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Racines de l'unité


Définition Soit $ G$ un groupe et $ l$ un entier $ \geq 1$. Nous appellerons racine $ l$-ièmes de l'unité dans $ G$ les solutions $ g\in G$ de l'équation $ g^l=e$.

Remarque 50   Les racines $ l$-ièmes de l'unité sont exactement les éléments de $ G$ dont l'ordre est un diviseur de $ l$.

Lemme Soit $ G$ un groupe cyclique d'ordre fini $ n$ et $ g$ un générateur de $ G$. Soit $ l$ un entier $ \geq 2$ et $ R$ l'ensemble des solutions de l'équation

$\displaystyle x^l=e
$

dans $ G$.
a)
Si $ l$ divise $ n$, on a

$\displaystyle R=\{ g^{k (n/l)} \; \vert \; k=0, 1, \ldots , l-1\}.
$

b)
Si $ l$ est premier avec $ n$, on a

$\displaystyle R=\{ e\}.
$

c)
Dans le cas général, posons $ l'=$PGCD $ (n,l)$. Alors

$\displaystyle R= \{ g^{k (n/l')} \; \vert \; k=0, 1, \ldots, l'-1\}.
$

Exemple 51   On cherche les solutions de l'équation $ x^5=1$ dans $ {\mbox{\bf Z}}/2011{\mbox{\bf Z}}$. Si $ x\in {\mbox{\bf Z}}/2011{\mbox{\bf Z}}$ est solution de cette équation, alors $ x x^4=1$ et donc $ x$ est inversible (d'inverse $ x^4$). Ainsi, il revient au même de chercher les solutions de cette équation dans $ ({\mbox{\bf Z}}/2011{\mbox{\bf Z}})^*$. Or le nombre $ p=2011$ est premier et le groupe $ G=({\mbox{\bf Z}}/2011{\mbox{\bf Z}})^*$ est donc cyclique ([*]). En outre $ 5$ divise l'ordre de $ G$ qui est 2010. L'équation admet donc exactement $ 5$ solutions et ces solutions sont de la forme

$\displaystyle g^0\: , \;h=g^{402}\: , \;h^2=g^{804}\: , \;h^3=g^{1206}\: , \;h^4=g^{1608} \: , \;
$

$ g$ est un générateur de $ ({\mbox{\bf Z}}/p{\mbox{\bf Z}})^*$. Il reste à trouver un générateur et à calculer ces puissances. Si on calcule les puissances maximales de $ 2$, on trouve que $ 2^{2010/5}=1$. Donc $ 2$ n'est pas un générateur. Par contre, les puissances maximales de $ 3$ sont toutes différentes de $ 1$ et $ 3$ engendre donc $ ({\mbox{\bf Z}}/2011{\mbox{\bf Z}})^*$. Si on calcule $ h=3^{402}$, on trouve $ h=1328$. L'ensemble des solutions de l'équation $ x^5=1$ est donc formé de

$\displaystyle 1\: , \;h=1328\: , \;h^2=1948 \: , \;h^3=798 \: , \;h^4= 1958.
$


Démonstration. Comme $ G$ est cyclique, toute solution $ x$ de $ x^l=e$ est de la forme $ x=g^a$ pour un $ a\in{\mbox{\bf Z}}$. Dans le cas de a), on a donc $ al \equiv 0\;(n)$ d'après le lemme ([*]). Cela signifie que $ a$ est multiple de $ n/l$.

Dans le cas de b), la congruence $ al \equiv 0\;(n)$ implique $ a\equiv 0\; (n)$ car $ l$ est inversible modulo $ n$.

Finalement, dans le cas de c), écrivons $ l=l' l''$$ l''$ et $ n$ sont premiers entre eux. Alors la congruence $ al'l''\equiv 0\;(n)$ est équivalente à $ a l'\equiv 0\; (n)$ qui, elle, exprime que $ a$ est multiple de $ n/l'$. $ \surd$

Lemme Soit $ G$ un groupe cyclique d'ordre $ n<\infty$ et $ g$ un générateur de $ G$. Soit $ d$ un diviseur de $ n$. Alors l'ensemble des éléments d'ordre $ d$ de $ G$ est formé des puissances

$\displaystyle g^{k n/d}
$

$ k$ parcourt les classes inversibles modulo $ d$. Ces éléments sont deux à deux distincts. En particulier, le nombre d'éléments d'ordre $ d$ dans $ G$ est égal à $ \phi(d)$, le nombre de générateurs de $ G$ est égal à $ \phi(n)$ et on a

$\displaystyle n= \sum_{d\vert n} \phi(d).
$

Exemple 52   Le nombre $ p=2011$ est premier et le groupe $ G=({\mbox{\bf Z}}/p{\mbox{\bf Z}})^*$ est donc cyclique (théorème [*]) d'ordre $ 2010= 2\times 3\times 5 \times 67$. Ce groupe contient donc $ \phi(2010)= 2\times 4 \times 66= 528$ générateurs.


Démonstration. Soit $ x=g^a$ un élément d'ordre $ d$ de $ G$. Alors d'après le théorème [*], nous avons $ a=k  n/d$ pour un $ k\in{\mbox{\bf Z}}$. Si $ f$ est un facteur commun à $ k$ et $ d$, alors on a $ (g^a)^{(d/f)}=e$. Puisque $ g^a$ est d'ordre $ d$, il s'ensuit $ f=\pm 1$. Les éléments de l'affirmation sont deux à deux distincts d'après le lemme ([*]). La dernière affirmation s'ensuit parce que $ G$ est la réunion disjointe de ses parties formées des éléments d'ordre $ d$, où $ d$ parcourt les diviseurs $ d$ de $ n$, d'après le théorème de Lagrange ([*]).$ \surd$


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Bernhard_Keller
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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