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Homomorphismes d'anneaux et anneaux quotients

Définition Soient A et A' deux anneaux. On notera + et . leur addition et multiplication respectives sans chercher à les distinguer. De même, on notera indifféremment 1 l'élément unité de l'anneau A et celui de l'anneau A'. On dira qu'une application $f:A\longrightarrow A'$ est un (homo)morphisme d'anneau si:

  • $\forall x,y\in A,  f(x+y)=f(x)+f(y)$.
  • $\forall x,y\in A,  f(x.y)=f(x).f(y)$.
  • $f(1)=1$.
$ $

Remarque Les propriétés vraies pour les morphismes de groupes restent vraies pour les morphismes d'anneaux. On retrouvera de plus les mêmes objets qu'en théorie des groupes. Par exemple, un morphisme d'anneaux bijectifs sera un isomorphisme d'anneaux. Afin de ne pas alourdir cette leçon, nous épargnerons le lecteur d'une série de définitions évidentes si l'on a pris connaissance du cours de théorie des groupes.

Proposition Si $f$ est un homomorphisme entre les anneaux A et A' alors Ker $f$ est un idéal de l'anneau de A.

Démonstration Un homomorphisme d'anneaux étant un homomorphisme de groupe, on sait déjà que Ker $f$ est un sous groupe de A pour la loi +. Soit maintenant un élément a de A et soit x un élément de Ker $f$. On a: $f(a.x)=f(a).f(x)=f(a).0=0$. Ainsi Ker $f$ est un idéal à gauche. On démontrerait de même que c'est un idéal à droite et donc que c'est un idéal bilatère.

Proposition L'image d'un anneau par un homorphisme d'anneau est un sous-anneau de l'anneau d'arrivée du morphisme.

Démonstration Facile!!

Définition - Proposition Soit A un anneau et I un idéal de A. On considère la relation d'équivalence suivante: Si x,y$\in$A alors x$\sim$y $\Leftrightarrow$ x-y$\in$I. L'ensemble des classes d'équivalences A/$\sim$ de cette relation d'équivalence peut être muni d'une structure d'anneau par: si $\overline x$ et $\overline y$ désignent les classes d'équivalences de x et y dans A/$\sim$)

\begin{displaymath}\overline x + \overline y=\overline{x+y}\end{displaymath}

et

\begin{displaymath}\overline x . \overline y=\overline{x.y}.\end{displaymath}

L'ensemble des classes d'équivalences A/$\sim$ sera appelé anneau quotient et sera noté A/I.

Démonstration Il faut évidemment commencer par vérifier que les lois additives et multiplicatives ainsi posées sont bien définies et qu'elles engendrent une structure d'anneau sur A/$\sim$. La loi additive sur A étant commutative et tout idéal de A étant un sous groupe de A, on est assuré du fait que I est un sous groupe normal de A et donc que (A/$\sim$,+) possède une structure de groupe. Considérons maintenant la loi multiplicative. Il faut vérifier que si x et x' sont dans une même classe d'équivalence et que y et y' sont dans une autre même classe d'équivalence alors $\overline{x.y}=\overline {x'.y'}$. Pour ce faire étudions la différence x.y-x'.y'. On a l'égalité: x.y-x'.y'=(x-x').y-x'(y-y'). Mais x-x' est élément de I donc, I étant un idéal bilatère, (x-x').y est élément de I. De même y'-y est élément de I et x'.(y'-y) aussi. La différence de deux éléments de I est encore un élément de I. x.x'-y.y' est donc bien un élément de I, Cqfd. On vérifie ensuite sans peine que la loi multiplicative complète la loi additive de A/I en engendrant une structure d'anneau sur cet anneau.

Théorème (Théorème d'isomorphisme pour les anneaux ) Soient A et A' des anneaux, soit $f$ un morphisme d'anneau de A dans A'. A/Ker $f$ est un anneau isomorphe à l'anneau $f$(A). De plus, cet isomorphisme est donné par l'application $\overline f$ définie par

\begin{displaymath}\overline f \circ \Pi (x)= f(x)\end{displaymath}

$\Pi$ désigne la projection $\Pi$:A$\rightarrow$A/Ker $f$ x $\rightarrow \overline x$.

