Définition Un anneau est un triplet
formé d'un ensemble et deux
deux applications
et
appelées l'addition et la multiplication de et
qui vérifient les axiomes suivants
(1)
Le couple est un groupe commutatif.
On note ou 0 son élément neutre.
(2)
La multiplication est associative et
admet un élément neutre noté ou .
(3)
L'addition et la multiplication vérifient
les règles de distributivité
quels que soient éléments de .
Un anneau est commutatif si sa multiplication est
commutative.
Exemples.Les ensembles
,
,
et
munis de leurs opérations d'addition et de multiplication
habituelles sont des anneaux commutatifs. L'anneau
des matrices
avec l'addition et la multiplication des matrices est un
anneau non-commutatif. En effet, si on pose
on a .
Définition Soit
un anneau.
Un élément est inversible s'il existe
un élément tel que . On note
l'ensemble des éléments inversibles de .
L'anneau est un corps si
,
c'est-à-dire que tout élément
non nul de est inversible (et que
).
Exemples.Pour le cas de l'anneau
, cette
définition est celle de la section précédente.
Les anneaux
,
et
sont des corps.
L'anneau
est un corps si et seulement
si est premier.
Soit un nombre premier. Alors
est formé
des classes
.
Soit un entier . Alors
est le complémentaire dans
des classes
.
Donc
Remarque 28
Si l'élément est inversible dans l'anneau ,
alors nous avons et
.
En effet, supposons que . Nous
affirmons que ; en
effet, il suffit de rajouter des deux côtés
de léquation
.
Lemme Soit
un anneau.
Alors si deux éléments sont inversibles,
leur produit l'est encore. L'ensemble muni
de la multiplication déduite de celle de est un groupe
d'élément neutre .
Remarque 29
Il s'ensuit que l'inverse d'un élément
inversible d'un anneau est unique (car l'inverse d'un élément
d'un groupe est unique).
Démonstration. Supposons que et sont inversibles
et que et . Alors nous avons
de façon que est inversible.
L'associativité de la multiplication est conséquence
de la même propriété pour la multiplication dans
un anneau et de même l'existence d'un élément
neutre. L'existence des inverses résulte de la définition
de .
Lemme- définition Soient
et
deux anneaux. L'ensemble
muni des lois définies par
est un anneau appelé l'anneau produit de par .
L'élément neutre pour l'addition de
est
le couple et celui pour la multiplication le couple
.
Remarque 30
En appliquant plusieurs fois ce résultat
nous obtenons un grand nombre de nouveaux exemples d'anneaux.
Par exemple, tous les anneaux suivants sont de cardinal 24
Nous allons voir que certains de ces anneaux
sont ``isomorphes'', c'est-à-dire qu'ils ne se distinguent
pas de façon essentielle.
Démonstration. Il s'agit de vérifier les trois groupes d'axiomes pour les
lois définies sur
. A titre d'exemple, vérifions
que la multiplication est associative. En effet,
en utilisant la définition de la multiplication sur
et l'accociativité de la multiplication dans
et , nous avons
Nous laissons au lecteur le soin d'écrire les démonstrations
des autres propriétés.
Lemme- définition Soient
et
deux groupes. L'ensemble
muni de la loi
est un groupe d'élément neutre le couple
.
Démonstration. La démonstration est analogue à
celle du lemme-définition précédent.
Lemme
Soient
et
deux anneaux.
Alors nous avons l'égalité
En outre la loi de groupe sur
est celle du groupe produit
.
Démonstration. Soit
un couple d'éléments inversibles.
Soient et les inverses de et .
Alors nous avons
ce qui signifie que
est inversible dans
d'inverse
. Ainsi
l'ensemble
est inclus dans
. Réciproquement, soit
un élément inversible de
et soit
son inverse. Alors on vérifie
aussitôt que est inverse à dans
et que est inverse à dans .
La dernière affirmation est une conséquence immédiate
des définitions.
Définition Soient
et
deux anneaux. Une application
est un
homomorphisme d'anneaux si elle vérifie
quels que soient .
C'est un isomorphisme d'anneaux si en plus, elle
est bijective. Les anneaux et sont isomorphes
s'il existe un isomorphisme de vers .
Exemple 31
Soient et deux anneaux.
Considérons l'application
Alors on vérifie que est un isomorphisme.
