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Anneaux, groupes et lemme chinois

Définition Un anneau est un triplet $ (A,+,\;\cdot)$ formé d'un ensemble $ A$ et deux deux applications

$\displaystyle +\;: A\times A \rightarrow A \: , \;(a,b) \mapsto a+b  $    et $\displaystyle \quad
\cdot\; : A \times A \rightarrow A \: , \;(a,b) \mapsto ab
$

appelées l'addition et la multiplication de $ A$ et qui vérifient les axiomes suivants
(1)
Le couple $ (A,+)$ est un groupe commutatif. On note $ 0_A$ ou 0 son élément neutre.
(2)
La multiplication $ \cdot$ est associative et admet un élément neutre noté $ 1_A$ ou $ 1$.
(3)
L'addition et la multiplication vérifient les règles de distributivité
$\displaystyle a(b+c)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle ab + ac$  
$\displaystyle (a+b) c$ $\displaystyle =$ $\displaystyle ac + bc$  

quels que soient $ a,b,c$ éléments de $ A$.
Un anneau est commutatif si sa multiplication est commutative.


Exemples.Les ensembles $ {\mbox{\bf Z}}$, $ {\mbox{\bf Q}}$, $ {\mbox{\bf R}}$ et $ {\mbox{\bf C}}$ munis de leurs opérations d'addition et de multiplication habituelles sont des anneaux commutatifs. L'anneau $ M_2({\mbox{\bf R}})$ des matrices

$\displaystyle \left[\begin{array}{cc} a & b  c & d \end{array} \right]
$

avec l'addition et la multiplication des matrices est un anneau non-commutatif. En effet, si on pose

$\displaystyle A= \left[\begin{array}{cc} 0 & 1  0 & 0 \end{array} \right] \;
\: , \;
B= \left[\begin{array}{cc} 0 & 0  1 & 0 \end{array} \right]
$

on a $ AB\neq BA$.

Définition Soit $ A=(A, + , \; \cdot)$ un anneau. Un élément $ a\in A$ est inversible s'il existe un élément $ b\in A$ tel que $ ab=1_A=ba$. On note $ A^*$ l'ensemble des éléments inversibles de $ A$. L'anneau $ A$ est un corps si $ A^*=A\setminus \{0\}$, c'est-à-dire que tout élément non nul de $ A$ est inversible (et que $ A\neq \{0_A\}$).


Exemples.Pour le cas de l'anneau $ A={\mbox{\bf Z}}/n{\mbox{\bf Z}}$, cette définition est celle de la section précédente. Les anneaux $ {\mbox{\bf Q}}$, $ {\mbox{\bf R}}$ et $ {\mbox{\bf C}}$ sont des corps.

L'anneau $ {\mbox{\bf Z}}/n{\mbox{\bf Z}}$ est un corps si et seulement si $ n$ est premier. Soit $ p$ un nombre premier. Alors $ ({\mbox{\bf Z}}/p{\mbox{\bf Z}})^*$ est formé des $ p-1$ classes $ \overline {1}, \overline {2}, \ldots, \overline {p-1}$. Soit $ n$ un entier $ \geq 1$. Alors $ ({\mbox{\bf Z}}/p^n{\mbox{\bf Z}})$ est le complémentaire dans $ {\mbox{\bf Z}}/p^n {\mbox{\bf Z}}$ des $ p^{n-1}$ classes $ \overline {p}, \overline {2p}, \ldots, \overline {(p^{n-1}-1)p}$. Donc

$\displaystyle \vert({\mbox{\bf Z}}/p{\mbox{\bf Z}})^*\vert = p-1 \mbox{ et }
\vert({\mbox{\bf Z}}/p^n{\mbox{\bf Z}})^*\vert = p^n - p^{n-1}= p^{n-1}(p-1).
$

Remarque 28   Si l'élément $ 0_A$ est inversible dans l'anneau $ A$, alors nous avons $ 0_A = 1_A$ et $ A=\{0_A\}=\{1_A\}$. En effet, supposons que $ 0\; b= 1$. Nous affirmons que $ 0 b = 0$; en effet, il suffit de rajouter $ -0\;b$ des deux côtés de léquation $ 0 \; b= (0+0)\;b= 0\; b + 0\; b$.

