rôle un peu analogue à celle de la notion de compacité en topologie dans le sens où on ramène une propriété ayant ``un caractère infini'' à une propriété ayant un caractère fini. Cette remarque prend encore plus de sens quand on s'intéresse à des anneaux munis d'une topologie ( Topologie de Zariski ). Mais nous ne nous étendrons pas et nous contenterons dans ce paragraphe de donner quelques définitions.

Définition - Proposition Soit A un anneau. A est un anneau Noethérien si il vérifie une des propriétés équivalentes suivantes:

  • Tout idéal de A est finiment engendré.
  • Toute suite croissante d'idéaux de A est stationnaire.
  • Tout ensemble non vide d'idéaux de A possède un élément maximal pour l'inclusion.
$ $

Remarque Explicitons les différents termes intervenant dans cette définition:

Définition On entend par suite croissante d'idéaux de A une suite (I$_n$)$_{n\in IN}$ d'idéaux de A telle que pour tout n$\in$${\mathbb{N}}$I$_n$$\subset$I$_{n+1}$. Dire que cette suite est stationnaire revient à dire qu'il existe m$\in$${\mathbb{N}}$tel que si n$\geq$m alors I$_n$=I$_{n+1}$.

Définition Si l'on considère un ensemble X constitué de sous ensembles d'un ensemble donné (désolé pour la formulation!), on peut considérer la relation ``être inclus dans'' comme un ordre partiel sur X. Un élément Y$_0$ sera dit maximal pour la relation d'inclusion si pour tout élément Y de X, Y est inclus dans Y$_0$.

Démontrons maintenant la propriété.

Démonstration

  • Supposons que tout idéal de A est finiment engendré et montrons que toute suite croissante d'idéaux de A est finiment engendré. Soit (I$_n$)$_{n\in IN}$ une suite croissante d'idéaux de A. Chacun de ses idéaux I$_k$ possède, par hypothèse, un ensemble fini de générateurs que l'on note J$k$. Comme la suite (I$_n$)$_{n\in IN}$ est croissante, il en est de même de la suite (J$_n$)$_{n\in IN}$. Intéressons nous à l'idéal donné par $I=\displaystyle{\bigcup_{n\in IN} I_n}$. C'est bien un idéal de A ( Exercice! ). Et l'ensemble de ses générateurs est donné par $J=\displaystyle{\bigcup_{n\in IN} J_n}$. Comme J est fini et que la suite (J$_n$)$_{n\in IN}$ est croissante, ceci implique que la suite (J$_n$)$_{n\in IN}$ est stationnaire. Mais donc, pour un certain n$\in$${\mathbb{N}}$, J$_m$=J$_n$ si m$\geq$n et I$_m$=I$_n$ si m$\geq$n. La suite (I$_n$)$_{n\in IN}$ est bien stationnaire.
  • Supposons maintenant que toute suite croissante d'idéaux de A (I$_n$)$_{n\in IN}$ est stationnaire. Soit $\cal A$ un sous ensemble de l'ensemble de tous les idéaux de A. Montrons que $\cal A$ possède un élément maximal pour l'inclusion. Pour cela construisons la suite d'idéaux de A suivante: Soit I un élément de $\cal A$, on pose I$_0$=I. Si I est le seul idéal de $\cal A$ alors on cesse notre construction et I est l'élément maximal de $\cal A$ recherché. Sinon il existe un idéal I de J dans $\cal A$ différent de I. On pose I$_1$=I$\cup$J. Supposons ainsi construits les n premiers termes de la suite I$_k$ et construisons le n+1$^{ieme}$ terme. Si il n'existe pas d'idéal dans $\cal A$ qui soit différent de I$_0$,...,I$_n$ alors on pose I$_{n+1}$=I$_n$. Sinon on choisit un idéal K de $\cal A$ qui n'est pas égal à l'un des I$_0$,...,I$_n$. La suite (I$_n$)$_{n\in IN}$ est ainsi construite par récurrence sur n. Cette suite est, par construction, croissante, et par hypothèse, stationnaire. Il existe donc n$\in$${\mathbb{N}}$tel que $\forall k\in$ ${\mathbb{N}}$I$_k \subset$I$_n$. Cela signifie qu'au rang n, on ne peut trouver d'idéal I dans $\cal A$ qui ne soit égal à un n premiers termes de la suite (I$_n$)$_{n\in IN}$. Cela signifie aussi que tout les idéaux de $\cal A$ sont sous ensembles de I$_n$ et que I$_n$ est élément maximal de $\cal A$, Cqfd.
  • Montrons enfin la dernière implication. Supposons donc que toute famille d'idéaux de A possède un élément maximal et montrons que tout idéal est finiment engendré. Soit I un idéal de A. Supposons que I ne soit pas finiment engendré. Alors il existe a$\in$A tel que I$_1$=I+(a) est un idéal de A contenant I mais non contenu dans I. I$_1$ n'est pas non plus finiment engendré car si c'était le cas, il en serait de même de I. On construit de la même façon un idéal I$_2$=I$_1$+(b) où b est un élément de A tel que I$_2$ ne soit pas contenu dans I$_1$. Par récurrence on construit une suite (I$_n$)$_{n\in IN}$ d'idéaux de A tel que chaque idéal I$_n$ est inclu strictement dans l'idéal I$_{n+1}$. Mais la suite (I$_n$)$_{n\in IN}$ possède, par hypothèse, un élément maximal et est donc stationnaire. Ceci est en contradiction avec le fait qu'elle soit strictement croissante. L'idéal I est donc finiment engendré.

$ $

Proposition Un anneau principal est noethérien.

Démonstration En effet, par définition, tout idéal d'un anneau principal est principal et donc engendré par un unique élément.


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