Démonstration A et A' étant des groupes additifs et $f$ étant aussi un homomorphisme entre groupes additifs, le premier théorème d'isomorphisme nous assure de l'existence d'une application $\overline f$ définissant un isomorphisme de groupe entre A/Ker $f$ et $f$(A). Reste à voir que cet isomorphisme est un isomorphisme d'anneaux. Pour cela, il faut vérifier que $\overline f (\overline x .\overline y)=\overline f ( \overline x). \overline f( \overline y)$. Mais si l'on se souvient que $f$ est un morphisme d'anneau ainsi que la définition de $\overline f$, cela devient évident.

Notation Si P est une partie de l'anneau A, on notera $\overline P$ l'ensemble des classes d'équivalence des éléments de P.

Proposition fondamentale On a une bijection entre les idéaux de A/I et les idéaux de A contenant I via l'application:

\begin{displaymath}\Pi: \lbrace  ideaux  de  A  contenant  I \rbrace \rightarrow \lbrace ideaux  de  A/I\rbrace\end{displaymath}


\begin{displaymath}J \rightarrow \Pi(J)=\overline J.\end{displaymath}


Démonstration Remarquons que $\Pi$ est bien définie et qu'à un idéal de A contenant I, elle associe bien un idéal de A/I.
Soit M un idéal de A/I. Montrons que $\Pi$$^{-1}$(M) est un idéal de A contenant I.
Tout d'abord $\Pi$$^{-1}$(M) est un idéal de A: si x et y $\in$ $\Pi$$^{-1}$(M), l'élément x-y de A vérifie $\Pi$(x-y)=$\overline x$-$\overline y$ qui est élément de M. Ceci nous permet d'affirmer que x-y$\in$ $\Pi$$^{-1}$(M). De plus comme $\overline 0$ est élément de l'idéal M, 0 est élément de $\Pi$$^{-1}$(M). Ainsi $\Pi$$^{-1}$(M) a une structure de groupe additif.
Soit maintenant un élément m de $\Pi$$^{-1}$(M) et un élément a de A. Montrons que a.m est élément de $\Pi$$^{-1}$(M). Il suffit pour cela de remarquer que $\Pi$(a.m)=$\Pi$(a).$\Pi$(m)=$\overline a$.$\overline m$ qui est élément de M car M est un idéal de A/I. Ainsi $\Pi$$^{-1}$(M) a une structure d'idéal à gauche. On montrerait de même que $\Pi$$^{-1}$(M) a une structure d'idéal à droite et donc que c'est un idéal bilatère.
Remarquons que $\Pi$$^{-1}$(M) est un idéal de A contenant I. En effet, comme M est un idéal de A/I, il contient l'élément nul de A/I, et donc $\Pi$$^{-1}$(M) contient $\Pi$$^{-1}$(0)=I.
Cette étude de $\Pi$$^{-1}$(M) pour un idéal M de A/I nous permet d'être assuré du fait que l'application $\Pi$$^{-1}$ est bien définie de l'ensemble des idéaux de A/I dans l'ensemble des idéaux de A qui contiennent I.
De plus si M est un idéal de A/I, $\Pi$($\Pi$$^{-1}$(M))=M et si K est un idéal de A contenant I, $\Pi$$^{-1}$($\Pi$(K))=K. L'application $\Pi$ est donc une bijection, Cqfd.

Proposition Soit A un anneau et I un idéal de A. La bijection $\Pi$ qui à un idéal J de A contenant I associe l'idéal $\overline J$ de A/I respecte l'inclusion ($J_1$, $J_2$ sont des idéaux de A contenant I et $J'_1$, $J'_2$ sont des idéaux de A/I):

\begin{displaymath}J_1\subset J_2 \Rightarrow \Pi(J_1) \subset \Pi(J_2)\end{displaymath}

et

\begin{displaymath}J'_1\subset J'_2 \Rightarrow \Pi^{-1}(J'_1) \subset \Pi^{-1}(J'_2).\end{displaymath}


Démonstration C'est évident!!

Voyons maintenant comment les propriétés de l'anneau passent à l'anneau quotient.

Proposition Soit A un anneau et I un idéal de A.