Lemme Soit $ A=(A, + , \; \cdot)$ un anneau. Alors si deux éléments sont inversibles, leur produit l'est encore. L'ensemble $ A^*$ muni de la multiplication déduite de celle de $ A$ est un groupe d'élément neutre $ 1_A$.

Remarque 29   Il s'ensuit que l'inverse d'un élément inversible d'un anneau est unique (car l'inverse d'un élément d'un groupe est unique).


Démonstration. Supposons que $ a$ et $ b$ sont inversibles et que $ aa'=1=a'a$ et $ bb'=1=b'b$. Alors nous avons $ (ab)(b' a')=1=(b' a')(a b)$ de façon que $ ab$ est inversible. L'associativité de la multiplication est conséquence de la même propriété pour la multiplication dans un anneau et de même l'existence d'un élément neutre. L'existence des inverses résulte de la définition de $ A^*$.$ \surd$

Lemme - définition Soient $ (A_1, +, \cdot)$ et $ (A_2, +, \cdot)$ deux anneaux. L'ensemble $ A_1 \times A_2$ muni des lois définies par

$\displaystyle (a_1, a_2) + (a_1', a_2')=(a_1+a_1', a_2'+a_2')$      
$\displaystyle (a_1, a_2)\cdot (a_1', a_2')=(a_1 a_1', a_2 a_2')$      

est un anneau appelé l'anneau produit de $ A_1$ par $ A_2$. L'élément neutre pour l'addition de $ A_1 \times A_2$ est le couple $ (0,0)$ et celui pour la multiplication le couple $ (1,1)$.

Remarque 30   En appliquant plusieurs fois ce résultat nous obtenons un grand nombre de nouveaux exemples d'anneaux. Par exemple, tous les anneaux suivants sont de cardinal 24

$\displaystyle {\mbox{\bf Z}}/24{\mbox{\bf Z}}\: , \;
{\mbox{\bf Z}}/3{\mbox{\bf...
...Z}}\times {\mbox{\bf Z}}/4{\mbox{\bf Z}}\times {\mbox{\bf Z}}/3{\mbox{\bf Z}}.
$

Nous allons voir que certains de ces anneaux sont ``isomorphes'', c'est-à-dire qu'ils ne se distinguent pas de façon essentielle.


Démonstration. Il s'agit de vérifier les trois groupes d'axiomes pour les lois définies sur $ A_1 \times A_2$. A titre d'exemple, vérifions que la multiplication est associative. En effet, en utilisant la définition de la multiplication sur $ A_1 \times A_2$ et l'accociativité de la multiplication dans $ A_1$ et $ A_2$, nous avons

$\displaystyle ((a_1, a_2) \cdot (a_1', a_2')) \cdot (a_1'', a_2'')$ $\displaystyle =$ $\displaystyle (a_1 a_1', a_2 a_2') \cdot (a_1'', a_2'') =
((a_1 a_1') a_1'', (a_2 a_2') a_2'')$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle (a_1 (a_1' a_1''), a_2 (a_2' a_2'')) =
(a_1, a_2)\cdot (a_1' a_1'', a_2' a_2'')$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle (a_1, a_2) \cdot ((a_1', a_2') \cdot (a_1'', a_2'')).$  

Nous laissons au lecteur le soin d'écrire les démonstrations des autres propriétés.$ \surd$

Lemme - définition Soient $ (G_1, \star)$ et $ (G_2, \star)$ deux groupes. L'ensemble $ G_1\times G_2$ muni de la loi

$\displaystyle (g_1, g_2)\star (g_1', g_2')= (g_1 \star g_1', g_2 g_2')
$

est un groupe d'élément neutre le couple $ (e, e)$.


Démonstration. La démonstration est analogue à celle du lemme-définition précédent. $ \surd$

Lemme Soient $ (A_1, +, \cdot)$ et $ (A_2, +, \cdot)$ deux anneaux. Alors nous avons l'égalité

$\displaystyle (A_1 \times A_2)^\star = A_1^\star \times A_2^\star.
$

En outre la loi de groupe sur $ (A_1\times A_2)^\star$ est celle du groupe produit $ A_1^\star \times A_2^\star$.


