Définition Soit un groupe et un entier .
Nous appellerons racine -ièmes de l'unité dans
les solutions de l'équation .
Remarque 50
Les racines -ièmes de l'unité sont
exactement les éléments de dont l'ordre est un
diviseur de .
Lemme
Soit un groupe cyclique d'ordre fini et
un générateur de . Soit un entier
et l'ensemble des solutions de l'équation
dans .
a)
Si divise , on a
b)
Si est premier avec , on a
c)
Dans le cas général, posons
PGCD . Alors
Exemple 51
On cherche les solutions de l'équation
dans
. Si
est solution de cette
équation, alors et donc est inversible
(d'inverse ). Ainsi, il revient au même de chercher
les solutions de cette équation dans
.
Or le nombre est premier et le groupe
est donc cyclique (). En outre
divise l'ordre de qui est 2010. L'équation admet
donc exactement solutions et ces solutions sont de
la forme
où est un générateur de
.
Il reste à trouver un générateur et à calculer
ces puissances. Si on calcule les puissances maximales
de , on trouve que
. Donc n'est pas
un générateur. Par contre, les puissances maximales
de sont toutes différentes de et engendre
donc
. Si on calcule ,
on trouve . L'ensemble des solutions de l'équation
est donc formé de
Démonstration. Comme est cyclique, toute solution de est
de la forme pour un
. Dans le cas de a),
on a donc
d'après le
lemme ().
Cela signifie que est multiple de .
Dans le cas de b), la congruence
implique
car est inversible
modulo .
Finalement, dans le cas de c), écrivons
où et sont premiers entre eux. Alors
la congruence
est équivalente
à
qui, elle, exprime que
est multiple de .
Lemme
Soit un groupe cyclique d'ordre et
un générateur de . Soit un diviseur de .
Alors l'ensemble des éléments d'ordre de est
formé des puissances
où parcourt les classes inversibles modulo . Ces éléments
sont deux à deux distincts. En particulier, le nombre d'éléments
d'ordre dans est égal à , le nombre de générateurs
de est égal à et on a
Exemple 52
Le nombre est premier et le
groupe
est donc cyclique (théorème
) d'ordre
.
Ce groupe contient donc
générateurs.
Démonstration. Soit un élément d'ordre
de . Alors d'après le théorème ,
nous avons pour un
. Si est un facteur
commun à et , alors on a
. Puisque
est d'ordre , il s'ensuit . Les éléments
de l'affirmation sont deux à deux distincts d'après
le lemme (). La dernière affirmation
s'ensuit parce que est la réunion disjointe de ses
parties formées des éléments d'ordre , où
parcourt les diviseurs de , d'après le
théorème de Lagrange ().