Définition Soit un entier. Une classe de
congruence
est inversible s'il existe
une classe
telle que
.
On note
l'ensemble des classes inversibles.
Lemme Muni de la multiplication naturelle, l'ensemble
des classes inversibles est un groupe d'élément
neutre
.
Remarque 26
Le lemme implique que si la classe
est inversible, alors la classe
telle que
est unique. On l'appelle la classe
inverse de
.
Démonstration. Il s'agit d'abord de vérifier que la
loi de multiplication est bien définie, c'est-à-dire
que le produit de deux classes inversibles est encore inversible.
En effet, si
et
,
alors
. La loi
est associative car la multiplication de
est
associative. Elle admet l'élément
pour élément
neutre. Finalement, par définition, tout élément
de
admet un inverse.
Lemme Une classe
est inversible ssi
et sont premiers entre eux.
Démonstration. En effet, la classe est inversible,
ssi l'équation admet des solutions
.
Or cette équation est une variante de l'équation
de Bézout
aux inconnues , .
L'affirmation en résulte.
Lemme Supposons que la classe
est inversible.
Alors la congruence
est équivalente
à
.
Remarque 27
L'affirmation du lemme est fausse si
la classe
n'est pas inversible.
Démonstration. Supposons que
.
Alors
et donc la congruence
implique
.
un entier. Une classe de
congruence
telle que
.
On note
l'ensemble des classes inversibles
.
est inversible, alors la classe
,
alors
. La loi
est associative car la multiplication de
est
associative. Elle admet l'élément
et 
sont premiers entre eux.
admet des solutions
.
Or cette équation est une variante de l'équation
de Bézout
aux inconnues 
, 
.
L'affirmation en résulte.
est inversible.
Alors la congruence
est équivalente
à
.
.
Alors
et donc la congruence
implique
