Les-Mathematiques.net - Cours de mathématiques supérieures

Soit

un entier. Un diviseur positif

est maximal s'il est de la forme

où

est un diviseur premier de

. Soit

un groupe fini dont la loi est notée multiplicativement. Soit

un élément de

. Soit

un entier positif.

Démonstration. a) Ceci est clair d'après le lemme

qui affirme que l'application ${\mbox{\bf Z}}/\mbox{\rm ord}(g){\mbox{\bf Z}}\rightarrow G$ , $\overline {k} \mapsto g^k$ est injective.

b) La condition est clairement nécessaire. Supposons réciproquement qu'elle est vérifié. Alors

est multiple de l'ordre de

d'après a), mais aucun diviseur propre de

n'est multiple de l'ordre de

. (tout diviseur propre divise un diviseur maximal de

). Donc

ord

d) D'après le lemme

, nous avons

ssi $\overline {k}=\overline {0}$ dans ${\mbox{\bf Z}}/n{\mbox{\bf Z}}$ . Donc l'ordre de

est égal à l'ordre de $\overline {a}$ dans ${\mbox{\bf Z}}/n{\mbox{\bf Z}}$ . Ce dernier est égal à

PGCD

d'après le lemme

. $\surd$

Remarque 43 Pour déterminer l'ordre de

, on calcule les puissances

pour les diviseurs maximaux

. Si on a $g^d\neq e$ pour tout diviseur maximal, alors

est d'ordre

(et

est cyclique

engendré par

voir ci-dessous). Sinon, on a

pour un diviseur maximal

et on recommence avec

remplacé par

. Dans le calcul des puissances $g^{d'}$ pour les diviseurs maximaux

on pourra cependant omettre tous ceux qui divisent un diviseur maximal

pour lequel $g^{d''}\neq e$ . Voir l'exemple suivant.

Exemples 44 Calculons l'ordre de

dans $({\mbox{\bf Z}}/113{\mbox{\bf Z}})^*$ . Ce groupe est d'ordre $n=112=7\times 16$ . Les diviseurs maximaux de

sont

. Calculons donc $2^{56}$ et $2^{16}$ .


2	1	56	1	16
4	1	28	1	8
16	1	14	1	4
30	1	7	1	2
109	30	3	1	1
16	106	1
	1		109

Ainsi $2^{16}\neq e$ et $2^{56}=e$ . Les diviseurs maximaux de

sont

. Puisque $2^{16}\neq e$ nous avons $2^8\neq e$ et il suffit de calculer $2^{28}$ . On trouve $2^{28}=1$ . Les diviseurs maximaux de

sont

. Puisque $2^{8}\neq 1$ , nous avons $2^4\neq 1$ et il suffit de calculer $2^{14}$ . On trouve $2^{14}=-1$ et l'ordre de dans $({\mbox{\bf Z}}/113{\mbox{\bf Z}})^*$ est donc de .

Déterminons les ordres des éléments de $({\mbox{\bf Z}}/11{\mbox{\bf Z}})^*$ . Calculons l'ordre de . Nous avons $2^{10}\equiv 1\;(11)$ par le petit théorème de Fermat. Les diviseurs maximaux de sont et . Nous avons

$\displaystyle 2^2=4\: , \;2^5 \equiv 2\times 4\times 4 \equiv -1 \;(11).$

Donc

est d'ordre

et tout élément de $({\mbox{\bf Z}}/11{\mbox{\bf Z}})^*$ est une puissance de

d'après le lemme (

). Calculons ces puissances

	0

Maintenant, on calcule facilement les ordres de tous les éléments à l'aide des parties b) et c) du lemme. Par exemple, on a

ord $\displaystyle (3)$	$\displaystyle =$	ord $\displaystyle (2^8) = \frac{10}{\mbox{PGCD }(10,8)} = 5$
ord $\displaystyle (4)$	$\displaystyle =$	ord $\displaystyle (2^2) = \frac{10}{2} = 5.$

On trouve la table suivante (voir

)

	$\overline {1}$	$\overline {2}$	$\overline {3}$	$\overline {4}$	$\overline {5}$	$\overline {6}$	$\overline {7}$	$\overline {8}$	$\overline {9}$	$\overline {10}$
ord

Calcul de l'ordre d'un élément