Lemme
Soit un groupe et un élément de . Alors il
existe une application
et une seule telle que
quels que soient
.
Démonstration. Nous admettons ce résultat.
Exemple 36
La seconde condition de la définition signifie que
est un homomorphisme de groupes de
vers .
Supposons que est un groupe dont la loi
est notée multiplicativement. Alors pour tout entier
positif, nous avons
Nous écrirons pour pour tout entier.
Supposons que est un groupe dont la loi
est notée additivement. Alors pour tout entier positif,
nous avons
Nous écrirons pour pour tout entier.
Corollaire
a)
Soit un groupe dont la loi est
notée multiplicativement et un élément
de . Pour
, on a les égalités suivantes
b)
Soit un groupe commutatif dont la loi est notée
additivement et un élément de .
Pour
on a les égalités suivantes
Démonstration. Les deux parties sont des traductions
dans la nouvelle notation de certaines propriétés de
la fonction . Montrons-les dans les notations de a).
Les premières deux égalités ne font que traduire
dans la nouvelle notation les propriétés de la définition
de . La troisième propriété résulte du fait
que est un homomorphisme.
Pour la dernière propriété, fixons
et considérons l'application
Nous avons clairement et
Par l'unicité de l'application
nous pouvons
conclure que
pour tout
et donc que
pour tout
.
Définition
Soit un groupe et un élément de .
L'ordre de est le plus petit entier
tel que
s'il existe un tel entier. Sinon,
l'ordre de est infini. On note
ord ou
ord l'ordre de dans .
Exemple 37
Supposons que est un groupe dont la loi
est notée multiplicativement et soit . Alors nous avons
ord
Supposons que est un groupe commutatif dont la loi
est notée additivement et soit . Alors nous avons
ord
Soit un groupe dont la loi est notée multiplicativement
(pour alléger les notations).
Supposons que est d'ordre fini . Alors nous
avons
pour tout entier et est le plus petit entier
avec cette propriété. Autrement dit, la suite
des puissances de
est périodique de période . Nous avons aussi
pour tout entier
et tout entier
. Autrement
dit la valeur de ne dépend que de la classe
de congruence de modulo .
Lemme
Soit un entier et soit
une classe modulo considérée comme élément
du groupe
. Alors
ord
Démonstration. Nous avons
ssi est un multiple de ,
c'est-à-dire un multiple commun à et .
Donc doit être un multiple de
PPCM et
un multiple de
PPCM . Compte tenu de l'égalité
PPCM
nous obtenons aussi la seconde égalité.
Remarque 38
Il n'existe pas de formule analogue
pour l'ordre d'un élément
dans le groupe
multiplicatif
. Cependant nous verrons que
cet ordre est toujours un diviseur de , l'ordre
du groupe
.
Lemme
Soit un groupe et élément
de . Alors est d'ordre infini ssi l'application
est injective. En particulier, tous les éléments
d'un groupe fini sont d'ordre fini.
Démonstration. Si l'application est injective
nous avons
pour tout .
Puisque
, nous avons donc
pour tout et est d'ordre infini.
Réciproquement supposons d'ordre infini. Soient
des entiers tels que
. Alors
nous avons
. Puisque
et que est d'ordre infini, il s'ensuit que
et donc que est injective.
Lemme
Soit un groupe et un élément
d'ordre fini . Alors l'application
est bien définie et injective. En particulier,
l'ensemble des éléments de la forme
,
, est de cardinal .
Démonstration. Supposons pour alléger les notations que la loi de est notée
multiplicativement. Nous avons donc
et
pour tout
. Donc
L'application est donc bien définie. Supposons que
sont deux entiers dont les classes ont même image. Alors nous avons
et donc . Pour montrer que divise ,
effectuons la division euclidienne de par .
Par définition, nous avons
. De l'autre
côté, nous avons
. Puisque est d'ordre
, il s'ensuit que divise et donc que
.
Théorème [Lagrange] Soit un groupe fini.
L'ordre de tout élément de divise l'ordre de .
Exemple 39Considérons le groupe
. L'ordre de est
de . Voici les ordres des éléments de :
ord
Notons que le nombre d'éléments d'ordre est de
, le nombre d'éléments d'ordre
est de et le nombre d'élments d'ordre
est de . Nous verrons que ce n'est pas
un hasard ().
Nous verrons aussi comment calculer facilement
ce tableau (exemples )
Démonstration. Pour alléger les notations, supposons
que la loi de est notée multiplicativement. Soit .
La démonstration se fait en plusieurs étapes :
Première étape : la relation définie par
pour un
est une relation d'équivalence.
Nous laissons cette vérification au lecteur.
Notons
la classe d'équivalence d'un élément .
Par définition, la classe de est formée de tous
les éléments de la forme ,
.
Seconde étape : le cardinal de la classe de est l'ordre de
. En effet, la classe de est formée de tous les éléments
de la forme ,
. C'est donc l'image de l'application
. Nous avons vu au lemme () qu'elle
est en bijection avec
où est l'ordre de .
Troisième étape :
toutes les classes d'équivalence ont même cardinal
que la classe de .
En effet, si est un élément de , nous avons des bijections
inverses l'une de l'autre entre
et
données par
les applications
resp.
.
Quatrième étape : le cardinal de la classe de divise
l'ordre de . En effet, nous savons que est la réunion
disjointe des classes d'équivalence. L'ordre de est
donc la somme des cardinaux des classes. Or toutes les
classes ont même cardinal que
. L'ordre de
est donc égal au cardinal de la classe de multiplié
par le nombre de classes d'équivalence.
Conclusion : l'ordre de , qui est égal
au cardinal de la classe de (seconde étape), divise
l'ordre de (troisième étape).
Corollaire [Théorème d'Euler]
Soit un entier et
un entier premier avec . Alors on a
où est l'indicatrice d'Euler.
Démonstration. Comme est premier avec , la classe
appartient au groupe
. L'affirmation résulte du théorème
de Lagrange car est l'ordre du groupe
par définition.
Corollaire [Petit Théorème de Fermat]
Si est un nombre premier
et un entier qui n'est pas divisible par , on a
Démonstration. On applique le théorème d'Euler en utilisant que
pour un nombre premier.
Remarque 40
Les théorèmes de Fermat (petit) et d'Euler permettent
de calculer très rapidement certains restes de puissances.
Dans les exemples suivants, on cherche le reste de la
division euclidienne de par :
Exemples 41, : le nombre est premier
et n'est pas divisible par . D'après le petit
théorème de Fermat, on a
et donc .
, : le nombre est premier
et n'est pas divisible par . D'après le
petit théorème de Fermat, on a
et donc .
, : nous avons
.
Les nombres et sont premiers entre eux. Nous pouvons
donc appliquer le théorème d'Euler pour conclure
que
. Donc .
, : nous avons
(voir le numéro précédent). Or, les nombres et
ne sont pas premiers entre eux et nous ne pouvons pas
appliquer le théorème d'Euler. Cependant, soit
.
D'après le lemme chinois, pour connaître la classe de
modulo , il suffit de connaître les restes de
modulo et modulo . Or
Ici, nous avons appliqué le théorème d'Euler
à et () et nous avons utilisé le fait
que
. Le lemme chinois nous permet de
conclure que
et le reste recherché
est donc .