Groupes cycliques

Exemples 45   Les parties et de sont toujours des sous-groupes. L'intersection de toute famille de sous-groupes est un sous-groupe. Pour tout , la partie est un sous-groupe de . Réciproquement, tout sous-groupe de est de cette forme : en effet, soit un sous-groupe. Si , alors et il n'y a rien à démontrer. Sinon, la partie contient un entier non nul et donc un entier non nul positif (car appartient à si appartient à ). Soit le plus petit des entiers strictements positifs contenus dans . Alors on a clairement . Réciproquement, si appartient à et que est la division euclidienne de par , alors appartient à et est positif et inférieur à . Donc et . Si est un entier et un diviseur de , alors est un sous-groupe de et tout sous-groupe de est de cette forme : en effet, si est un sous-groupe alors est un sous-groupe qui contient . Donc pour un entier . La condition montre que est un multiple de .

Remarque 46   Il s'agit bien d'un sous-groupe.

Exemple 47   Soit un groupe (dont la loi est notée multiplicativement) et un élément de . Alors le sous-groupe engendré par la partie est égale à . Ce sous-groupe est isomorphe à si est d'ordre infini et isomorphe à si est d'ordre fini d'après les lemmes () et ().

Remarque 48   D'après l'exemple précédent, un groupe cyclique est soit isomorphe à soit à pour un entier . Réciproquement, un groupe isomorphe à ou est cyclique (engendré par l'image de resp.  par un isomorphisme choisi). Un groupe fini d'ordre est cyclique si et seulement si il contient un élément d'ordre .

Remarque 49   Le théorème ne donne pas de générateur de ce groupe et c'est un problème ouvert de construire un `générateur universel et explicite'. On ignore par exemple si la classe de engendre pour une infinité de nombres premiers ou non.