Démonstration. Soit $ (a_1, a_2)$ un couple d'éléments inversibles. Soient $ a_1'$ et $ a_2'$ les inverses de $ a_1$ et $ a_2$. Alors nous avons

$\displaystyle (a_1', a_2')\cdot (a_1, a_2)= (1,1) = (a_1, a_2) \cdot (a_1', a_2')
$

ce qui signifie que $ (a_1, a_2)$ est inversible dans $ A_1 \times A_2$ d'inverse $ (a_1', a_2')$. Ainsi l'ensemble $ A_1^\star \times A_2^\star$ est inclus dans $ (A_1\times A_2)^\star$. Réciproquement, soit $ (a_1, a_2)$ un élément inversible de $ A_1 \times A_2$ et soit $ (a_1', a_2')$ son inverse. Alors on vérifie aussitôt que $ a_1'$ est inverse à $ a_1$ dans $ A_1$ et que $ a_2'$ est inverse à $ a_2$ dans $ A_2$. La dernière affirmation est une conséquence immédiate des définitions.$ \surd$

Définition Soient $ (A, +,\cdot)$ et $ (B, +, \cdot)$ deux anneaux. Une application $ f: A \rightarrow B$ est un homomorphisme d'anneaux si elle vérifie

$\displaystyle f(a+a')$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f(a) + f(a')$  
$\displaystyle f(a \cdot a')$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f(a) \cdot f(a')$  
$\displaystyle f(1_A)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 1_B$  

quels que soient $ a,a'\in A$. C'est un isomorphisme d'anneaux si en plus, elle est bijective. Les anneaux $ A$ et $ B$ sont isomorphes s'il existe un isomorphisme de $ A$ vers $ B$.

Exemple 31   Soient $ A_1$ et $ A_2$ deux anneaux. Considérons l'application

$\displaystyle f : A_1 \times A_2 \rightarrow A_2 \times A_1\: , \;
(a_1, a_2) \mapsto (a_2, a_2).
$

Alors on vérifie que $ f$ est un isomorphisme.

Lemme Soient $ A$ et $ B$ deux anneaux et $ f: A \rightarrow B$ un isomorphisme. Soit $ g: B \rightarrow A$ l'application réciproque de $ f$. Alors $ g$ est un homomorphisme et même un isomorphisme.


Démonstration. En effet, soient $ b, b'$ des éléments de $ B$. Pour vérifier qu'on a égalité entre $ g(b b')$ et $ g(b)  g(b')$ il suffit de voir que les images par $ f$ de ces deux éléments coïncident. Or nous avons

$\displaystyle f(g(b b'))=b\;b'= f(g(b))  f(g(b'))= f(g(b) g(b')).
$

De même on vérifie que $ g(b+b')=g(b)+g(b')$. Finalement, l'égalité $ f(1_A)=1_B$ entraîne que $ 1_A= g(1_B)$.$ \surd$

Définition Soit $ G$ et $ H$ deux groupes. Une application $ f: G \rightarrow H$ est un homomorhisme de groupes si elle vérifie

$\displaystyle f(g_1 \star g_2) = f(g_1) \star f(g_2)
$

quels que soient $ g_1, g_2\in G$. C'est un isomorphisme si en plus elle est bijective. Les groupes $ G$ et $ H$ sont isomorphes s'il existe un isomorphisme de $ G$ vers $ H$.

Exemple 32   On peut s'étonner de ne pas trouver l'axiome $ f(e_G)=f(e_H)$ dans cette définition. Or cet axiome est une conséquence de la définition. En effet, nous avons

$\displaystyle f(e_G) = f(e_G \star e_G)= f(e_G) \star f(e_G).
$

Si nous multiplions cette égalité des deux côtés à gauche par l'inverse de $ f(e_G)$ dans $ H$, nous trouvons $ e_H= f(e_G)$. Notons que cette démonstration utilise l'existence des inverses et qu'elle n'a donc pas d'analogue pour les lois de multiplication des anneaux.

