Définition Soit un groupe.
Un sous-groupe de est
une partie de vérifiant les trois conditions
suivantes
,
pour tous les ,
pour tous les .
Exemples 45
Les parties et de sont
toujours des sous-groupes. L'intersection de toute famille
de sous-groupes est un sous-groupe.
Pour tout
, la partie
est un sous-groupe de
. Réciproquement,
tout sous-groupe de
est de cette forme : en effet,
soit
un sous-groupe. Si , alors
et il n'y a rien à démontrer. Sinon, la
partie contient un entier non nul et donc
un entier non nul positif (car appartient à
si appartient à ). Soit le plus petit
des entiers strictements positifs contenus dans .
Alors on a clairement
. Réciproquement,
si appartient à et que est la
division euclidienne de par , alors
appartient à et est positif et inférieur à .
Donc et
.
Si est un entier et un diviseur de ,
alors
est un sous-groupe
de
et tout sous-groupe de
est de cette
forme : en effet, si
est un sous-groupe
alors
est un sous-groupe qui contient
. Donc
pour un entier . La
condition
montre que est un multiple
de .
Définition Soit un groupe et une partie
de . On note et on appelle sous-groupe engendré
par la partie de formée de tous les produits
d'éléments de et de leurs inverses (par convention
on pose
si est vide).
Remarque 46
Il s'agit bien d'un sous-groupe.
Exemple 47
Soit un groupe (dont la loi est notée
multiplicativement) et un élément de . Alors
le sous-groupe engendré par la partie est
égale à
. Ce sous-groupe est
isomorphe à
si est d'ordre infini et
isomorphe à
si est d'ordre fini
d'après les lemmes ()
et ().
Définition Un groupe est cyclique
s'il contient un élément qui l'engendre : un
générateur.
Remarque 48
D'après l'exemple précédent, un groupe
cyclique est soit isomorphe à
soit à
pour
un entier . Réciproquement, un groupe isomorphe
à
ou
est cyclique (engendré par l'image
de resp.
par un isomorphisme choisi).
Un groupe fini d'ordre est
cyclique si et seulement si il contient un élément
d'ordre .
ThéorèmeSoit un nombre premier. Alors le
groupe
est cyclique.
Démonstration. Le théorème sera démontré
plus tard ().
Remarque 49
Le théorème ne donne pas de générateur
de ce groupe et c'est un problème ouvert de construire un
`générateur universel et explicite'. On ignore par exemple
si la classe de engendre
pour une infinité de nombres
premiers ou non.