Soient et
des entiers
et
des entiers quelconques.
Considérons le système
Supposons que et sont deux solutions.
Alors la différence est divisible par tous les
et donc par leur plus petit commun multiple
PPCM . Donc s'il existe une
solution, sa classe modulo est unique.
Il peut ne pas exister de solution comme le montre l'exemple
du système
ou encore celui du système
Notons que nous n'avons pas exclu ce genre de
contradictions banales.
L'application systématique du lemme chinois nous permettra
de réduire tout système de congruences soit à un
système contradictoire soit à une seule congruence
modulo le plus petit commun multiple des modules.
Nous ne développons pas ici la méthode dans le
cas général mais nous limitons à la décrire
dans un exemple simple.
Considérons le système
Il s'agit de déterminer tous les entiers pour lesquels
le sytème admet des solutions et de calculer les solutions
dans ce cas. Constatons tout d'abord que les nombres
et ne sont pas premiers entre eux de façon
que le lemme chinois ne s'applique pas immédiatement.
Pour résoudre le problème,
nous allons dans une première étape
augmenter le nombre d'équations pour
obtenir des modules qui sont des puissances de nombres
premiers. Nous avons ainsi
et d'après
le lemme chinois la première congruence est équivalente
au système
De même, puisque nous avons
, la seconde
congruence est équivalente au système
Nous avons ainsi trouvé un système de quatre congruences
qui est équivalent au système de départ. Nous le
réécrivons dans un ordre où les puissances de chaque
nombre premier sont regroupées ensemble et les puissances
les plus élevées apparaissent en premier lieu :
(10.1)
(10.2)
(10.3)
(10.4)
Rappelons-nous que si nous avons
alors
nous avons aussi
pour tout diviseur
de (en effet, si et alors
). L'équation () implique donc
que
de façon que les équations
() et () sont contradictoires sauf
si
. De même, les équations
() et () sont contradictoires sauf
si
. Nous avons donc les conditions
qui sont nécessaires pour qu'une solution existe.
Réciproquement, ces conditions sont aussi suffisantes
car si elles sont vérifiées, la congruence
() est une conséquence de (), et
() est une conséquence de ()
de façon que le système tout entier est équivalent
à un système de deux congruences
Nous avons l'équation de Bézout
.
Donc, d'après le lemme chinois, ce système est
équivalent à la congruence
ou encore
. En conclusion,
le système de départ admet une solution si et
seulement si
et dans ce cas l'ensemble
des solutions est l'ensemble des entiers tels que
.