Si $ f: G \rightarrow H$ est un isomorphisme de groupes et que $ g: H \rightarrow G$ est l'application réciproque à $ f$, alors $ g$ est un homomorphisme de groupes et même un isomorphisme. Nous laissons au lecteur le soin d'adapter au cadre des groupes la démonstration donnée ci-dessus pour les anneaux.

Lemme Soient $ A$ et $ B$ deux anneaux et $ f: A \rightarrow B$ un homomorphime d'anneaux. Alors nous avons $ f(A^\star)\subset B^\star$ et l'application

$\displaystyle f^\star: A^\star \rightarrow B^\star, a \mapsto f(a)
$

est un homomorphisme de groupes. C'est un isomorphisme de groupes si $ f$ est un isomorphisme d'anneaux.


Démonstration. Supposons que $ a\in A$ est inversible d'inverse $ a'$. Alors $ f(a')$ est inverse à $ f(a)$. En effet, nous avons

$\displaystyle f(a) f(a')= f(a a')=f(1_A)= 1_B = f(a') f(a).
$

Ainsi, l'application $ f$ nous fournit bien une application entre les groupes des éléments inversibles

$\displaystyle f^\star :A^\star \rightarrow B^\star \: , \;a \mapsto f(a).
$

Il est immédiat de constater que cette application est un homomorphisme de groupes. Supposons maintenant que $ f$ est un isomorphisme d'anneaux et soit $ g: B \rightarrow A$ son application réciproque. Alors $ g$ est un homomorphisme et donc $ g(B^\star)$ est contenu dans $ A^\star$. Ceci montre que $ a\in A$ est inversible si et seulement si $ f(a)$ est inversible dans $ B$. Donc dans ce cas $ f^*$ est bijective et c'est donc un isomorphisme de groupes.$ \surd$

Lemme [Lemme chinois en termes d'anneaux résiduels] Soient $ r$ et $ s$ deux entiers $ \geq 2$ et premiers entre eux. Alors l'application

$\displaystyle \Phi : {\mbox{\bf Z}}/rs{\mbox{\bf Z}}\rightarrow {\mbox{\bf Z}}/...
...{\bf Z}}\: , \;
^{rs}\overline{a} \mapsto (^{r}\overline{a}, ^{s}\overline{a})
$

est un isomorphisme d'anneaux.

Remarque 33   Ainsi nous voyons que tous les anneaux suivants sont isomorphes

$\displaystyle {\mbox{\bf Z}}/24{\mbox{\bf Z}}\: , \;
{\mbox{\bf Z}}/3{\mbox{\bf...
...}}\: , \;
{\mbox{\bf Z}}/8{\mbox{\bf Z}}\times {\mbox{\bf Z}}/3{\mbox{\bf Z}}.
$

Nous verrons plus tard que ces anneaux ne sont pas isomorphes à $ {\mbox{\bf Z}}/6{\mbox{\bf Z}}\times {\mbox{\bf Z}}/4{\mbox{\bf Z}}$.


Démonstration. Vérifions que $ \Phi$ est un homomorphisme. En effet pour $ a,b\in{\mbox{\bf Z}}$, nous avons

$\displaystyle \Phi(^{rs}\overline{a} + ^{rs}\overline{b})$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \Phi(^{rs}\overline{a+b}) =
(^{r}\overline{a+b}, ^{s}\overline{a+b})$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle (^{r}\overline{a}+^{r}\overline{b}, ^{s}\overline{a}+^{s}\overline{b})$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle (^{r}\overline{a}, ^{s}\overline{a}) + (^{r}\overline{b}, ^{s}\overline{b}).$  

De même, on vérifie que $ \Phi$ est compatible à la multiplication. Vérifions que $ \Phi$ est injective. En effet, si $ \Phi(^{rs}\overline{a})=\Phi(^{rs}\overline{b})$, alors nous avons $ (^{r}\overline{a}, ^{s}\overline{a})=(^{r}\overline{b}, ^{s}\overline{b})$ et donc
$\displaystyle a$ $\displaystyle \equiv$ $\displaystyle b\; (r)$  
$\displaystyle a$ $\displaystyle \equiv$ $\displaystyle b \; (s) .$  

