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Groupes cycliques


Définition Soit $ (G,*)$ un groupe. Un sous-groupe de $ G$ est une partie $ H$ de $ G$ vérifiant les trois conditions suivantes

  • $ e_G\in H$,
  • $ h\star k \in H$ pour tous les $ h,k\in H$,
  • $ h^{-1}\in H$ pour tous les $ h\in H$.

Exemples 45   Les parties $ \{e_G\}$ et $ G$ de $ G$ sont toujours des sous-groupes. L'intersection de toute famille de sous-groupes est un sous-groupe. Pour tout $ n\in{\mbox{\bf Z}}$, la partie $ n{\mbox{\bf Z}}$ est un sous-groupe de $ ({\mbox{\bf Z}},+)$. Réciproquement, tout sous-groupe de $ {\mbox{\bf Z}}$ est de cette forme : en effet, soit $ S\subset {\mbox{\bf Z}}$ un sous-groupe. Si $ S=\{0\}$, alors $ S=0{\mbox{\bf Z}}$ et il n'y a rien à démontrer. Sinon, la partie $ S$ contient un entier non nul et donc un entier non nul positif (car $ x$ appartient à $ S$ si $ -x$ appartient à $ S$). Soit $ n$ le plus petit des entiers strictements positifs contenus dans $ S$. Alors on a clairement $ n{\mbox{\bf Z}}\subset S$. Réciproquement, si $ x$ appartient à $ S$ et que $ x=q n+r$ est la division euclidienne de $ x$ par $ n$, alors $ r=x-q  n$ appartient à $ S$ et est positif et inférieur à $ n$. Donc $ r=0$ et $ x\in n{\mbox{\bf Z}}$. Si $ n$ est un entier $ \geq 2$ et $ d$ un diviseur de $ n$, alors $ d {\mbox{\bf Z}}/n{\mbox{\bf Z}}= \{ \overline {dx} \;\vert \; x\in{\mbox{\bf Z}}\}$ est un sous-groupe de $ ({\mbox{\bf Z}}/n{\mbox{\bf Z}},+)$ et tout sous-groupe de $ {\mbox{\bf Z}}/n{\mbox{\bf Z}}$ est de cette forme : en effet, si $ A\subset {\mbox{\bf Z}}/n{\mbox{\bf Z}}$ est un sous-groupe alors $ \tilde{A}\subset {\mbox{\bf Z}}$ est un sous-groupe qui contient $ n{\mbox{\bf Z}}$. Donc $ \tilde{A}=d{\mbox{\bf Z}}$ pour un entier $ d$. La condition $ n{\mbox{\bf Z}}\subset d{\mbox{\bf Z}}$ montre que $ n$ est un multiple de $ d$.

Définition Soit $ G$ un groupe et $ X$ une partie de $ G$. On note $ <X>$ et on appelle sous-groupe engendré par $ X$ la partie de $ G$ formée de tous les produits d'éléments de $ X$ et de leurs inverses (par convention on pose $ <X>=\{e_G\}$ si $ X$ est vide).

Remarque 46   Il s'agit bien d'un sous-groupe.

Exemple 47   Soit $ G$ un groupe (dont la loi est notée multiplicativement) et $ g$ un élément de $ G$. Alors le sous-groupe engendré par la partie $ X=\{g\}$ est égale à $ \{ g^k\; \vert \; k\in{\mbox{\bf Z}}\}$. Ce sous-groupe est isomorphe à $ {\mbox{\bf Z}}$ si $ g$ est d'ordre infini et isomorphe à $ {\mbox{\bf Z}}/n{\mbox{\bf Z}}$ si $ g$ est d'ordre fini $ n$ d'après les lemmes ([*]) et ([*]).

Définition Un groupe est cyclique s'il contient un élément qui l'engendre : un générateur.

Remarque 48   D'après l'exemple précédent, un groupe cyclique est soit isomorphe à $ {\mbox{\bf Z}}$ soit à $ {\mbox{\bf Z}}/n{\mbox{\bf Z}}$ pour un entier $ n\geq 1$. Réciproquement, un groupe isomorphe à $ {\mbox{\bf Z}}$ ou $ {\mbox{\bf Z}}/n{\mbox{\bf Z}}$ est cyclique (engendré par l'image de $ 1$ resp.  $ \overline {1}$ par un isomorphisme choisi). Un groupe fini d'ordre $ n$ est cyclique si et seulement si il contient un élément d'ordre $ n$.

Théorème Soit $ p$ un nombre premier. Alors le groupe $ ({\mbox{\bf Z}}/p{\mbox{\bf Z}})^*$ est cyclique.


Démonstration. Le théorème sera démontré plus tard ([*]).$ \surd$

Remarque 49   Le théorème ne donne pas de générateur de ce groupe et c'est un problème ouvert de construire un `générateur universel et explicite'. On ignore par exemple si la classe de $ 2$ engendre $ ({\mbox{\bf Z}}/p{\mbox{\bf Z}})^*$ pour une infinité de nombres premiers $ p$ ou non.


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Bernhard_Keller
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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