Lemme
Soient et deux anneaux et
un isomorphisme.
Soit
l'application réciproque de .
Alors est un homomorphisme et même un isomorphisme.
Démonstration. En effet, soient des éléments de . Pour
vérifier qu'on a égalité entre et
il suffit de voir que les images par
de ces deux éléments coïncident. Or
nous avons
De même on vérifie que
. Finalement,
l'égalité
entraîne que
.
Définition
Soit et deux groupes. Une application
est un homomorhisme de groupes si elle vérifie
quels que soient
. C'est un isomorphisme
si en plus elle est bijective. Les groupes et
sont isomorphes s'il existe un isomorphisme de
vers .
Exemple 32
On peut s'étonner de ne pas trouver l'axiome
dans cette définition. Or cet axiome
est une conséquence de la définition. En
effet, nous avons
Si nous multiplions cette égalité des deux côtés
à gauche par l'inverse de dans , nous
trouvons
. Notons que cette démonstration
utilise l'existence des inverses et qu'elle n'a donc
pas d'analogue pour les lois de multiplication des anneaux.
Si
est un isomorphisme de groupes et que
est l'application réciproque à , alors
est un homomorphisme de groupes et même un isomorphisme.
Nous laissons au lecteur le soin d'adapter au cadre des groupes
la démonstration donnée ci-dessus pour les anneaux.
Lemme
Soient et deux anneaux et
un homomorphime d'anneaux. Alors nous
avons
et l'application
est un homomorphisme de groupes. C'est un isomorphisme
de groupes si est un isomorphisme d'anneaux.
Démonstration. Supposons que
est inversible d'inverse . Alors est inverse
à . En effet, nous avons
Ainsi, l'application nous fournit bien une application
entre les groupes des éléments inversibles
Il est immédiat de constater que cette application est
un homomorphisme de groupes. Supposons maintenant que
est un isomorphisme d'anneaux et soit
son application réciproque. Alors est un homomorphisme
et donc
est contenu dans . Ceci
montre que est inversible si et seulement
si est inversible dans . Donc dans ce cas
est bijective et c'est donc un isomorphisme de
groupes.
Lemme [Lemme chinois en termes d'anneaux résiduels]
Soient et deux entiers et premiers entre eux.
Alors l'application
est un isomorphisme d'anneaux.
Remarque 33
Ainsi nous voyons que tous les anneaux suivants sont isomorphes
Nous verrons plus tard que ces anneaux ne sont pas
isomorphes à
.
Démonstration. Vérifions que est un homomorphisme. En effet
pour
, nous avons
De même, on vérifie que est compatible à la
multiplication. Vérifions que est injective.
En effet, si
, alors
nous avons
et donc
Ainsi la différence est divisible par est
et donc par le produit , puisque et sont premiers
entre eux. Donc les classes
et
sont égales. Vérifions que est surjective.
En effet soient
. Alors nous cherchons
tel que
.
De façon équivalente, nous cherchons
solution du
système
Or, puisque et sont premiers entre eux, d'après le
lemme chinois pour les congruences, il existe une solution
.
Remarque 34
Les anneaux
et
ont même cardinal (égal à ). Dans la démonstration,
il aurait donc suffi de montrer soit la surjectivité soit
l'injectivité de l'application pour conclure qu'elle
est en fait bijective. Nous avons donné les deux démonstrations
pour mieux établir le lien avec le lemme chinois en
termes de congruences.
Corollaire
Soient des entier et
premiers entre eux. Alors l'application
est un isomorphisme de groupes. En particulier, elle est
bijective et le deux groupes sont donc du même ordre.
Démonstration. Le corollaire résulte du lemme
précédent et du lemme ().
DéfinitionSoit un entier . On définit
comme le cardinal du groupe des éléments
inversibles de l'anneaux
. La fonction
est l'indicatrice d'Euler.
CorollaireSi et sont deux entiers
et premiers entre eux on a
Démonstration. Ceci résulte aussitôt de la
définition de et du corollaire ().
Remarque 35
Le corollaire précédent nous permet
de calculer la valeur de pour tout entier dont
nous connaissons la décompositions en facteurs premiers.
En effet, si nous avons
alors en applicant le corollaire plusieurs fois nous trouvons
Mais d'après , nous savons que pour un nombre premier
nous avons