Ainsi la différence $ a-b$ est divisible par $ r$ est $ s$ et donc par le produit $ r s$, puisque $ r$ et $ s$ sont premiers entre eux. Donc les classes $ ^{rs}\overline{a}$ et $ ^{rs}\overline{b}$ sont égales. Vérifions que $ \Phi$ est surjective. En effet soient $ a_1, a_2\in{\mbox{\bf Z}}$. Alors nous cherchons $ a\in{\mbox{\bf Z}}$ tel que $ (^{r}\overline{a}, ^{s}\overline{a})=(^{r}\overline{a_1}, ^{s}\overline{a_2})$. De façon équivalente, nous cherchons $ a\in{\mbox{\bf Z}}$ solution du système
$\displaystyle a$ $\displaystyle \equiv$ $\displaystyle a_1 \;(r)$  
$\displaystyle a$ $\displaystyle \equiv$ $\displaystyle a_2 \;(s)$  

Or, puisque $ r$ et $ s$ sont premiers entre eux, d'après le lemme chinois pour les congruences, il existe une solution $ a\in{\mbox{\bf Z}}$.$ \surd$

Remarque 34   Les anneaux $ {\mbox{\bf Z}}/rs{\mbox{\bf Z}}$ et $ {\mbox{\bf Z}}/r{\mbox{\bf Z}}\times {\mbox{\bf Z}}/s{\mbox{\bf Z}}$ ont même cardinal (égal à $ r s$). Dans la démonstration, il aurait donc suffi de montrer soit la surjectivité soit l'injectivité de l'application $ \Phi$ pour conclure qu'elle est en fait bijective. Nous avons donné les deux démonstrations pour mieux établir le lien avec le lemme chinois en termes de congruences.

Corollaire Soient $ r s$ des entier $ \geq 2$ et premiers entre eux. Alors l'application

$\displaystyle \Phi^* : ({\mbox{\bf Z}}/rs{\mbox{\bf Z}})^\star \rightarrow ({\m...
...)^\star \: , \;
^{rs}\overline{a} \mapsto (^{r}\overline{a}, ^{s}\overline{a})
$

est un isomorphisme de groupes. En particulier, elle est bijective et le deux groupes sont donc du même ordre.


Démonstration. Le corollaire résulte du lemme précédent et du lemme ([*]).$ \surd$

Définition Soit $ n$ un entier $ \geq 2$. On définit $ \phi(n)$ comme le cardinal du groupe des éléments inversibles de l'anneaux $ {\mbox{\bf Z}}/n{\mbox{\bf Z}}$. La fonction $ \phi$ est l'indicatrice d'Euler.

Corollaire Si $ r$ et $ s$ sont deux entiers $ \geq 2$ et premiers entre eux on a

$\displaystyle \phi(rs)=\phi(r)  \phi(s).
$



Démonstration. Ceci résulte aussitôt de la définition de $ \phi(rs)$ et du corollaire ([*]).$ \surd$

Remarque 35   Le corollaire précédent nous permet de calculer la valeur de $ \phi(n)$ pour tout entier dont nous connaissons la décompositions en facteurs premiers. En effet, si nous avons

$\displaystyle n= p_1^{e_1}   p_2 ^{e_2}   \ldots   p_r^{e_r}
$

alors en applicant le corollaire plusieurs fois nous trouvons

$\displaystyle \phi(n) = \phi(p_1^{e_1}  \phi(p_2^{e_2})  \ldots   \phi(p_r^{e_r}).
$

Mais d'après [*], nous savons que pour un nombre premier $ p$ nous avons

$\displaystyle \phi(p^k)= p^k-p^{k-1}.
$

Donc

$\displaystyle \phi(n)=(p_1^{e_1}-p_1^{e_1-1}) (p_2^{e_2} - p_2^{e_2-1}) \ldots
(p_r^{e_r} - p_r{e_r-1}).
$

Par exemple,

$\displaystyle \phi(36)=\phi(4 \times 9) = \phi(4)   \phi(9)
= (4-2)\times (9-3) = 12
$

et

$\displaystyle \phi(1995)= \phi(3\times 5\times 7 \times 19) = 864.
$


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Bernhard_Keller
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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