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Classes de congruence inversibles


Définition Soit $ n\geq 2$ un entier. Une classe de congruence $ \overline {a}\in{\mbox{\bf Z}}/n{\mbox{\bf Z}}$ est inversible s'il existe une classe $ \overline {b}$ telle que $ \overline {a} \overline {b} =\overline {1}$. On note $ ({\mbox{\bf Z}}/n{\mbox{\bf Z}})^*$ l'ensemble des classes inversibles.

Lemme Muni de la multiplication naturelle, l'ensemble des classes inversibles est un groupe d'élément neutre $ \overline {1}$.

Remarque 26   Le lemme implique que si la classe $ \overline {a}$ est inversible, alors la classe $ \overline {b}$ telle que $ \overline {a} \overline {b} =\overline {1}$ est unique. On l'appelle la classe inverse de $ \overline {a}$.


Démonstration. Il s'agit d'abord de vérifier que la loi de multiplication est bien définie, c'est-à-dire que le produit de deux classes inversibles est encore inversible. En effet, si $ \overline {a} \overline {b} =\overline {1}$ et $ \overline {a'} \overline {b'} = \overline {1}$, alors $ (\overline {a} \overline {a'}) ( \overline {b'}\overline {b})=\overline {1}$. La loi est associative car la multiplication de $ {\mbox{\bf Z}}/n{\mbox{\bf Z}}$ est associative. Elle admet l'élément $ \overline {1}$ pour élément neutre. Finalement, par définition, tout élément de $ ({\mbox{\bf Z}}/n{\mbox{\bf Z}})^*$ admet un inverse.$ \surd$

Lemme Une classe $ \overline {a}$ est inversible ssi $ a$ et $ n$ sont premiers entre eux.


Démonstration. En effet, la classe $ a$ est inversible, ssi l'équation $ ab=1+kn$ admet des solutions $ b,k\in{\mbox{\bf Z}}$. Or cette équation est une variante de l'équation de Bézout $ a b + (-n) k =1$ aux inconnues $ b$, $ k$. L'affirmation en résulte.$ \surd$

Lemme Supposons que la classe $ \overline {x}$ est inversible. Alors la congruence $ a\equiv b\;(n)$ est équivalente à $ ax\equiv bx \;(n)$.

Remarque 27   L'affirmation du lemme est fausse si la classe $ \overline {x}$ n'est pas inversible.


Démonstration. Supposons que $ \overline {x}\overline {y}=\overline {1}$. Alors $ x y \equiv 1\; (n)$ et donc la congruence $ ax y \equiv bx y\;(n)$ implique $ a\equiv b\;(n)$.$ \surd$


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Bernhard_Keller
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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