  • Si A est commutatif, il en est de même de A/I.
  • Si A est unitaire, A/I est aussi unitaire.
$ $

Démonstration

  • Supposons que A est commutatif et reprenons la définition de la multiplication de A/I. Cela donne:

    \begin{displaymath}\overline x . \overline y=\overline{x.y}=\overline{y.x}=\overline y . \overline{x}\end{displaymath}

    .
  • Supposons maintenant que A est unitaire. Considérons aussi l'élément $\overline{1}$ de A/I. Montrons que cet élément est le neutre de la multiplication de l'anneau quotient. Il faut vérifier ici que pour tout $\overline x$ de A/I, $\overline x . \overline 1=\overline 1 . \overline x=\overline x$. Mais à nouveau en écrivant

    \begin{displaymath}\overline x . \overline 1=\overline{x.1}=\overline{1.x}=\overline 1 . \overline x=\overline{1.x}=\overline x,\end{displaymath}

    on obtient l'égalité voulue.
$ $

Proposition Si I est un idéal dans un anneau A, on a l'équivalence suivante: I est un idéal premier $\Leftrightarrow$ A/I est intègre.

Démonstration Supposons que I est premier alors I n'est pas égal à A tout entier et donc A/I n'est pas réduit à $\lbrace 0 \rbrace$. De plus si $\overline x$ et $\overline y$ sont des éléments de A/I tels que $\overline x . \overline y = 0$ alors cela implique que x.y est élément de I et, I étant premier, que x ou y est élément de I ce qui se traduit encore par $\overline x = 0$ ou $\overline y = 0$, Cqfd.
Réciproquement si A/I est intègre alors A/I n'est pas réduit à l'élément nul de l'anneau et I n'est pas égal à l'anneau tout entier. Si x et y sont éléments de A et que x.y est élément de I alors $\overline x . \overline y = 0$ et comme A/I est intègre, soit $\overline x = 0$, soit $\overline y = 0$, ce qui implique que soit x$\in$I, soit y$\in$ I et I est bien un idéal premier.

Proposition Si A est un anneau noethérien et que I est un idéal de A alors A/I est aussi un anneau noethérien.

Démonstration Supposons que A est un anneau noethérien. Soit (I$_n$)$_{n\in IN}$ une suite croissante d'idéaux de A/I. Soit aussi la suite ($\Pi$$^{-1}$(I$_n$))$_{n\in IN}$$\Pi$ désigne la bijection qui à un idéal de A contenant I associe un idéal de A/I. ($\Pi$$^{-1}$(I$_n$))$_{n\in IN}$ est encore une suite croissante d'idéaux de A. Cette suite est donc stationnaire. Mais il en est alors de même de la suite ($\Pi$($\Pi$$^{-1}$(I$_n$)))$_{n\in IN}$=(I$_n$)$_{n\in IN}$. L'anneau A/I est donc noethérien.

La propriété qui suit est bien agréable quand on fait de l'arithmétique.

Théorème Soit A un anneau et I un idéal de A: I est maximal $\Leftrightarrow$ A/I est un corps.

Démonstration Rappellons nous tout d'abord qu'un anneau est un corps si et seulement si ses seuls idéaux sont l'idéal nul et l'anneau tout entier.
Supposons que I est un idéal maximal de A. Les idéaux de A/I sont en bijection avec les idéaux de A contenant I. Les seul idéaux de A contenant I sont A et I lui même. Donc les seuls idéaux de A/I sont A/I et l'idéal nul. A/I est donc un corps.
Réciproquement si A/I est un corps, ses seuls idéaux sont l'idéal nul et A/I tout entier. Les idéaux de A contenant I ne peuvent donc être que I et l'anneau tout entier. Ceci prouve que I est maximal dans A/I.

Voici, pour terminer, une jolie application de la notion d'anneau quotient:

Proposition Soit A un anneau. Si I est un idéal maximal de A alors I est aussi un idéal premier.

Démonstration Supposons que I soit un idéal maximal de A. Alors A/I est un corps. Mais tout corps est intègre. Donc A/I est intègre. Cela est équivalent au fait que I est premier dans A.

Corollaire Tout idéal dans un anneau est inclu dans un idéal premier ( et maximal ).

Démonstration Le théorème de Krull permet d'affirmer que tout idéal I d'un anneau A est inclu dans un idéal maximal I'. Tout idéal maximal étant premier, la proposition est démontrée.


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